III. - APPLICATIONS

La théorie «les divisions el faisceaux homographiques donne naissance à d'innombrables applications, dans la recherche de certain? lieux el enveloppés. Ces applications reposent sur quelques théorème^ généraux, qu'il importe de très bien connaître et que nous allons maintenant passer eu revue.

1 17. Droites joignant les points homologues de deux divisions homographiqi es. - Soient les deux divisions D el D' et deux points homologues quelconques M et M'. Nous nous proposons d'étudier I ensemble des droites MM'. Plusieurs cas sont à distinguer.

Ihéorème I. — Si les droites D et D' ne sont pas dans un même plan, la droite MM' engendre une surface du second degré.

En effet, coupons cette surface (S) par une droite quelconque A. Poui point de rencontre est donné par une droite MM' située dans un même plan avec A. 11 revient au même de dire que, pour une telle droite, les deux plans (A, M) et (A, M ') doivent se confondre. Or, ils décrivent deux faisceaux homographiques (n° 144), "ayant même droite de base A. Ces faisceaux possèdent deux plans doubles ('). Il \ a donc deux positions de la droite MM' qui s'appuient sur A et, par suite, deux points de rencontre de A avec i ï ). La surface (S) est donc bien du second degré.

Elle contienl évidemment la droite I). lieu de M, et la droite IV. lieu de M'. Le plan tangent en M, par exemple, est DMM' (n° i ï 7 ). Si la droite MM' est supposée réelle, la surface S ne peut être qu'un

(') Il peut arriver, pour certaines positions de la droite A. que tous tes plans soient doubles. Dans ce cas. toutes les droites MM' s'appuient sur A, qui se trouve donc sur la surface (£). Ces positions particulières de la droite A sont tout simplement les génératrices de(S) du système dont ne font pas partie les droites MM , c'est-à-dire du même système que D et !>' ( n" 447).

RAI'I'OHT AMI VRMONIQI t.

iii.\|.«,ua|'|||I-; : INVOH i M>\

hyperboloïde à une nappe ou un paraboloïde hyperbolique \ □ 5o6 el 562). On distingue les deus <;is en cherchanl si la droite MM peut être rejetêe à fin fi/a. Ceci arrive si les points à l'infini de l> et D' sonl <lcs points homologues (c'est-à-dire ->i les divisions sont semblables). La surface est alors un paraboloïde.

Théorème II. — Si les droites D et I) sont dans un même plan , leur point de rencontre n'étant pas à lai-même son propre homologue, la droite MM' enveloppe une conique.

Cherchons les droites MM qui passent par un poinl quelconque P du plan {fig. ï3). Les faisceaux PA1 el PM' sont homqgraphiques.

Fig. rî.

Us ont deux rayons doubles <|ni son! évidemment les droites cherchées. L'enveloppe esl donc une courbe telle qu'on peut lui mener deux tangentes par toul poinl du plan, c'est-à-dire une courbe de seconde classe, c'est-à-dire une conique I n° ii!2).

Cette conique | Y \ est tangente à D. En effet, -i M vient en O. M vient eu V. quelque pari sur D; MM' se confond avec I). qui esl donc bien une tangente particulière de (r). On sait d'ailleurs) n°273-) que le point de contact est la limite du point de rencontre de l> avec une tangente infiniment voisine; c'esl donc la limite du point M quand MM' tend vers D; c'est le point \.

De même, la conique (T) est tangente à D . au point B homologue du poinl O considéré comme point M.

On peut déterminer de la manière suivante, le genre de la conique m" 460).

Supposons que M aille à l'infini sur D. Si M va à L'infini sut D1 i1 ). la

droite de l'infini est tangente à i I" i, qui -est donc une parabole < n° 468). Ce cas étant écarté, soient I' le point homologue «tu point à l'infini de l>

(' ) Les division* sonl semblables ( n 138

i .(', CHAPITRE IX.

et J L'homologue du point à l'infini de D'. Les parallèles F' G à D et JC à l>' sent tangentes à i r). Gomme il en est de même de D et de D', le parallèle; gramme O.K.I est circonscrit à la conique, dont on a, en passant, le centre w. Cela posé, m V et B sont extérieurs à ce parallélogramme, la conique est une hyperbole; s'il- lui sont intérieurs', la conique est une ellipse i ' >.

iiS. Nous avons supposé 1rs points A el B distincts du poinl 0. Si le point <> es! à lui-même son propre homologue, A et B sont confondus avec Lui. Les droites distinctes D el D' sont tangentes au même point O à (T). La conique dégénère nécessairement en'deux points, donl le poinl O i n" 442). Du reste, lorsque M et M' viennent en O, la droite \l \I est indéterminée; elle doil seulement passer par O. Tontes les droites issues de O sont donc des tangentes à (F). Mais, elles consl il neni une solution singulière, sans intérêt. La véritable solution est donnée par l'autre poinl de dégénérescence de la conique (Y) el l'on peut énoncer le théorème suivant :

Théorème III. — Si les droites IJ el \ï sont dans un même pian, leur point de rencontre étant à lui-même son propre homologue. la droite MM' passe par un poinl lise.

