I .).. CUAPITBE l
Le raisonnement ci-dessus ne s'applique pas toutefois lorsque le point à V infini est un point double. On sait, dans ce cas, que les divisions sont semblables | n" 138). Le coefficient A e^t nul et la relation i >i ) se réduit à
Le deuxième point double est donné par
2 Bx -+- D = o.
Si on le prend pour origine, on a 13 == o; ( 3î) ) devient
Les points homologues sont symétriques par rapport à O, conformément au théorème II. On dit que les deux divisions sont symét ri// lies.
142. Faisceau x homographiques. — Soient deux divisions homographiques ^D) et (D) et deux points fixes S et S' extérieurs respectivement aux droites D et I)'. Joignons S aux points de D et S' aux points de 13'. Nous obtenons deux faisceaux de droites, de sommets S et S . Si l'on fait correspondre les rayons des deux faisceaux qui aboutissent à des points homologues des deux divisions, on dit que les deux faisceaux sont homographiques .
D'après le théorème fondamental du n° 137 et d'après le n° 131, le rapport anharmonique de quatre rayons de l un des faisceaux est égal au rapport anharmonique des quatre rayons homologues de l'autre faisceau.
Réciproquement, si l'on établit entre deux faisceaux une correspondance jouissant de cette propriété, celle correspondance est homographique. Si l'on coupe, en effet, chaque faisceau par une droite n<" passant pa^ en son sommet, on obtient, sur ces deux droites, deux divisions homographiques, en vertu de la réciproque démontrée au n° 137. On est, dès lors, ramené à la définition ci-dessus.
Si les deux faisceaux ont pour équations, dans leurs plans respectifs,
l'^-ÀQ = o, P'4-A'Q'=o, le rapport anharmonique de quatre valeurs quelconques de X doit
RAPPORT ANHARMONÏQUE. — HOMOGRAPHIE; INVOLUTIO>". [>l
être égal au rapport anharmonique des valeurs correspondantes de / .
Il en résulte que la condition nécessaire et suffisante pour que les faisceaux ( 07 ) soient homographiques est que /. et /.' soient liés par une relation homographique.
On peut, en particulier, appliquer ceci aux coefficients angulaires.
Théorème. — Si l'on coupe deux faisceaux homographiques par deux droites quelconques^ on obtient deux divisions homegraphiques.
Cela se voit immédiatement par la considération «lu rapport anharmonique.
Théorème. - La connaissance de trois couples de rayons homologues détermine deux faisceaux homographiques.
Se ramène au théorème analogue du n" 137. en coupant par des
droites.
Remarque. — Le critérium indiqué à La fin du n" 137 s'applique
évidemment aux. faisceaux.
113. Faisceaux \y y\t même plan et même sommet. — En les coupant par une droite D quelconque, on obtient deux divisions homographiques de même hase. On sait que ces deux divisions ont deux points doubles. En les joignant au sommet commun S, on obtient deux rayons qui sont chacun à lui-même son propre homologue et qu'on appelle rayons doubles.
On peut étendre aux faisceaux les théorèmes [ et II du n° 139; il suffit de couper toujours par une sécante quelconque ne passant pas par S.
Les faisceaux sont en insolation si les divisions qu'ils déterminent sur taie droite quelconque le sont. Tout rayon issu de S doit avoir même homologue, qu'on le considère comme appartenant à l'un ou à l'autre faisceau.
Si deux faisceaux homographiques sont en insolution, leurs rayons doubles sont conjugués harmoniques par rapport à tout couple de rayons homologues.
Se ramène au théorème II du n° 1 il .
144. Faisceaux homographiques de plans. — Reprenons les divî-
C1IAIMTIΠIX.
-ions homographiques du n° 136. Si abus joignons les points homologues M el M' à deux droites fixes A el A', nous obtenons deux faisceaux de plans homographiques.
