GP

En se reportant à (10), on voit que les coordonnées x,v. z sont proportionnelles aux aires algébriques M1JC, MCA. MAI). Ce système porte le nom de coordonnées barycetitriques.

On peut lui donner une autre interprétation. Je dis que M est le centre des distances proportio/melles des points A, H. C affectés des coefficients respectifs x, y. z. En effet, si l'on applique les formules du n° 23, 00 obtient,

Kvi CHAPITRE \.

pour les coordonnées cartésiennes, des expressions de la for

(ai) ; = > r, = — ,

c'est-à-dire de la formel")), où l'on supposerait simplement a" = b" = c". Les nombres x, y, z constituent donc bien un système de coordonnées trilinéaires. D'ailleurs, pour v = z= o, M vient en A: pour z = x = o, M vient en B; pour .r = y = o, M vient en C; pour x = y = z, M vient en G. Donc, A.ÇC e:?t le triangle de référence et G est le point unitaire (1).

D'après (ai), on voit que la droite de l'infini a pour équation, en coordonnées barycen triques,

L5d. COORDONNÉES NORMALES. — Prenons le point unitaire au centre d'un cercle inscrit ou exinscrit. Si l'on oriente la perpendiculaire à chaque côte du triangle de telle manière que le point U se trouve dans la région positive ( n" 71 >, on a

ÛD = Uë = ÏÏF.

D'après (10), on voit que les coordonnées .r, y, z sont proportionnelles aux distances algébriques MP, MQ, MR.

On les appelle coordonnées trilinéaires normales.

Supposons, pour fixer les idées, que U soit au centre du cercle inscrit. La perpendiculaire à chaque côté est alors orientée vers l'intérieur du triangle. Prenons, d'autre part, comme sens positif de rotation du plan celui qui est défini par le sens de parcours ABC du périmètre. On a, en appelant a, b. c les longueurs des côtés,

2 aire MBG = a PM, 2 aire MCA = 6QM, 2 aire MAB = cRM.

(') On peut aussi donner la démonstration directe suivante. Prouvons que (n° Ï3 )

—>-->■■->■ -4- (ij V = a7.MA.+y.MB -4-s.MC = 0.

Prenons, en effet, le moment par rapport à A. Ce moment est normal au plan et a pour mesure algébrique sur la demi-normale positive

V,A = y. aire MBA + z. aireMCA.

Or. nous venons de voir <iue — — . . . . = — — t. . ,. = : — 1 . . ■ Donc. V, A = 0.

aireMCA aire MAB aire MBA

De même. V,B = V,C = o. Le vecteur V, ne pouvant passer à la fois par A, B et C. e-^t nécessairement nul. c. Q. F. D.

COORDONNÉES TR1UNÉAIHES ET TÉTRAÉDRIQUES. l65

D'autre part 'cf. L\ereice proposé n" 20 du Chapitre VIII)

2 aire MBC -+- % aire MCA -f- a aire MAI; = '. aire ADC = 'S. Donc,

(23) ^rÏÏ-+-^QM + cîTM = -S.

Si donc l'on pose

(24) x = zV\\. y = s 037. ^ = cÏÏTT, on a

( 25 ) a v -h by -+- es = 2 p S .

Si le point M va à l'infini, comme .r, ^, z doivent rester finis, les formules (a4) montrent que p tend vers zéro. On aura donc Véquation de la droite de l'infini, en annulant p dan* i a5 I, ce qui donne

Le lecteur trouvera d'autres équations relatives aux coordonnées normales dans Ni, n° 188.

156. Coordonnées tétraédriques. — Imaginons, dans l'espace, un système quelconque de coordonnées cartésiennes. Soient •:, r,. ~Ç les coordonnées d'un point quelconque .M et X, Y, Z, T ses coordonnées homogènes définies par (n° 39)

(27) c = j> TJ = ïf' -■ = j'

Faisons, sur les variables X, Y, Z, T. une substitution linéaire quelconque (1.1, n° 297)

d'où

les déterminants | a £ c e || et | z j 7 1 || étant différents de zéro.

Lorsque le point .M est donné, x, y, z, t, comme X, Y, Z, T. sont définis à

un facteur prés et sont appelés les coordonnées tétraédriques de M.

Quand on les connaît, les coordonnées cartésiennes ordinaires sont données

. Il \ Il 1 H I s

pai

- l, y ■+■ cm z ■+- e' i

157. Les équations i = o, y ■= o, z = o, £ = o représentent quatre plans

i aucun point commun, puisque || x (3 •; : j1 o n " 89 i. '.''-quatre

plans forment un tétraèdre A.BCD, appelé tétraèdre de référence i ' I. Nous

supposerons que le sommet \ est opposé à la face x = o\ de même, l! est

o, C à s = o el I) à / = o. Les coordonnées de ces sommet-*

sont respectivement i r, o. o, o), (o. y, o, o), (o, o, -, o), (o. o, o, t).

