R IV
On dit qnc deux cycles sont tangents, lorsque leur angle est nul. La formule ( 3 j ) donne alors
d où
LE COU il 179
Si les cercles ont même orientation, ils -ont tangents intérieurement; sinon, ils sont tangents extérieurement.
Les deux cycles -ont < I i t > semi-tan gents, qîiand leur angle est ■ -'il à -. On a alors
et les conclusions inverses des précédentes.
16!>. Centre de similitude de deux cycles. — On sait que deux cercles sont homothétiques l'un de l'autre de deux manières différentes, ce qui donne lieu à deux centres de similitude. Lorsque les cercles sont orientés, on confient d'appeler centre de similitude des deux cycles celui qui correspond ù une bomothétie dans laquelle les demi-tangentes positives aux points homologues sont non seulement parallèles, mais aussi de même sens. C'est le cenne de similitude externe S (Jig. 161. lorsque les cycles ont même orientation; c'est le centre de similitude interne S', lorsqu'ils ont de- orientations différentes. Dan- tous.les cas, on a la formule
d'où l'on déduit les coordonnées de S 1 n" 23 I
,;'" -r= IV- K ' y- R'R
170. Cercles orthogonaux. Deux cercles sonl orthogonaux, lorsque leur angle esl droit. D'après (3zj . il faul el il suffit qu'on ail
Coi rf* = RM- R's ;
ou que le rayon OM soil tangenl .i (C) ou <|u<' O'M -'>ii tangent ,i (G) ; "H que la puissance de O par rapporl à (C 1 soil I! -. carré du rayon de 1 C 1.
. Théorème. — Si deux cercles sont orthogonaux^ tout diamètre de V un est divisé harmoniquement par Vautre et réciproquement.
En effet, si (C) et (C) sonl orthogonaux, on a 1 fig. 1 7 1
(41) TnT (7ïï = R»=ÔN = ()P .
Donc (n° 129), ^ el l} sonl conjugués harmoniques par rapport
Réciproquement, si cela est, on a ( ji); d'où, elc. La condition d'orthogonalité des cercles (3o) e< (3i) s'écrit. d'après i '>*> i,
(4a) 25ta'H-2pp'=Y-+-f-.
Pis. i-.
cc*>
TnÉORÈAIE. — Si les coefficients de l'équation d'un cercle variable vérifient une relation linéaire à coefficients constants, ce cercle reste orthogonal à un cercle fixe.
Supposons que les coefficients a, J3, y de (3o) varient tout en étant liés par la condition
Nous allons déterminer a'. {}', y' de telle manière que la condition ( j2), qtri est, elle aussi, linéaire en se, (î, y. soit identique à (43). Nous avons
rf'
L'identification est donc possible, tant que c ^ o. Lorsque c = o. l'équation (43) ne renferme plus que a et (3 et montre que le centre C décrit une droite. Cette droite est alors un diamètre pour tous les cercles (G), qu'elle coupe orthogonalement. Si on la considère comme un cercle de rayon infini, le théorème est encore vrai dans ce cas particulier.
171. r \ isi i \ i x de cercles. -- Etant donnés deux cercles (Cm)- <i i G2 i. les cercles (C) qui passent par leur intersection ont pour équation générale
(44) Ci-4-XCi=o.
Cela se démontre en répétant le raisonnement du n° 76 et s'appuyarit
LE CERCLE. I S i
vnr ce que deux cercles coïncident nécessairement quand ils onl trois points communs*
Ces cercles (C) constituenl ce qu'on appelle un faisceau, de cercles; (Ct) et (Ca) sont les cercles de base; Leurs points de rencontre sont les points de base.
Pour simplifier l'étude du faisceau, prenons puni axe des a la Ligne des centres et poux axe des y l'axe radical de (Ct) et de (Ca). Les polynômes Ct et Ca sont alors de la forme
(45) Ci = x%-\- y- — >t.1x -+- Yi ' -2 = -^2 -T- j'* — 2 a2 a? -t- Yj
le terme constant v étant le même, comme égal à la puissance commune de O par rapport à (Ct) et(Ca). L'équation (44) devient alors,
en remplaçant A par — ,
Si A, -)- a2 = o, elle se réduit à x = o el représente O)', qui doit être regardé comme le cercle de rayon infini du faisceau . Si A| + A o yé. o, l'équation (46) est de la forme
a étant arbitraire.
Sous cette forme, on voit tout de suite que l'axe radical de deux cercles quelconques du faisceau est Or; on l'appelle l'axe radiai/ du faisceau.
Les points de base s'obtiennent en faisant x = o dans (47)> ce qui donne
Us sont réels si " <C o, imaginaires conjugués si Y^>o, confondus si y = o. Dans ce dernier cas, tous les cercles du faisceau sont tangents en O à Or.
