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ce qui est (29).
(') En supposant toutefois les coefficients A. I!. C. 1> réels.
Théorème III. — Les points doubles ont même milieu que les homologues des points à /' in/ïni.
Le milieu des points doubles a pour abscisse la demi-somme des racines de (28),
c'est-à-dire -• Mais c'est aussi la demi-somme des abscisses des
points I et J' du n" 138.
1 iO. Divisions en involution. — La relation (22) est dite involiïtive lorsqu'elle est symétrique en x, x', c'est-à-dire lorsqu'on a B = C. Toute relation homographiqué involutive est donc de la
tonne
| 3 1 ) A xx' +B(x-hx')-+- D = o.
Si Ton garde les hypothèses faites au numéro précédent, les divisions homographiqué s définies par une telle relation sont dites en involution.
La propriété caractéristique des divisions en involution et qu'à tout point P de la base commune D correspond le même point Q, que l'on considère P comme appartenant à la première u à la seconde division ( ' ).
En effet, si X désigne l'abscisse de P, on doit, suivant le cas, remplacer, dans (3i), x ou x' par X et résoudre par rapport à x' ou à .r. Il est clair que les deux opérations conduisent au même résultat, puisque la relation (3i) ne change pas quand on intervertit x et x' .
Réciproquement, supposons que le point Q, d'abscisse tj., soit homologue du point P, ce dernier pouvant être indifféremment regardé comme un point M ou comme un point M'. La relation (22) doit être vérifiée pour x = X, x' = jjl et poura?' = X, x = [x. On a donc
AXp. -4- B À + C jjl -4- D = o, A ;jlX +Ba + GX -+- D = o.
Retranchant ces deux équations, il vient
Si l'on suppose K^é [/., c'est-à-dire si P n'est pas un point double. on c nécessairement B = C; il y a involution. Donc :
Théorème. — Pour que deux divisions homo graphiques soient
('j On peut dire aussi que si au point P correspond le point Q, inversement, au point Q doit correspondre le point P, en considérant Q comme appartenant à la première division.
RVPPORT., ANIIAKMOMQL'E. — HOMOGRAPHIE; INVOLUTION. 1 49
en involution^ il suffit qu'un seul point, autre qu'un point double, ait même homologue dans les deux divisions.
Corollaire. - Pour que les trois couples (Ml5 M,). (M2, M,). (Ms, M3) appartiennent à une même involution, il faut et il suffit qu'on ait, par exemple, (33) < MlMaMsM',) = (M'1M'2M/3M1 i.
En effet, ees trois couples définissent une certaine homographie (n° 137). Pour que cette homographie soit une involution, il faut et il suffit que le couple (M't, M, » soit un quatrième couple de points homologues, ce qui s'exprime précisément par i 33 i | n° 137).
14-i . Outre les propriétés générales des divisions homographiques, les divisions en involution possèdent les propriétés spéciales suivantes.
Théorème 1. — Une involution est déterminée par deux couples de points homologues.
Soient ( M , , M,), ( Mo, M,i ees deux couples. Le couple (M',, M,) doit aussi appartenir à l'involution. Les trois couples (Mt, M,). ( Mo, M.,), (M',, M| ) déterminent une homographie. Mais, cette homographie est bien une involution, parce que M, a même homologue dans les deux divisions.
On peut observer aussi que la connaissance de deux couples de points homologues se traduit par deux équations linéaires et homogènes entre les trois coefficients inconnus A. B, D de ( 3i ).
Prenons pour origine des abscisses le point homologue du point à l'infini, qu'on appelle quelquefois point central de l' involution. La relation (3i) prend la forme canonique (20 V* L'équation aux points doubles s'écrit
x*=k, x = ±yfk,
ce qui démontre que le point central est au milieu des points doubles. Si Ton pose y/À' = a, la relation ( 2.V1 s'écril
( 3 i 1 xx' = a-,
d'où résulte (n° 129 ) le théorème suivant :
Théorème II. — Tout couple de points homologues divise harmoniquement les points doubles.