('.(- faisceaux jouissent des mêmes propriétés que les faisceaux de droites. Ils découpent des divisions homographiques sur deux droites quelconques ne rencontrant pas l'une A, l'antre A'. Ils découpent des faisceaux homographiques de droites dans deux plans quelconques ne passant pas l'un par A. l'autre par A': les sommets de ces faisceaux sont les points de rencontre de ces plans avec A et A'. Ce que nous avons dit des équations i ■'>; | s'applique, sans aucune modification, aux équations analogues représentant des plans.
Lorsque les droites de base A et A' des deux faisceaux sonteonfondues, il existe deux plans doubles.
Lorsque tout plan passant par la base commune a même homologue dans les deux faisceaux, ceux-ci sont en involution. Deux plans homologues quelconques sont alors conjugués harmoniques par rapport aux plans doubles.
145. Extensions diverses. — On peut faire correspondre homograpliiquement loues sortes d'éléments géométrique*, associés en deux familles dépendant chacune d'un paramètre. Nous rencontrerons des exemples de ces sortes d'extensions dans la suite de cet Ouvrage (nos.368, 4'26 1. Bornons-nous à signaler ici les cas suivants :
i" Correspondance homographique entre, les points d'une droite et les droites d un faisceau ;
■i" Correspondance homographique entre tes points d'une droite et les plans d' un faisceau •
3° Correspondance homographique entre un faisceau de droites et un faisceau de plans.
On peut caractériser ces correspondances par la condition que le rapport anharmonique de quatre éléments de même nature doit être égal au rapport anharmonique des quatre éléments homologues ou encore par ce fait que la correspondance doit cire algébrique et parfaite.
Arrêtons-nous au cas particulier suivant.
1 W). Soit une droite fixe D. Considérons les points M situés sur D et les plans | |> , qui passent par D. Etablissons entre eux une correspondance homographique. Nous obtenons ce qu'on appelle une corrélation anharmonique ou simplement une corrélation.
KlPPi.RT AMIAIIMoMol ]■:. — HOMOGRAPHIE; INVOLUTION. I'jj
Nous appellerons plan asymptote de la corrélation le plan i l\, i qui correspond au point à l'infini M0 de I). plan centralle plan < I', \ perpendiculaire à (P0) et passant |>;ir I). i><>ii,i central le poinl M, homologue de | P, \.
Imaginons qu'on rapporte la corrélation aux axes suivants. Pre-
aons I) pour axe des c. M( pour origine, < l\ i pour plan «le- :/.
i l\ i pour plan des zy. Soient M2 et M deux points de I) autres
que M,, z-2 et c leurs cotes, (P2) et (P) les plans homologues,
o2 et a les angles polaires de ces plans relativement à :().r. On a,
par h ypot lièse,
( MîMM,M0) = (PJPPiP8),
ou (t. I, n°318'
z . o, ao) = | tan» -o- tan.go, o, x |,
Si l'on considère comme fixe 1<' point \L «'t comme variable le
point M, on voit qu'on a. en posant k = — >
1 ' ' tangos
(38 ^ = /, lang m.
Cette élégante formule s'appelle la formule de Chasles. Le coefficient constant /. s'appelle le paramètre de distribution de lu corrélation. Son signe indique le sens dans lequel tourne le plan P autour de D, lorsque M décrit cette droite dans un sens déterminé. Suivant que /.• est > o ou •< o, cette rotation a lieu dans le sens positif ou dans le sens négatif définis par la droite I). supposée orientée dans le sens de parcours du point VI.
Théorème. — Si Von établit sur une même droite deux roi-relations différentes, il existe deux couples homologues qui leur s ait communs.
En effet, soient \l et M' les points homologues d'un même plan i l'i dans les deux corrélations. 'Ils décrivent des divisions homogra-
pliiques. car on a. par exemple,
(M1MïMaM4) = (PiP1P3P, = M't M', M's M'4). Ces divisions ont deux points doubles I-,. Fa. A chacun deux
1 i i CHAPITRE IX.
correspond le même plan i*l>, pour b|,$9 pourF2) dans les deux corrélations. Les couples (F,, <l>, K (F2, $>*) sont donc bien deux couples homologues communs.
S'il y a plus <lr deux couples homologues communs, les corrélations coïncident, car il en est ainsi des divisions M. M'.
