LA SPHERE

177. Distance i»f. deux points. — Soient deux points M, (/,, j, ,;, ) et M2i.r,. i o. 32 ': que nous supposons rapportés à trois axes rectangulaires. Soienl d leur distance et «, b, c les cosinus directeurs du

vecteur M , M . ( )n a

■>'i — xt = d.a. y, — X\ — (l.l>,

Elevons au carré et ajoutons; il vient, en tenant compte de la formule ( i(> ) du n° 21.

Telle est la formule qui donne, en axes rectangulaires, le carré de la distance de deux points quelconques de l'espace.

En axes obliques, nous commençons par calculer le carré de la distance de l'origine au point MO, y, z). Partant de l'égalité géométrique

faisons le carré scalaire :

— > — > OM = x - v

•' — >fZ COSÀ -r- 2Z.4?COS|l -f- 2.Xy COSV,

où X, ■).. v «ont les angles des axes, à savoir yOz, zOx, xOy. Si l'on pose

(3) <l [x, y. z ) = 3?2-f- y2 ■- z? — >yz]cosA -+■ >.zr cosjji -+- ixy cosv, on a, comme au n" 161,

M|Mj- ■ Xï — xuyi-yu zt — zx).

178. Equation de la sphère. - En coordonnées rectangulaires, l'équation de la sphère (S), de centre C(a, (3, y) et de rayon R,

I A Sl'Ill.Ui:. [87

s'écrjt. (I après ce qui précède,

En coordonnées obliques, l'équation est

Développons l'équalion (5) \ nous obtenons

(7) .r2 — r2 — a5 — à-aar — '/.'■' ■ ay* -t- 0 = o., ou posan I

Réciproquement, tonte équation de la forme (7) représente une sphère de centre (a, [3, v) el donl le rayon 1^1 donné par

(8) R2=a2 Hp2+Y2 S.

Ce rayon peut d'ailleurs èlre réel, imaginaire pur ou nul. Dans ce dernier cas. la sphère est dite évanouissante ou de raj on nul. Elle n'a qu'un seul poinl réel, qui est son centre C; elle dégénère, comme nous le verrons un peu plus Loin (n° ISO), en un cône imaginaire de sommet ( '..

J 70. Cercle imaginaire de l'infimt. — Coupons la sphère 1 7) par le plan de l'infini. En passant par l'intermédiaire des coordonnées homogènes, on voit que la section es.t la même que celle du cône imaginaire du second degré défini par l'équation (n° 375)

Gomme cette équation est indépendante des coefficients 2. j. y, 0. on \itit que tontes les sphères de V espace ont mêmes points à V infini.

Ces points, tous imaginaires, doivent être regardés comme constituant un cercle, puisqu'ils sont obtenus comme intersection d'une sphère avec un plan, à savoir le plan de l'infini. Ce cercle est appelé le cercle imaginaire de l'infini ou encore Vômbilicale. Nous le désignerons, dans les numéros suivants, par la lettre 1 1").

Théorème. — Pour qu'une surface du second degré soit une

1 88 CIIAPITBÉ XII.

sphère, il faut et il suffit qu'elle passe par le cercle imaginaire de V infini.

Même démonstration qu'au n° 163.

Corollaihk. — Pour qu'une équation du second degré, en coordonnées obliques, représente un cercle, il faut et il suffit que l'ensemble de ses termes du second degré soit proportionnel à i(i, y, z).

180. Cônes, droites, plans isotropes. — On appelle cône isotrope tout cône ayant pour base le eercle imaginaire de l'infîni. C'est ainsi (pie le cône (9) est le cône isotrope de sommet O. ("est aussi une sphère de rayon nul, de centre O.

On appelle droite isotrope toute droite qui rencontre le eercle imaginaire de l'infini, ou. ee qui revient au même, dont les paramètres directeurs vérifient l'équation (9). Les droites isotropes, ainsi définies, qui appartiennent à un plan donné ( P) ne sont autres que les isotropes de ee plan définies au n° L64. En effet, ce sontles droites qui, situées dan> 1 P 1, passent par l'un ou l'autre des deux points de rencontre de (P) avec le cercle de Vinfini. Or, ces points ne sont autres que les points cycliques de (P), car tout cercle tracé dans 1P1. si- trouvant sur mie sphère, coupe le plan de l'infini en deux points appartenant nécessairement à (Y).

Les droites isotropes de l'espace jouissent, d'après cela, des diverses propriétés établies au n° 164. En particulier, ce sont des droites de longueur nul le (•).

Théorème I. — Pour que deux droites (h) et ( D' ,1 de l'espace soient rectangulaires, il faut et il suffit qu'elles percent le plan de l'infini en deux points conjugués < n" 432-) par rapport au cercle imaginaire de l infini.

En effet, menons les droites parallèles à (D ) et CD'; par un même point O,

P) Dans le plan, ce sont les seules courbes de longueur nulle. Dans l'espace, il n'en va plus de même. Toute courbe gauche dont les tangentes sont isotropes est une courbe de longueur nulle. En effet, la longueur d'un arc quelconque d'une telle courbe est donnée par (t. I, n" 172)

dt.

Or, si les tangentes sont isotropes (et dans ce cas seulement), on a x'* ■+-' y'* -\- z"1 — 0; d'où s = 0.