Il est du reste aisé de donner une démonstration directe de cette proposition. Soient M,, M2, M trois points de D; Mn M'2, M' les points homologues de I)'. Les droites M, M,. M2M'S se coupent en un certain point I*. Je dis <pie. quelle que -ml la position du point M sur D, la droite MM' passe aussi par P. En effet, les droites PM et PM' décrivent deux faisceaux homographiques de même .sommet. Or. les trois rayons PO, PM,, PM2 sont des rayons doubles. Doue, tons les rayons son] doubles et PM coïncide avec PM'.

149. Intersection de deux faisceaux homographiques sitils dans le même plan. Théorème IV. — Le lieu des points d'interseç-

tion des rayons homologues de deux faisceaux homographiques de même plan et de sommets différents est une conique.

(' ) Ils ne peuvent être l'un intérieur, l'autre extérieur. Au reste, les droites Al! et JI' doivent être parallèles, car le diamètre Ow doit passer par le milieu de AB f n 163), comme par le milieu de JI'. Nous conseillons au lecteur de vérifier directement ce parallélisme, en se servant de la relation (22) et prenant le point O pour origine commune sur l) et sur D'.

RAPPORT ENHARMONIQUE. — HOMOGRAPHIE; INVOLUTION. 1 5j

Ce théorème é*st corrélatif | n°299) «lu théorème II el se démontre d'une manière analogue. Coupons par une droite quelconque I). Pour que le |><>ini M vienne sur I), il faut et il suffit que Les points de rencontre I* el P' se confondent. Or, ils décrivent sur O deux divisions homograpliiques, lesquelles ont deux points doubles. Ces points douilles sont les points de rencontre «le I) avec le lieu, qui est donc une courbe du second degré.

Lorsque S), vient sur SS', S'a.' vient occuper une certaine posjp tion SB, le point" M vient en S', qui appartient donc au lieu. La tangente en ce point est la position Limite de S'a '. c'est-à-dire SB.

De même, le lieu passe par S, la tangente en ce point étant SA, homologue de S S. considéré comme rayon «lu second faisceau.

Ce qui précède suppose toutefois que S B et S V ne se confondent pas avec SS', c'est-à-dire que la ligne des sommets n'est pas à ellemême sa propre homologué. Dans le cas particulier où il en est ainsi, la droite SS appartient au lieu, à titre de solution singulière (n° 59). La conique précédente se décompose en deux droites, dont lune est SS et L'autre le véritable lieu. Donc :

Théorème \ < — Si la ligne des sommets est à elle-même sa propre homologue, le lieu est une droite.

Ce théorème, corrélatif du théorème IIJ, peut être démontré directement de la manière suivante. Soient (Sa,, S'X', », | SXo3 S X' ) deux couples de lavons homologues. Joignons, par une droite I). les points M i, Mo correspondants. Je disque deux rayons homologues quelconques SX, S/, se coupent sur I). En effet, ils découpent, sur I). deux divisions homographiques admettant trois points douhles M0 (point de rencontre avec SS'), M, et Ma et, par suite, confondues. Autrement dit, SX et S'a' coupent constamment D en un même point . c. o. F. n.

loO. I\ TÉRSEC1 IOX DE DEUX FAISCEAUX HOMOGRAPHIQUES DE PLANS. —

Théorème \ I. — Le lieu des droites d intersection des plans homologues de deux faisceaux homographiques de plans est une quadrique.

Premier cas: Les droites de hase des deux faisceaux ne sont pas dans le même plan . — Le plan du premier faisceau rencontre A

l58 CHAPITRE l\. — RAPPORT ANH \RMoNlol E. — HOMOGRAPHIE; INVOI.l TIO.X.

en M : le plan du second faisceau rencontre A en M. La-droite MM es! l'intersection des deux plans. Or. M «-i M décrivent, sur A et A', .|»ii\ divisions homographiques. On est, dès lors, ramené au théorème 1 .

Deuxième cas : Les (boites de base sont dans un même plan. qui n'est pas à lui-même son propre homologue. — Le raisonnement ci-dessus esl en défaut, car les points M et M sont confondus avec le point <!<■ rencontre O des droites de base et ne déterminent plus, par conséquent, l'intersection OX des deux plans.

