LA SPHÈRE. I

soient OX et <>)'. Pour <j ne ces deux droite» soient rectangulaires, il faut et il suffit que leurs points à l'infini INI et M', qui sont aussi les points à l'infini de 1D1 et ( D), soient conjugués harmoniques par rapport aux point-, cycliques I et J du plan XOX' ( n" 164). Comme ces points ne sont autre-, que les points de rencontre de la droite MM' avec (T), le théorème est démon l ré.

Théorème II. — Une droite et un /dan perpendiculaires ont pour traces sur le /dan de l'infini un point et une droite qui sont pôle et polaire par

rapport à l'ombilicale.

En effet, supposons que OX reste fixe et que OX' décrive, autour de <>, un plan 1 P 1 perpendiculaire à OX. Le point Al reste lixe: M se déplace dans le plan de l'infini, en restant conjugué de M par rapport à (T ) et décrit, par conséquent, la polaire de M par rapport à ce cercle (11° 432). Comme le lieu de M' n'est autre que la droite de l'infini du plan (P), le théorème est démont ré.

181. < >n appelle plan isotrope tout plan tangent au cercle de l'infini.

Pour qu'un plan soit isotrope, il faut et il suffit qu'il soit parallèle à ses perpendiculaires. Car, pour que sa droite de l'infini soit tangente à (T), il faut et il suffit qu'elle contienne son propre pôle 1 n° 433 1.

De cette simple remarque résulte que la condition pour que le plan

( 10 1 ux — ■ cr — »: + //= 11

soil isotrope est. en coordonnées rectangulaires,

Cette équation exprime, en effet, que le plan (10) est parallèle à la droite de paramètres directeurs 1 //, r. w 1, qui est, comme on sait, perpendiculaire audit plan.

L'équation 1 111 e>t l'équation tangentielle du cercle de l'infini.

THÉORÈME III. — Pour que deux plans soient perpendiculaires, il faut et il suffit i{ue leurs traces sur le plan de l'infini soient conjuguées pai rapport au cercle de l'infini (n° 443) ou encore qu'ils soient conjugues harmoniques par rapport aux deux plans isotropes issus de leur intersection.

En effet, pour que deux plans (P) et ( P') soient perpendiculaires, il faut et il suffit que l'un d'eux, 1 Pi, par exemple, soit parallèle aux droites perpendiculaires à l'autre. Ceci revient à dire que la droite de l'infini (D) de (P) doit passer par le pôle de la droï'te de l'infini 1 D' 1 de 1 P'; par rapport à (T). Or, c'est la condition de conjugaison de ces deux droites ( n" 443 1. Ceci veut dire aussi que (D) et (D') doivent être conjuguées harmoniques par rapport aux

tangentes à (F) issues de leur point de rencontre (n° 443 1 et, par conséquent, que ( P ) et ( P') doivent être conjugués harmoniques par rapport aux plans isotropes issus de leur intersection, puisque ces plans contiennent évidemment les tangente^ précédentes.

Remarque. — Les points c\ cliques d'un plan isotrope sont confondus. Tout cercle d'un tel plan est donc une conique du genre parabole (n° 460).

]<S:2. Eqi étions paramétriques de la sphkre. Plan tangent. — Nous [ m . 1 1 \ < »n - fixer la position d'un point M sur la sphère (Si de

centre (. par les angles polaires (n° 30) 0, cp du vecteur CM. Nous avons alors, en projetant sur les axes,

ii - x = a + R si 11 6 cosç, y = 3 -+- R sin6 sine. z = y — R eos6,

équations paramétriques de la sphère.

Le plan tangenl au point Mi,/. 1. ri de la sphère 1 7 > a pour équation 1 n" "2Ui >

( 1 3 ) (X — x) {x — z)-i V-ri(/ — 'j ) — | Z — z) {z — y) — "•

Les coefficients de \. ^ . Z étant les projections du vecteur CM Mille- axes, on vérifie que ce plan est perpendiculaire au rayon CM.

Si l'on remplace, dans ( [3 l, x. v. z par (12 1. on obtient

(i4) (X - z) sin 8 cos s 4- 1 Y — ,'; ) sin6 sin ç -+- (Z — y) cos '3 — R = o,

équation canonique du plan tangent.

L'équation tangentielle de la sphère s'obtient m écrivant que la distance du centre à un plan quelconque es! égale au rayon, ce qui donne (n° <Si )

(i5) 1 n y. ■+■ p |3 — wy — /• 1- — R-i m2 + c2 — n! i = o.

183. Puissance. — La puissance d'un poinl par rapport à une sphère se calcule en répétant lé raisonnement «lu n° 166: elle est soumise à la même règle que la puissance d'un point par.rapport à un cercle.

Le plan radical des deux sphères S = o, S'= o a pour équation

Le- plans radicaux des trois sphères (S), (S . s issociées. deux

LA SPHEBE. iyi

à deux ont pour équations

lis passent par une même droite, comme on le \uil en ajoutant leurs équations (n° 90). Cette droite est Y axe indien I des trois sphères.

