II. — HOMOGRAPHIE, INVOLUTION
13G. Divisions ho\iogp,ai>hioues. — Soient deux droites quelconques D et D'. Choisissons sur chacune d'elles un sens positif et une origine des abscisses. Soient maintenant un point M. d'abscisse./-. surD et un point M', d'abscisse x' , sur D'. Supposons qu'ils varient de telle manière que leurs abscisses satisfassent constamment à la relation
( 22 ) A xx -+- 1» x -+- C x' -+- D = o
du premier degré séparément par rapport à x et par rapport à x'.
On dit alors qu'ils décrivent deux divisions homographiques ou encore avrils sont encorrespondance homo graphique. Lesdroites D et D sont appelées les bases des divisions.
La relation (22) est dite relation homo graphique; elle définit chacune des variables comme fonction homographique (t. I, n° 244) de l'autre { ' ), car on a, par exemple.
plan (DD") coupe les quatre plans suivant quatre droites concourantes et ton a, d'après le n° 131,
(Mt,M7, m., m,) = (M^. m;, m;;, u; k
De même,
(M'i.M'jiMi.Mi) = (M'i,M'2,M'3,M'4);
<roù
(Mi.M,, M3,M<) =(M1.M,2. M,. M', |. c. Q. F. P.
(') Ceci n'est exact toutefois que si AD — BC 7e- o. Lorsque \D - BC = o,la relation (22) se décompose. L'homographie est dile singulière et il n'y a plus, à proprement parler, de correspondance.
Cette définition est indépendante du choix des origines surD etD', car un changement d'origines transforme manifestement toute relation homographique en une relation homographique*
On peut lui donner une forme plus géométrique et presque exclusivement employée dans les applications :
La correspondance en tre les deux poin ts doit être a Igébrique. De plus, à un point M doit correspondre un point M' et un seul; inversement, à un point M' doit correspondre un point ^let un seul (').
Toute correspondance satisfaisant à ces conditions est bien homographique, car elle se traduit analytiquement par une relation entre x et i\ qui est d'abord algébrique, puis du premier degré eux', puis du premier degré en r, donc de la forme (22).
Ce critérium est généralement très commode pour reconnaître que deux divisions sont homographiques. D'abord, on a rarement à se préoccuper de la condition d'algébricité, qui est, pour ainsi dire, toujours remplie dans les applications. Dans tous les cas, on reconnaît qu'il en est bien ainsi à ce fait que la construction d'un point à partir de l'autre peut se faire uniquement par l'intermédiaire de lignes ou surfaces algébriques.
Quant aux autres conditions, on s'aperçoit qu'elles sont vérifiées ou non, en essayant de construire M7 connaissant M, puis M connaissant M'. Dans les deux cas. on ne doit trouver qu'une solution ( - >.
437. Théorème fondamental. - Le rapport anharmonique de quatre points de l'une des divisions est égal au rapport anharmonique des quatre points homologues.
Cela résulte manifestement de ce que x est fonction homographique de x' et du théorème fondamental du n° 322 (t. I).
Réciproquement, une correspondance est homographique si elle conserve le rapport anharmonique. Soient, en effet, M,, M2, M. trois points fixes, M un point variable de D et soit M'10 M,. M'3, M les
(') Autrement dit, la correspondance doit être algébrique et parfaite [cf. t. I, p 2 ■. noie (1)].
I l>ans le dénombrement des solutions, il tant compter les solutions imaginaires, dont l'oubli pourrait faire croire a une correspondance univoque, alors qu'il y aurai! correspondance plurivoque.
RAPPORT ANHARMONIQUK. — HOMOGRAPHIE.; INVOLUTIO'. I \ 5
quatre points homologues de D'. L'hypothèse est qu'on a
quel que soit M. Or. ceci s'écrit
relation de la forme
ou
/, i ./■ — x ± 1 1 ./■' — x\ ) — k i x — xt) ( x' — x't ) = o,
ce qui est une relation homographique.
La propriété fondamentale que nous venons de démontrer peut, d'après cela, servir de définition, si l'on veut. aux. divisions homographiques i ' i.
Théorème. — Toute correspondance /tomographique est entièrement déterminée par la connaissance de trois cou/des de points homologues, lesquels peinent être choisis arbitrairement.
En effet, si Ton convient que les trois points arbitraires M,, \L.
M3 de D ont pour homologues les trois points arbitraires M', M.,, M'3 de D'. la correspondance est entièrement déterminée par L'égalité | '> i i.
On peut aussi observer que la connaissance de trois couples de points homologues se traduit par trois équations linéaires et homogènes en A, B. C. I) [coefficients inconnus de (22)], cequi détermine, comme on sait ( t. I. n° 292 >, ces quatre nombres, à un facteur pré-.
Corollairk. — Pour que quatre couples de points (M,, M( 1. (M2, M, '. (M3, M3), (M,, M!t) appartiennent à une même homographie, il faut et il suffit que (M,, M2,M3,M , ) = ( M, . M'g . M , . M,).
Les trois premiers couples déterminent, en effet, une certaine homographie. Le point M. homologue de M.s est tel que
( M,, Mo. M3) M,) = (M',, M'j, M:.,, Ml);
(') C'est ainsi que procédait Chasles.
Haag. — Cours, II. iu
(M'l(Mi)M'3!Mi) = (M')1M;)M;,IHI).
Par conséquent, M\ coïncide avec M,( (n° l!28. remarque ».
138. Homologues des points a l'infini. — Supposons que M' aille à l'infini sur D'. c'est-à-dire que x' augmente indéfiniment. La for-
uuile ( 23 i nous montre que x a pour limite — -r-
Supposons d abord A -^ o. L'homologue du point à L'infini de D esl un certain point I de D. situe à distance finie. De même, l'homologue du point à l'infini de D est un certain point 3! de D', avant
. . B pour abscisse r- •
Si r on prend ces deux points pour origines des abscisses, on doit avoir C = B = o. La relation (22) prend alors la forme canonique
I 7 5 1 rj' = k = const.