Le lieu de ()"/. est un cône du second degré et de sommet O. C'esl évidemment mi cône de sommet O. Pour démontrer qu'il est du second degré, il suffit de le couper par une droite quelconque. Les deux faisceaux de plans déterminent, sur cette droite, deux divisions homographiques, dont les deux point- doubles >ont le- points d'intersection.

Le cône passe par A, le plan tangent le long de cette droite étant homologue du plan A OA. Car si A O). tend vers A OA. Oa tend vers OA <■! AU"/, vers le plan tangent 1<- long de OA.

De même, !<• cône passe par A . le plan tangent riant homologue de AOA '.

Tous ces résultats auraient d'ailleurs pu se déduire du théorème 1\ , en coupant les faisceaux de plan- par un plan fixe quelconque, ne passant pas par ( >.

Troisième cas : Le plan des droites de base est à lui-même sou propre homologue. — Le cône précédent dégénère en la solution singulière constituée par le plan AOA et un autre plan, qui est la solution irritable. On pourrait le démontrer en répétant le raisonnement lait à propos du théorème \ . On peut aussi le déduire de ce théorème en coupant par un plan ne passant p.is par O.

COORDONNÉES TRIUNKA1KKS ET ÏKÏT.AKDItlnl l.s.

loi. Coordonnées triliné\ires. — Imaginons, ilans I.; plan, un svslème i|iielconque de coordonnées cartésiennes. Soient ;, t, les coordonnées d'un point quelconque .M et X, Y. T ses coordonnées cartésiennes homogènes, définies, comme on sait ( n" 39), par les formules

ci ; = Y ' ''■ = t '

Faisons, sur les variables X, V. T. une substitution linéaire quelconque

(2) l V = où x — b'y — c' z,

les a, b, . . . , c' étant assujettis à l'unique condition (|, • m = y ,/ h c y - o.

De (a), on peut tirer inversement

t x = ot X-+- p Y-+- -, T,

Lorsque le point M est donné, on sait que X. Y, T ne sont définis qu'à un facteur près: il en est donc de même des .r, y. z. Ce-- trois nombre:» r, y. c «ont appelés les coordonnées trilinéaires homogènes du point M.

Quand on les connaît, on peut calculer les coordonnées cartésiennes ordinaires, grâce aux formules ( 1 1 et (a), qui donnent

formules qui montrent bien que le point M ne change pas. quand on remplace x. y. z par /.x. j.y. '/.z.

CIl.VPITItl. \.

152. Triangle de référence. — Les équations (4) permettent d'interpréter aisément les coordonnées trilinéaires du point M. < observons d'abord que les équations

représentent tn»is droites (a), I &). (c), non concourantes, car le déterminant

|j a^Y || = — (t. I. n° 297) n'est pas nul (n° 80).

Ces trois droites constituent un triangle, qu'on appelle le triangle de référence,

A vrai dire, ce triangle peut ne pas cire un triangle au sens élémentaire

du mot. Il peut arriver, si deux des droites (a), (b), (c) sont parallèles ( si

l'on a, par exemple, —, = jr-, ) , qu'un de ses sommets soit à l'infini; ou bien y. p /

qu'un de ses côtés coïncide avec la droite de l'infini (') (si l'on a, par

exemple, x" == 3' ' = o .

Quoi qu'il en soit, nous représenterons toujours le triangle de référence

par un triangle ordinaire ABC {fig- \\)\ le sommet A sera opposé au côté (a),

i.r = o); le sommet B sera opposé au côté (b), (y = o); le sommet C sera

Fig. 14.

opposé au côté (c), (5 = 0). Si l'un de ces sommets est à l'infini, il faudra regarder la figure comme purement schématique.

Le sommet A, qui est à l'intersection des côtés (b} et (c), a pour coordonnées trilinéaires (.r, o. o), x ayant une valeur quelconque non nulle, l'e même, B et C ont pour coordonnées (o, y, o) et (o, o, z).

Les formules ( \) peuvent s'écrire

x = T<> S-f-p ij-t-7 i.

y = T<a'ï-3'r(-Y'j, - = T (**£-*■ P'iri + f).

Or, on sait 1 n" 661 que a|-+- 3ttj -f-y, par exemple, en égal, à un facteur constant près, à la dislance du point .M à la droite (a). On voit donc que les

(') De ce point de vue, le» coordonnées cartésiennes homogènes X, Y, T peuvent être considérées comme des coordonnées trilinéaires, le triangle de référence étant constitué par les axes et la droite de l'infini.

