M SM; M. M, SM

En divisant membre à membre, on obtient (i).

RAPPORT ANHARMONIQUE. — HOMOGRAPHIE; INVOLIJTION. 1 3g

Remarque. — De la remarque faite à la fin du n° 128 résulte que. si Sa, et S).o sont distinctes, Sa, est entièrement déterminée parla connaissance de Sa,, Sa2, Sa., et du rapporl anharmonique.

Théorème. — Le rapport anharmonique de quatre points en ligne droite est égal au rapport anharmonique de leurs projections coniques sur un plan quelconque, à partir d'un point quelconque.

Les deux rapports sont, en effet, égaux, d'après ce qui précède, au rapport anharmonique du faisceau formé par les quatre projetantes.

On exprime celle propriété en disant que Le rapport anharmonique de quatre points en ligne droite est un invariant projeclif ou, simplement, quVZ est projectif.

132. Faisceal harmonique. - — Le faisceau S < a, , Ào. ).:t. )..,) est dit harmonique si i un de ses six rapports anharmo niques est égal à — i; soit, par exemple.

III) S(À,À//.3>.vi =— I.

auquel cas les rayons Sa,. S/,, sont dits conjugués harmoniques par rapport aux rayon* SX3, Sa,. On dit encore que l'angle a,Oa.»

est divisé harmoniquement par V angle X3OA4.

Une sécante quelconque coupe un faisceau harmonique suivant une division harmonique et réciproquement.

En particulier, si la sécante est parallèle à S A ,, par exemple, le point M3 doit être au milieu de M, M, 1 n° 129).

Si les deux droites SA:, et. S A4 sont rectangulaires, le triangle SM(M2 est isoscèle, puisque sa médiane est la hauteur. Donc S A:, est bissectrice intérieure de \4 SÀo, S),-, étant la bissectrice extérieure.

La réciproque se démontre d'une manière analogue el l'on peut énoncer le théorème suivant :

Théorème. — ■ Si un angle est divisé harmoniquement par un angle droit, celui-ci est constitué par les bissectrices du premier. Réciproquement, les bissectrices d'un angle divisent harmoniquement cet angle.

Supposons que les deux droites Sa, et SX2 d'une part. Sa3 et Sa4

I jo CHAPITRE IX.

d'autre part, soient définies quadratiquement par les équations (la) AP24-2BPQ + CQ2=o, A'Ps-haB'PQ-H- C'Q2 = o.

Les nombres )H et \-2 d'une part, ).:i et X4 d'autre port, sont les racines des équations du second degré

(i3) A).*— 2BX-+- G = o, A'X2— 2B'X-f- C'=o.

On sait ( t. 1, n" 321) que la condition cV harmonie de ces quatre nombres s'écrit

(14 ) AC'-t-CA'— aBB'=o.

Cette équation est. en particulier, la condition d'harmonie des faisceaux définis par les deux équations

(i5) Aa^-t-aBây •+■ Gy2 = o, A'a~2-4- iW xy ~ C'jk2 = o.

On peut applic{uer ceci, concurremment avec le théorème démontré I dus haut, à la recherche des bissectrices du premier faisceau. Le second faisceau sera, en effet, constitué par les bissectrices du premier si l'on a, outre i 1 \ ).

qui exprime l'orthogonalité de ces bissectrices 1 n" 79 |. Tenant -compte de (16), (1 4 ) s'écrit

(C — A)A'= aBB'.

On satisfait à cette équation en prenant

Le faisceau des bissectrices cherchées a finalement pour équation (17) B(.r2 — j^) + (C — ^)xy = o.

133. Polaire d 1 \ poikt par rapport a .un angle. — Soient deux droites SXt, Sa2 et un point fixe P (fig- 12). Par ce point menons une sécante variable PM, M, et cherchons le lieu du point M conjugué harmonique de P par rapport à M, M2.

