I -7- IIU1I — o-îlV
ai'V == — loe p.
Y = - logo.
La formule (22) est connue sous le nom de formule de Laguerre* Elle s'écrit aussi
Si les droites 0)» et OX' varient de telle manière que V ou p demeurent constants, on retombe sur le corollaire du théorème II et l'on démontre du même coup sa réciproque.
Si Y — -, on a
p = e-*'rc= cos( — 7î) -+- 1 sin( — -) = — 1 ; le faisceau 0(IJ XX') est harmonique. Réciproquement, si p = — 1 . on a
cos >\ — i sin aV = — 1; d'où
2 \ = ( 2 k -4- 1) it , Y = /.---+- 4-' • On retrouve le théorème III.
16o. Equations paramétriques nu cerclk. Tangente. — Nous pouvons nous fixer la position du point M sur le cercle de centre C
par Fangle polaire <p du vecteur CM. Non- avons alors, eh projetant
sur Ooc et O » .
x = a ■+■ R co> ç . y = 3 — R sin o.
Telles sont les équations paramétriques du cercle. On peut vérifier aisément sur elles les propriétés élémentaires de In tangente nu cercle. Les paramètres directeurs de celte tangente
rome I. 11" 109, I.
sont (n° 192) -?- et -^j c'est-à-dire — R'sinçp et Rcos'f. On peut
do d prendre pour cosinus directeurs
— sin s ei cosœ ou
ïo.(T + ï) et ,n(c-:)
ce qui nous donne o -f- - pour angle polaire de lu demi-tangente
positive. On voit bien qu'elle est perpendiculaire au rayon CM. Son équation est
x — t. — K cos s y — (3 — \\ sin o
— sin e eos o
OU
(>:j ) (x — a) cjsœ -+- {y — (J) sin p — R = o.
On a l'équation sous la forme normale in" 60 ). On vérifie que la distance du centre à la tangente <-:?t R.
Cette dernière propriété est très commode pour trouver l'équation tangenlielle (n° 207). 11 suffit d'écrire que le point C(o, (3) est à une distance R de la droite
(26) U.r — l'y — IV = 0;
ce qui donne, en appliquant la formule (i(i) du n" 66,
R2= («a + i'Z -+- w)* u* ■+- v* OU
(27) («a + pp + w i!— R*(m?-+- ('*) = 0.
166. Puissance d'un poijvt par rapport a un cercle. — Soient le cercle (C) représenté par l'équation (8) et un point P(#0, y0). Menons par ce dernier une sécante quelconque Pa de cosinus directeurs a, b. Elle rencontre le cercle aux points M, M'. Je dis que le
produit p = PM,. PM7 'demeure constant. Lorsque Pa pivote autour de P.
Pour évaluer commodément ce produit, prenons les équations paramétriques de Pa (n°72), en posant PN==p. Les coordonnées de N sont jt0 H- pa, y0-\-pb. L'équation aux a dv± points d'inlersec-
tj6 CHAPITRE XI.
tion est donc
f(x0-+- pa, y0-h pb) = o,
en appelant /' i .r. y i le premier membre de (8).
Les racines de cette équation du second degré en p sont PM et l'M . Il s'agit d'en évaluer le produit. Pour cela, il nous faut le coefficient de p2 et le ternie indépendant de o. On a immédiatement ce dernier en faisant 0 = 0 dans le premier membre de (28); cela donne J 'i.r0, v0). Quant au coefficient de d2, il provient évidemment des
termes
qui donnent, comme termes en s-,
puisque a et £ sont des cosinus directeurs. On a finalement
Cette quantité est bien indépendante des cosinus directeurs a. A, «lune de la direction de la sécante P).. On l'appelle puissance du point P par rapport au cercle. D'après la formule (29), nous pouvons énoncer la règle suivante :
Piègle. — Pour avoir la puissance d' un point par rapport à un cercle, on substitue les coordonnées du point aux coordonnées courantes dans le premier membre de r équation du cercle, supposée écrite tout entière dans un même membre et de telle manière que le coefficient de x--\- y- soit é^id à l'unité.
