Droites isotropes. On appelle droite isotrope toute

droite passant par l'un des points cycliques ou, ce qui revient au même, ayant, en axes rectangulaires, un coefficient angulaire égal à -\-i ou à - i .

Par tout point P <iu plan passent, deux droites isotropes. Ces deux droites sont imaginaires conjuguées, si P est réel. Si a et (3 -<>nt les coordonnées de P, elles ont pour équations les équations (12) et constituent le cercle de rayon nul de centre P. Elles sont définies nuadratiquement par l'équation (1 1). En particulier, les isotropes de l'origine sont représentées par (i3 ) ou (1 4)-

Les droites isotropes jouissent de propriétés fort curieuses, dont les applications en Géométrie sont innombrables.

Théorème I. — Tout segment de droite isotrope a une longueur nulle. En effet, soient les deux points Mi(xllyi) et M2(a?g, y{) situés sur une même isotrope, ce qui se traduit, par exemple, par la condition

(19) yi—yx=i(x*—*\)-

On a

Réciproquement, si deux points Mi, M2 sont à une distance nulle l'un de l'autre, ils sont sur une même isotrope. On pourrait le montrer par un calcul inverse du précédent. On peut aussi observer que le point M2 se trouve sur le Cercle de rayon nul de centre Mj et, par conséquent, sur une des isotropes qui passent par Mj.

Pour rappeler cette propriété, les droites isotropes sont appelées quelquefois droites de longueur nulle.

Théorème II. — Toute droite isotrope fait avec elle-même un angle indéterminé.

Appliquons en effet la formule (i5) du n° 08. en y faisant m = m' = i. Il

vient

iane> = - = -,

ce qui est bien une expression indéterminée (t. I, n" 126).

Réciproquement, si une droite fait avec elle-même un angle non nul, c'tst une droite isotrope.

En effet, si tang V ne s'annule pas pour m = m ' , il faut qu'on ait i-\-mm'= o ou m- -+- 1 = o, m = ± ;'.

Kn particulier, toute droite isotrope est perpendiculaire à elle-même et réciproquement.

Corollaire. — Si un angle de grandeur constante tourne autour de son sommet, ses cotés décrivent deux faisceaux homographiques , dont les rayons doubles sont les droites isotropes issues du sommet fixe.

En effet, soit V.OX, OX'J = V = const. Connaissant <JX, nous en déduirons OX' par une rotation de l'angle V. Inversement, connaissant OX', nous en déduisons OX par une rotation de l'angle — V. Il y a donc bien correspondance bomographique entre les deux rayons, ce qu'on peut du reste voir aussi en observant que, d'après la formule (a5 l du n° <>8, les coefficients angulaires m et m' sont liés par une relation homographique.

l'our que OX se confonde avec OX', il faut et il sullit, d'après ce qui précède, que ce soit une droite isotrope. Les rayons doubles sont donc bien les isotropes issues de 0.

Lorsque l'angle est droit, et dans ce cas seulement, les deux faisceaux sont en involulion. Car, c'est le seul cas où la rotation de l'angle -+-\ et la rotation de l'angle — V conduisent à la même droite. On peut aussi remarquer que c'est le seul cas où la relation

(no)

(i -f- mm' ) -t- (m — m') col V =? o

e«t involutive.

En vertu d'un théorème du n" 143, on peut énoncer la proposition suivante :

TnÉORlhlli III. — Pour que deux droites soient rectangulaires, il faut et il sujjit quelles soient conjuguées harmoniques par rapport aux droites isotropes issues de leur point de /-encontre ; ou encore, en coupant par la droite de L'infini : Pour que deux points soient à l'infini dans deux directions rectangulaires, il faut et il suffit qu'ils soient conjugués harmoniques par rapport aux points cycliques.

On peut utiliser ce tbéorème pour mener les perpendiculaires en coordonnées obliques. Pour avoir la perpendiculaire à OX, il suffit de prendre la polaire d'un de ses points par rapport au\ isotropes issues de O.

Théorème I\ . — L'angle d'une droite isotrope avec une droite quelconque autre qu'elle-même est constant.

On a, en effet.

I n) tangY =

. un -+- i

/ : — = — / = const. C.Q.F.D.

THÉORÈME V. — Soient OX et OX' deux droites quelconques. Si l'on désigne par p le rapport anharmonique Ol IJ XX' ), on a

V = (oX, OX') = ilogp

En effet, on a

(m — i)(m'-—i) mm'-\-\ — i i ni — m ) m-+-i' m' — i ( m -— i) ( m' — i) mm' -+- 1-+- i ( m' — m)

. m — ?n i-i-mm' i — t'tancY cosY — isinV

. ut — m l -4- * —

H-itaneV cos\ 4-zsinV