II. — CONSTRUCTION DES EXPRESSIONS ALGÉBRIQUES

i. Soit à construire une longueur dont la mesure x est donnée, en fonction des mesures «, b, .... / d'autres longueurs supposées connues, par la formule

où / représente une certaine fonction algébrique des variables a, b, ...,Z.

Observons toul de suite que, si l'unité de longueur doil demeurer arbitraire, cette fonction doil être homogène et de degré i (n°.2). S il n en esl pas ainsi, on est obligé de choisir une certaine longueur pour unité, qui, représentée par une lettre u. permet de rendre la formule l 3 | homogène i n" '.). remarque 11).

Non-, pouvons donc nous borner à examiner les cas <<ù la fonction y est homogène el de degré i. Hâtons-nous de dire d'ailleurs que le problème posé n'esl pas toujours possible dan- le sens que ' nous envisageons ici. c'est-à-dire à la régie et nu compas ( ' >. Sans

(') On entend par là que. pour avoir la longueur demandée, il doit suffire d'effet-

4 CtlAPITItK I.

chercher à approfondir cette question de possibilité, nous triions simplement passer en revue les principaux cas admettant une solution.

5. Expressions ràtionkelubs. — Si la fonction j est rationnelle (t. 1. n° 75), le problème est toujours possible, la construction pouvant même se faire entièrement a la règle.

Premier cas : Construction d'un monôme. — Tout monôme du premier degré est de la forme

alai...ap

bib-y . . . b/t-i

Quand ^> = 2, on est ramené à la construction bien connue d'une quatrième proportion/telle.

D'autre part, l'égalité

(3) X p+i — xl>~~,

montre que la même construction permet de passer d'un monôme xp à un monôme xp+\. Par suite, il suffira de p — \ constructions de quatrième proportionnelle pour obtenir xp, en passant, de proche en proche, par les monômes x2, x:!, . . ., xp K.

Deuxième cas : Construction (V un polynôme. — On construit séparément chaque terme. On n'a plus ensuite qu'à ajouter ou retrancher des longueurs, ce qui ne souffre pas de difficulté.

Troisième cas : Construction d' une fraction . — Soit

les polynômes P et Q étant homogènes et de degrés respectifs p el p — i , de façon que x soit homogène et de degré i .

On choisit arbitrairement une longueur X. Puis l'on construit des

tuer un nombre limité de constructions faisant appel uniquement à la règle et au compas. Ce point de vue offre d'ailleurs un intérêt plus théorique que pratique. Si l'on a, en effet, à construire la longueur x dans un cas concret, le plus simple est de mesurer les longueurs a, b, ..., I, de calculer ensuite x par la formule (3), où la fonction / peut alors être quelconque, et enfin de construire la longueur, qui a pour mesure x.

HOMOGENEITE. CONSTRUCTION DES EXPRESSIONS ALGEBRIQUES. 5

longueurs y et z définies par

(7) ?=\p-iy\ Q = -kP-tz,

constructions centrant visiblement dans le deuxième cas. On a alors

et l'on est ramené à une quatrième proportionnelle.

6. Expressions irrationnelles. — Nous envisagerons seulement les longueurs définies par la formule générale

où X,„ désigne une expression rationnelle, homogène et de degré 2"', m étant d'autre part un nombre naturel.

D'abord, lorsque m = 1 , on choisit arbitrairement une longueur X et l'on construit y telle que

(10) X, = >>tx (n°S).

On a ensuite

(11) x = s/ly\

on est conduit à la construction bien connue d'une moyenne proportionnelle.

Si m a une valeur quelconque, on construit (cas précédent 1

Puis, on a

(i3) a?= vAi5ÏZi3^= \À2'"-'-'j.

On est ramené à une expression de même forme, mais où le nombre m est diminué d'une unité. On conçoit, dès lors, de proche en proche, la possibilité d'avoir x, par ni constructions de moyenne proportionnelle.

7. Dans certains cas rentrant dans les précédents, on peut quelquefois trouver des constructions plus rapides que celles auxquelles conduit la méthode générale. C'est ainsi que les longueurs y a- -\- b2

6 CHAPITRE 1. — BOMOGÉNKITÉ. CONSTRUCTION l>KS EXPRESSIONS ALGEBRIQUES.

et y/ai (>■- sont obtenues par la construction évidente d'un triangle

rectangle.

I)< même, on sait construire les racines d'une équation du second degré, sans se servir <le> formules classiques de résolution, qui donneraient lieu à une solution compliquée.

Soit encore à construire les racines d'une équation bicarrée. Choisissant une longueur arbitraire a, posons

Nous obtenons une équation du second degré en y, dont nous construisons la ou les racines positives, s'il y a lieu. Une moyenne proportionnelle nous donne ensuite x = ± \"ky.

GRANDEURS ORIENTÉES. IMïOJECriON'S.