Axe radical; ce.mtiE radicxl. — Soient deux cercles

to) 0=^+^ — 1-x x — 2 (ï y -t- y = o ,

■ 1 1 1 C = x- -f- y- — î y.' x — 2 çt' y -+- 7' = o .

Le lieu des points qui ont même puissance par rapport à ces deux cercles a pour équat ion

C'est donc une droite. On vérifie qu'elle est perpendiculaire à la direction de paramètres directeurs 2(a' — a), 2(|j' — ?j) (n°6G"i.

LE CERCLE. \--j

c'est-à-dire à l;i ligne des centres. Elle | » ; i > >< • évidemment par les points communs aux deux cercles, car <•«•> points annulenl (. el C, donc C — C. On l'appelle a#e radical des deux cercles.

S.ni maintenant un troisième cercle : C"=o. Les ;i\< ;s radicaux de ces trois cercles associés <leu\ à deux ont pour équations respectives

En ajoutant membre à membre, on obtient unr identité. Donc i n" SI) les trois droites sont concourantes. Leur point de concours est appelé centre radical des dois cercles. On aurait ses coordonnées en résolvant deux quelconques des équations (33) par rapport ;ï .r. y.

Problème. — Exprimer que deux cercles donnés par leurs équations sont tangents.

On peut écrire la condition élémentaire bien connue :

d = Rzt R\

où d désigne la distance des centres. On peut aussi écrire que l'axe radical est tangent à l'un quelconque des cercles, en se servant de l'équation tangentielle.

1()<S. Angle de deux cercles. — On appelle angle de deux cercles l'angle \ des tangentes en un quelconque de leurs points de rencontre.

On peut arriver à une définition plus précise, en procédant de la manière suivante. Orientons arbitrairement les deux cercles et menons les demi-tangentes positives (n" il ) en un de leurs points de rencontre. L'angle Y de ces demi-tangentes sera, par définition, l'angle des deux cercles orientés ou , suivant l'expression créée par La guerre, l'angle des deux cycles. Cet angle n'est pas orienté, car si l'on voulait, par exemple, prendre pour côté origine la demi-tangente au cercle (G), le sens de l'angle changerait quand on remplacerait le point M par le point \ {Jig. 16). Le cosinus de l'angle Y est donc seul déterminé sans anibiguïté.

Nous allons calculer ce cosinus. Pour obtenir une formule générale, nous ferons la convention suivante. Le plan étant supposé orienté, nous regarderons anime positif le rayon de tout cercle orienté dans le sens positif et comme négatif le rayon de tout cercle orienté dans le sens négatif | ■

(l) La demi-normale positive est dirigée vers le centre du ctrcle. dans le premier cas: vers l'extérieur, dans le second cas.

IIaag. — Cours. IL 12

."■HUMïllK XI.

Cela posé, appelons R ei IV les rayons algébriques des cycles (G) et(C'). Si ces rayons sont <le même sigae, les cycles ont même orientation, leur angle

est TMT'ou T. MT, : il est égal à OMO',

Or, le triangle OMO' nous donne

("777'=^ ÔÏV^-r- (Fm* — aOM.O'M cosOM 0\ ( hi a donc, dans ce cas, en appelant d la dislance des centres,

R2 i Ri—ffr-

ÏH)

Si H et R sont de signes contraires, l'angle V est TMT', ou TiMT'; il est

supplémentaire de OMO'. son cosinus est — cosOMO'. Mais, comme le produit HR' a changé de signe, on a encore la formule \ 34), qui est donc ton jours vraie, en grandeur et en signe.

Supposons que nos deux cercles soient déliais par les équations et l mi. Nous avons

a - - y. ' '- — ( ri — i 'f- — 2 aa' -+- 2 [3 p' — 7 — y' . 2à7'+ 2 3 S' — V — y'

= 3ta +

Donc