COORDONNÉES TRILINÉAIRES KT TÉTRAÉDRIQl'ES. l<il

coordonnées trilinéaires du point M sont proportionnelles aux produits par des constantes déterminées des distances de ce point aux trois côtés du triangle de référence. A chaque côté est affecté un certain coefficient, par lequel doit être multipliée la distance correspondante.

D'une façon plus précise, considérons le point U, dont les coordonnées trilinéaires sont égales (x=y — z) et que nous appellerons le point unitaire. Des points Li et M, abaissons les perpendiculaires sur les côtés du triangle \RC. D'après ce qui précède, les coordonnées trilinéaires du point M sont de la forme

(8) x = ïz\nj, . y = ).z'MÏJ, s==Xe"MÏÏ,

e, î', z" désignant trois nombres déterminés et À un facteur arbitraire. Les coordonnées du point U sont, de même,

i g i a-'= À =L1), .r'= >.'e l K. ./= /.':"tl;.

Eu divisant chaque équation (8) par l'équation (9) correspondante, on a,

ï ./■ en posant p = -r— )

. . mP ^ mô iiïïï

° Ud ' ' FË ' Uïï *

On voit qu'un système de coordonnées trilinéaires est entièrement déterminé quand on connaît le triangle de référence et le point unitaire .

< le point unitaire peut d'ailleurs être arbitrairement choisi, pour un triangle déterminé, à condition de ne pas être sur le périmètre de ce dernier. On peut toujours, en effet, calculer z, z . z" de façon à rendre égales les coordonnées d'un point donné, pourvu qu'aucune d'elles ne soit nulle.

153. Équations DIVERSES. — Nous avons vu que toute courbe algébrique de degré m était représentée, en coordonnées cartésiennes homogènes, par une équation algébrique homogène et de degré m. En faisant la substitution linéaire (à), on arrive évidemment à une équation de même forme

OU /(*i.Ti z) = °j

où f{x, y, z) désigne un polynôme homogène et de degré m. En particulier, une droite a une équation du premier degré :

(i'i i\x — V>y -+- Cz = o.

Par exemple, la droite de V infini in 73) a pour équation T = o ou,

d'après ( 2 1.

L'équation générale des droites passant par l'intersection des droites P = o, Haag. — Cours. U. 1 1

Q = o est . comme au nn 76,

P-i~XQ = o (')

En particulier, toute droite passant par A a une équation de la forme i 16 I V>y -f- Cz = o,

et réciproquement. De même, les droites passant par B ou G sont caractérisées par ce fait que leur équation ne renferme pas y ou z.

Toute équation algébrique, homogène et de degré m en y, z. représente un faisceau de m droites issues de A. Cela se démontre en raisonnant comme au n° 7". Si l'équation est en z. r. les droites passent par B; si elle est eux, y, elles passent par C.

Étant données deux courbes algébriques •

on obtient le faisceau des droites joignant le point A à leurs points d'intersection, en éliminant x entre les équations (17). Cela se démontre en répétant le raisonnement du n° 78. où les notations seules diffèrent.

En éliminant y ou z. on aurait un faisceau analogue, de sommet B ou C.

Tout ce qui a été dit aux n"s 80 et 81 à propos de la condition de concours de trois droites et de l'équation de la droite joignant deux points donnés s'applique sans modification aux coordonnées trilinéaires.

Etant donnés les deux points M, ( xt. yi} «, 1 et M^i x-2, y-2, Sj), le point M de coordonnées .

Xi -f- /.X-2,

y =ji-+->j>'2,

décrit la droite M|M2, lorsque À varie. En effet, si (12) est l'équation de cette droite, on a

donc

A /-, — 1! n -+- C-Zi =• o, A./'. — ]i y. 2 — C z2 = o;

A Xi-hlXi) -h-B(71-h).J,)-r- C(31H-).^2) =0,

quel que soit /,.

On peut aussi remarquer qu'en portant les valeurs 11 8; dans (5). on obtient, pour ç et r,, des fonctions homographiques deX,de même dénominateur, c'està-dire les équations paramétriques d'une droite. On voit, du même coup, que si l'on donne à X quatre valeurs quelconques, on obtient quatre points dont le rapport anharmonique est égal au rapport anharmonique des valeurs

(') Le rapport anharmonique de quatre de ces droites égale le rapport anharim nique <lc~ À.

COORDONNÉES TIUI.IXKAinKS ET TETRAÉDRIQUK8.

correspondantes de X (n° 130). En particulier, -i M3 désigne le point X = i, on a, en remarquant que les X des points M| et M2 sont respectivement o et --/--,

ou (20)

(M, AI, M M 1) = ( 0 x X 1) = (X 1 0 x ) = X