FM.J'M=A

Supposons maintenant A = o. La relation (22 1 est alors linéaire

et montre que chacune des variables x et x' devient infinie en même temps que l'autre. Autrement «lit. les points à L'infini des deux divisions sont homologues .

Si Ton prend pour origine des abscisses deux points homologues quelconques, x el ./•' doivent s'annuler en même temps, ce qui exige D = o. La relation 1 22 1 prend alors la l'orme canonique

1 >- \ x = kx', 1 /, = censl . 1,

qui montre «pie deux figures homologues quelconques -ont semblables, le rapport de similitude étant k. On dit. pour cette raison, que les deux divisions sont semblables.

139. Divisions de même base. — Jusqu'à présent, nous avons supposé que les bases I) et D' étaient quelconques dans l'espace. Nous allons envisager maintenant le cas particulièrement important ou elle-

RAPPORT AXHARMONIQUE. — HOMOGRAPHIE; INVOLUTION. 1 4.7

sont confondues. Nous supposerons que l'origine îles abscisses ei le sens positif sont les mêmes pour les deux divisions.

Cela posé, une question vient assez naturellement à l'esprit : Quels sont les points qui coïncident avec leurs homologues ? On les obtiendra en faisant x-=x' dans (22) :

(28) ÈLX--V (B -t-C)a7-t- D = o.

Cette équation du second degré nous donne les abscisses des pointa cherchés, qui sont appelés les points doubles de l'homographie. Il 3 a donc deux points doubles. Ils peinent être réels et distincts, imaginaire^ conjugués (') ou confondus, suivant la nature des racines de (28).

Théorème!. — Si deux divisions ho mo graphique s de même base présentent plus de deux points doubles, elles sont confondues.

Cela résulte de ce que si L'équation (28) possède plus de deux racines, elle en possède une inimité ( t. I. n° 20o i. D'ailleurs, on a, dans cette hypothèse,

la relation | 22 l se réduit à x = x' .

Théorème II. — Le rapport anharmonique des points doubles et de deux points homologues est constant.

Soient E, F les deux points doubles; A, A' deux points homologues particuliers et M, M deux points homologues quelconques. Je dis que

(291 1 FFM.M'i = 1 EFAÀ').

En effet, d'après le théorème fondamental du n" 137, nous savons que

(3o) I EFAM) = < KI-A'M',.

ÂF

XTf

' Wf