En raisonnant coi e au n" 152, on voit que x,y, z. t sont proportionnels

aux produits par des constantes déterminées des distances de M uu.r quatre faces du tétraèdre de référence.

Si l'on introduit le point unitaire U, dont les coordonnées sont égales (jf = y = z = /), "n .i. comme au n 152,

\lr MQ M~R MB

m p V¥- ' il i K '

158. Toute surface algébrique de degré m est représentée, en coordonnas tétraédriques, pai une équation de la forme

"u y désigne un polynôme homogène de degré m. En particulier, l'équation

A.r-T- lî^-r- Gz - Dt = o

représente un plan. Par exemple, le plan de l'infini a pour équation

a i -t- b "y - <■'" z ■+■ et = o.

L'équation générale des plans passant par l'intersection des plans (P . 1 \ R est. comme au n° 88,

/ p .;... + vr — o.

En particulier, les plans passant par A ou B ou C ou I» sont carai Lérisés

par le fait que leur équation ne renferme pas x ou y ou z ou /.

La condition de concours de quatre plans est la même qu'au n° S1.).

tétraèdre peut avoir t, -ou 3 sommets a l'infini.

COORDONNÉES i un l si. \ nu- m n i it vi ÎDB1QI i l ne droite (SI définie par deux équations du premiei d

Les plana passant par cette droite oni poui équation générale

i ;: , fcp - h »

P temple, l'arête lîl> .i pour équations

(38) ./■ - ii. z

toui plan passant par BD a une équation de la forme

II) \ ' < '. Z —- (t.

Le plan passant par trois points donnés se détermine comme au n* 9i\ Étant donnés deux points M r • i ..V|. s,, t{ ) et M le point M

de coordonnées

décrit Ij droite M|M.,, lorsque ) varie. Le rapport anharmonique de quatre points de cette droite égale le rapport anharmonique de leurs \. On ■ eocore l'équation i .><> I.

189. Suivant la position du point unitaire, on obtient t-'l on tel système c 'données télraédriques.

En le prenant au centre «le gravité, on obtient le système 'le- coordonnées barycentriqueSj qui s'interprète comme au n l'ii ./ ■. . . c, / <.>nt propi i lionnels aux volumes algébriques | n° 93) MBCD, MADC, MABD, MACB («); ou bien, ce sont les coefficients dont il faut affectei les points A. B, ( D pour que leui- centre des distances proportionnelles soit en M.

En prenant le point unitaire au centre d'une -pluie inscrite ou exins on obtient le système des coordonnées normales, pour lequel ./ . », z proportionnels aux distances algébriques MP, MQ, Ml!. M*- {cf. Nui, n 71)

160. MODE D'EMPLOI DES COORDONNÉES I Rit INI LIRES i r TETRA BORIQUES. -Les

coordonnées trilinéaires '>u tétraédriques "'• -mit d'un emploi commode que dans 1rs questions où n'interviennent aucune propriété métrique niaueun rapport autre qu'un rapport anharmonique. Elles — • » 1 1 1 spécialemenl imli • quées lorsque, les conditions précédentes étant réalisées, il e\i-ie, dans la

il faut bien prendre garde .i l'ordre dans lequel on énonci les somme se débarrasse de cette préoccupation en convenanl que chacun des quatre volumes est positif' mi négatif, suivant qu'il <e trouve >ln même côté que le U référence <>/' <tu côté apposé.

l(»S CHAPITRÉ \. — COORDONNÉES TRILTNÉ4IRES KT TÉTRAÉDRIQUES.

question, un triangle ou un tétraèdre jouant un rôle particulièrement important, qu'on |>reii(] alors comme triangle ou tétraèdre de référence, le point unitaire demeurant arbitraire ou étant choisi, lorsque cela est possible, de manière à amener encore quelques simplifications.

Malgré ce qui vient d'être «lit plus liant, on peut quelquefois utiliser les

•ordonnées trilinéaires ou tétraédrîques pour rétablissement de certaines

propriétés métrique*. Il suffit de se donner arbitrairement les équations de la

droite de l'infini ou du plan de l'infini, lorsque les seuls éléments métriques

intervenant dans la question sont des rapports de la forme . où A,

MB B, M désignent trois points en ligne droite. On remplace ce rapport par le rapport anharmonique (ABMN), en appelant M le point à l'infini de la droite Ali.

Si l'on a affaire à des angles, il faut, en outre, se donner une équation du

second degré, destinée à représenter un certain cercle ou une certaine sphère,

de manière à déterminer, de concert avec l'équation de la droite ou du plan

de l'infini, les points cycliques (n° 163) ou le cercle imaginaire de l'infini

n 17'.)). On applique ensuite les propriétés signalées aux n"8 164, 1<S0 et 181.

Si l'on a affaire à des distances, on peut encore se tirer d'embarras, en convenant que l'on s'est donné, par exemple, une sphère de rayon i ou bien en introduisant une certaine forme quadratique (cf. Ni, nos 184, 186). jMais on est conduit à des calculs compliqués, sur lesquels nous n'insistons pas.