Le faisceau S (A,, X25 P- M) est harmonique. Le lieu de M est don» la

RAPPORT ANHARMONIQIE. — HOMOGRAPHIE; INYOLUTIOX. I.|l

droite Sa conjuguée harmonique de la droite fixe SP par rapport à a,SÀ2 (')• On l'appelle la polaire de P par rapport à V angle

X, Sa2-

On peut en .donner une construction très simple. Prenons une deuxième sécante PM^M, . Soit M' le point conjugué harmonique

• Fig. 12.

de P par rapport à M',, M',. La polaire cherchée est la droite MM . Mais, si l'on observe que les points M,, M2 et M7,, M'2 sont aussi à l'intersection de nos deux sécantes avec les droites M, M'2 et Mo M , . <[Lii se coupent en S', on s'aperçoit que MM' est aussi la polaire de I'

par rapport à l'angle AI, S' \L et, comme telle, passe par S'. Dès lors, il suffit de joindre SS' pour avoir la polaire cherchée. Analytiquement, soient

i is i P =-o, Q = o

les équations de. SA, et Sa2 et (xft, y0) les coordonnées du point P. L'équation de la polaire cherchée est de la forme (8). Celle de SP est

de la même forme, avec X =

Qo

= À0. Les a correspondant à (P)

et (Q)sont, d'autre part, o et ce. On doit donc avoir (X,X0,o,oo) = — i ou (t. I. n° 320) a = — A0. L'équation de la polaire est donc

(') D'après une remarque du n" 131, il n'y a qu'une droite conjuguée harmonique d'une droite donnée parrappoil à deux autres droites données (sauf le cas singulier

a'ù les trois droites données sont confondues).

I j> CHAPITItE IX.

ou

PQe-hP0Q = o.

Remarque. Nous venons de démontrer, en passant, que les

«Imites

<ao) P-^XQ^o. P— XQ = o .

sont conjuguées harmoniques par rapport aux droites (18).

13 i. Quadrilatère complet. — Reprenons la figure 12. La figure formée par4 les quatre droites indéfinies M, M2, M', M'2, M2M'j et M, M, constitue ce qu'on appelle un quadrilatère complet. Les six points de rencontre de ces quatre droites deux à deux, c'est-à-dire M,, M2, M,,M2, PS, sont les six sommets du quadrilatère. Les droites M, M'2, M, M, et PS, qui joignent les couples de sommets opposés, sont les trois diagonales. Elles forment un triangle S'AB appelé triangle diagonal. Chaque côté de ce triangle est la polaire du sommet opposé par rapport aux deux couples de côtés du quadrilatère qui tiennent se couper su/' le côté considéré du triangle.

En effet, il résulte de la' construction du n° 133 quelapolaire de S',

par exemple, par rapport à À, S "a2 ou NLI'M',. est SP. On voit aussi que le segment M^M'j par exemple est divisé harmoniquement parles points S'. A. C'est ce qu'on exprime en disant que chaque diagonale est divisée harmoniquement par les deux autres.

135. Rapport anuarmomque d'un êaisceai de plans. — Imaginons quatre plans passant par la même droite et définis par l'équation (n°90)

P4-àQ = o,

où l'on doit donner à À quatre valeurs particulières >.,. À2, A3, a,. Coupons-les par une sécante quelconque I); nous obtenons les quatre points M,. \12. M,. M;. Comme au n° 131, on démontrerait que leur rapport anharmonique est égal à (A,. A2. A3. À.,) et, par conséquent, indépendant de D ('). On l'appelle rapport anharmonique des

{[ ) Ou peul le démontrer géométriquement de la manière suivante. Soit une deuxième sécante quelconque D', qui coupe en Mj, My, M3, M-,. Prenons une sécante auxiliaire D', qui s'appuie à la fois sur L) et D'; elle coupe en M"1} M2, M3. M4. Le

RAPPORT ANUVRMONIQIE. — HOMOGRAPHIE; IN VOIATION. I i 'J

quatre plans. II détermine le quatrième, connaissant les trois premiers (remarque du n" 128).

On déduit de là, comme au n° 131, que le rapport anharmonique

de quatre droites se conserve dans toute projection conique .

Les faisceaux harmoniques de plans se définissent comme les faisceaux harmoniques de droites et jouissent des mêmes propriétés.

Etant donnés deux plans et un point P, on définit le plan polaire de P par rapport aux plans proposés delamème manière qu'au n° 133. L'équation (ig i représente encore ce plan, -i les équations iS i représentent les plans donnés.