Le carré du rayon du cercle (47) est a2 — y. 11 est nul, pour
Le faisceau comprend donc deux cercles de rayon nul. dont le» centres, donnés par | .{<.)). sonl appelés points limites. Ils sont symétriques par rapport à O y. Ils sont réels quand les points de base sont imaginaires, imaginaires quand les points de base sont réels, confondus avec O quand les points de base sont confondus avec O.
i^ . in \riTiu: xi.
Théorème. — Les points limites sont conjugués (n° 832) par rapport à tout cercle du faisceau.
En effet, l'équation aux abscisses des points de rencontre de Ox avec 1«' cercle < \~ i s'écril
Les racines ont pour produit y = OL = OL' . en appelani LetL' les points limites. De là résulte le théorème énoncé, en vertu du n° 129.
172. Constructions diverses. — I. Construction des points limites. — Du point O. on mène une tangente OT à un cercle quelconque du faisceau et on la rabat r-n OL et OL'. sur la ligne «les centres, de part et d'autre du point O.
II. Cercle du faisceau passant par un point donnéM. — Cette construction, ainsi que les deux suivantes sont évidentes quand les point? de base sont réels. Occupons-nous donc seulement du cas contraire.
Menons par M un cercle quelconque (C) qui coupe (Ct) en deux points réels P et Q. La droite PQ, axe radical de (C) et de (Ci), rencontre l'axe radical du faisceau en un point S, par où passe Taxe radical de (C) et du cercle cherché (C), puisque les trois axes radicaux doivent concourir. Joignant SM. nous avons cet axe radical; il rencontre (C) en un deuxième point M', par où doit passer aussi le cercle cherché. La perpendiculaire au milieu de MM' rencontre la ligne des centres du faisceau au centre de (C).
III. Cercle du faisceau ayant un centre C donné. — Le rayon R de ce cercle est donné par R* = OC — OL . Sa construction est évidente.
IV. Cercle du faisceau ayant un rayon donne. — Son centre est donné par OC = R2 - OL . Sa construction est évidente.
173. Faisœaix orthogonaux. — Les faisceaux de cercles se présentent dans le problème suivant : Trouver les cercles orthogonaux à deux cercles donnés.
Cherchons, par exemple, les cercles orthogonaux aux cercles (G4) et (C2) précédents. Soil
/ - y- — 2 a' x — > fi' y -fc- y = -o
l'équation d'un tel cercle (T). On doil avoir I n" 170)
LE CERCLEJ IS'5
Retranchant membre à membre, il vient a'=:o, puis v'=— v. Pal conséquent, les cercles cherchés onl pour équation générale
p. étant arbitraire. Ils ferment Un faisceau, dont l;i ligne des centre? est Oy et l'axe radical O.r. Ae\s points de base sont les points limites du faisceau précédent et les points limites sont les points de base de ce même faisceau.
Si l'on écrit la condition d'orthogonalité des cercles | 17) et (5o), on obtient une identité. Donc, tout cercle du premier faisceau est orthogonal à tout cercle du second. Pour cette raison, <m dil que les deux faisceaux sont orthogonaux.
174. Réseaux de cercles. — Soient trois cercles (C, ), (Çj), (C3) n'appartenant pas à un même faisceau.
Les cercles (G) définis par l'équation
constituent un réseau de cercles, dont (Ci), (C*), (C3) sont les cercles de base.
Prenons pour origine le centre radical de ceux-ci | ' >. En répétant un
calcul analogue à celui du ïi" 171, on trouve que l'équation (5l) pread la forme (2)
{')■>) .r- ~- 1- — •' y.r — ' fi y — y = o,
a, fi étant arbitraires et y une constante égale à la puissance commune de 0 par rapport aux trois cercles de base.
On voit que l'axe radical de deux cercles quelconques du réseau pas-e par O, qui est appelé centre radient du réseau. On voit également que tout cercle du réseau est orthogonal au cercle V de centre 0 et de rayon / Y et réciproquement. Ce cercle f est appelé cercle orl/ioto/iu'aue fin réseau ou des cercles (C,), (C»), (C3).
17IS. Cercles isogonavx. — Soient deux cycles (C, ) et (C2) définis par les
(') Ceci est en défaut, si les axes radicaux des cercles de base sont parallèles. On voit alors aisément que le réseau se compose de tous les cercles qui ont leurs centres sur une droite donnée.
(2) On élimine ainsi les cercles de rayon infini constitués p,n les droites passant par O.
l£ i « H VPITIIK XI.
équations i ' i - —
(53) .r- -+-}■-—■> a, x h- a = o, ./'- ■ ■ y- 1%iX H- a = o
et par les rayons algébriques Rj, R ,.
Un cercle (G) est dit isogonal à ces deux cycles, s'il les coupe sous le même angle. Peu importe d'ailleurs son orientation, car le changement de celle-ci ne fait qu'ajouter tc aux deux angles de (G) avec (Cj) et (C2) et, par conséquent, les laisse égaux s'ils l'étaient primitivement.
Si R désigne le rayon de i C), on a, d'après (35 ), la condition
< aa, — y — a ■> aa> — y — a