Observons, pour terminer, que, pour l'étude des propriétés métriques, il peut être avantageux d'utiliser des systèmes particuliers de coordonnées, tels que les coordonnées normales.

161. Distance de deux voiîïis. - Soient deux |><>ini- M,i /,. r,'. M2(#o, y* i. que nous supposons d'abord rapportés .1 deus axes rectangulaires. Soient <l leur distance el ta l'angle polaire «lu vecteur M( M2. On a

(1) ./■ t — .r, = f/c<'-;. jo — V! = rfsinç.

Enlevons au carré <■( ajoutons

(2) d*-=(xt— xiY-t-(yt-j'i)*'

Telle est la formule qui tionne, en axes rectangulaires, le carré de la distance de deux points.

Bien qu'on s'en scr\e peu souvent, nous allons aussi établir la formule en axes obliques. Soit d'abord à calculer la distance < >.M. On a l'égalité géométrique (n° 21)

OM = x h .1 -.

Formons le carré scalaire (n° 104

(3) OM = .r -— v2 — iry cos6, 8 <li -ipnant l'angle des axes, l'osons

1 i 1 !• .1 -. i 1 r^ a:' — > •-' — ixy cosO.

Pour avoir la distance MiMt, il suffit de porter l'origine en Mi. I-es non \ elles coordonnées de M2 sont x% — X\ et Y»— Ti, et l'on a

162. Equatiob du cer< le. - S. ni un cercle 1 G 1 de centre I x, f3 , et de rayon R. Pour qu'un point Ml r, y \ ^>n\ sur ce cercle, il faut et

i~o CHAPITRE XI.

il suffit qu'on ail CM = R2 ou, d'après ( 2),

(6) (x — <*)*•+• (y — p)s— Rs= o.

Telle est, en coordonnées rectangulaires, l'équation du cercle de centre C(a, [3 1 el de rayon R.

En coordonnées oblique?, l'équation est, d'après 1 ïj,

Développons l'équation (6), nous obtenons

en posant

(9) ' a» 4-^ — Rî= v.

Je dis que, réciproquement, toute équation de la forme (8) représente un cercle, quelles que soient les constantes a. Jj, y. En effet, celte équation est identique à l'équation (6), si l'on prend

Elle représente donc bien un cercle, dont le centre a pour coordonnées y.. (3 et dont le rayon est donné par (10). Il est à remarquer que ce rayon n'est réel que si a2-)- (32 — y >> o.

Si a-'-j-j- — y -< o, le rayon est imaginaire pur 1 t. I, n° 28). L'équation (8) n'est vérifiée pour aucun point réel; le cercle est imaginaire | n" 55).

Si a-— (3a — -y= o, le rayon est nul. L'équation (8) se réduit à

(in ( x — 7. )- -+- ( y — jî )'2 = o

ou

Le cercle se décompose en deux droites imaginaires conjuguées issues du point C, qui en est le seul point réel. On dit que c'est un cercle évanouissant ou dégénéré ou de rayon nul.

163. Points cycliques. — ■ Coupons le cercle (8) par la droite de l'infini. A cet effet, imaginons qu'on rende l'équation homogène et

qu'on v fasse ensuite T = o (n° 73). Il reste l'équation

(jii 1 se décompose «ml

(i î 1 y = ix , y =— i.i .

Les point» ii l'infini du cercle onl pour coordonnées homogènes m. 1. ni «i (i. — /. ni. Ou voit qu'ils sont indépendants des coefficients -/. (î, •-. Donc, éoms tes cercles du plan ont les mêmes points à l'in/ini.

Ces points, qui sonl imaginaires conjugués, sont appelés points cycliques ou points circulaires à l'in/ini. Nous désignerons tnujours ]<■ premier par la lettre I el 1<' second par lii lettre J.

Théorème. — Pour qu'une courbe du second degré soit un cercle, il faut et il suffit qu'elle passe par les points cycliques.

En effet, nous savons déjà que la condition est nécessaire. Démontrons qu'elle est suffisante. Les axes étant supposés rectangulaires, toute courbe dû second degré a une équation de la forme

(i5 \ 1 - < B / y I '.y1— > I)./- - 2 Ey -t-F = o.

Si on lii coupe par la droite de l'infini, on obtient deux points situes sur le faisceau

(16 \ > - -t- 1 B xy -- 1 \y- = 0.

Ces points étant, par hypothèse, les points cycliques, le faisceau i 16) iloii coïncider avec le faisceau (i3). Identifiant les deux, équations, il

\ -iciii

Mais alors, si l'on <li\ise (i5) par A. on obtient une équation du type (8), qui. nmis le savons, représente un cercle. i .q.f.d.

COROLLAIRE. — Pour qu'une équation du second degré, en coordonnées obliques, représente un cercle, il faut et il suffit que l'ensemble des termes du second degré soit proportionnel à <ltx,y).

Car, l'équation du faisceau joignant l'origine aux points cycliques esl (18) L /-. 1 - ...

Ce corollaire pourrait aussi s'établir directement par identification avec (7).