Les six plans radicaux de quatre sphères ont un point commun, appelé centre radical. Par ce point, passent aussi les quatre axes radicaux des sphères associées trois à trois.

184. Angle dp: deux sphères. — C'est l'angle des plans tangents en un de leurs points de rencontre.

On peut orienter une sphère de deux manières différentes, suivant la manière d'orienter chaque plan tangent ou, ce qui revient au même, la normale à ce plan (n° 27). Si la demi -normale positive e«t dirigée vers le centre de la sphère, nous conviendrons de regarder le rayon comme positif. Sinon, le rayon sera négatif.

Deux sphères étant ainsi orientées, leur angle est égal à l'angle des deminormales positives en un de leurs points communs.

Il est donné par la formule (cf. n° lf)8 |

(iM cos\ = -^

-> yy' — :— -> *. r". — I— > w r. ri

(17 ) cosV = — —

aRR'

Les deux sphères sont tangentes ou semi-tangentes, suivant que l'angle V est nul ou égal à t.. Suivant le cas, on a

rf = ±.(R — Rf) ou d = =(R -r- R' ..

Le centre tle similitude de deux sphères orientées se définit et se détermine comme celui de deux cercles orientés (11" 169 l.

185. Sphères orthogonales. — Deux sphères sonl orthogonales lorsque leur angle est droit. La condition d'orthogonalité prend les différentes formes énoncées, au n° 170, pour l'orthogonalité de deux cercles | ' 1. En fonction des coefficients (\c> équations, elle s'écrit

(18) >(aa'-t- yy - v; I = 8 - S',

(') Le lune circonscrit à chaque sphère le long «lu cercle d'intersection a pour sommet le centre de l'autre sphère.

ce qui donne lieu à un théorème analogue à celui du n" 170.

INI). Faisceaux et réseaux de sphères. ^- Etant données deux sphères 1 S, » et 1 Sg), toutes les sphères qui passent par leur intersection sont définies par l'équation

1 g ' Sj -1- /. S, = o.

Elles forment un faisceau, dont 1 S, 1 et 1 S, 1 sont les sphères de base, leur cercle d'intersection étant le cercle de base.

Si l'un prend pour axe des ; la ligne des centres de ( S,) et de (S2) el pour plan des ./ y leur plan radical, l'équation ( ifj) prend la forme

où v est un paramètre arbitraire et 0 une constante.

Si l'on v fait 2=0, on obtient l'équation du cercle de base dans son plan xOy :

Ce cercle est réel, imaginaire ou évanouissant, suivant que 0 est <o, > o ou = 0. Dans ce dernier cas, toutes les sphères du faisceau sont tangentes en O à xO y ( n" 206).

Le faisceau comprend deux sphères de rayon nul, dont les centres, appelés points /imites, ont pour cotes ± yo et jouissent des mêmes propriétés (pie les points limites d'un faisceau de cercles < n" 171).

1 NT. Étant données trois sphères ( S| ), (S»), (S3) n'appartenant pas à un même faisceau, le* sphères qui passent par leur intersection ont pour équation générale

(22) /. 1 St — / ., S2 — /. , S3 = o.

Ces sphères forment un réseau, dont (Si), (S2), (S3) sont les sphères de buse, leurs deux points communs étant les points de base.

Prenons pour a\e des z l'axe radical de ces dernières ( ' ) el pour plan des xy e plan de leurs centres. Un calcul analogue à celui du n° 174 montre que

(l) Ceci n'est pas possible, lorsque cet axe radical est rejeté à l'infini, ce qui arrive quand les centres Ct, C... C3 sont sur une même droite A. Le lecteur constatera, sans difficulté, que, dans ce cas le réseau comprend toutes les sphères ayant leur centre sur A.

LA spiikrf. 19I

l'équation (21) prend la forme ( i3 ) X- + /!+ z- — 1 À x — 2 [j.r — 0 = 0,

À et [x étant arbitraires.

Deux sphères quelconques du réseau ont un plan radical passant par <>z. Trois sphères quelconques du réseau ont pour axe radical O z, qui, pour cette raison, est appelé l'axe radical dit réseau. Les points de base A et B sont les points de Os ayant pour cotes ± y/ — o. Ils sont réels, imaginaires conjugués ou confondus, suivant que 0 est < o, > o ou = o. Dans ce dernier cas, les sphères du réseau sont toutes tangentes en O à Os.

La sphère (23) a un rayon nul si l'on a

Il \ a donc, dans le réseau, une infinité de sphères de rayon nul; le lieu de leurs centres est le cercle du plan des xy qui a pour centre O et pour rayon \f?j. On l'appelle le cercle limite du réseau. Il peut être regardé comme l'intersection des deux sphères de rayon nul qui ont pour centres les points de base, ainsi que le vérifiera ai:-ément le lecteur.

188. Soient les deux sphères (Si), (Si) définies par les équations

(25) x'1 -\- y1 -\- z1 — 271 z -t- a = 0+ x-—y--hz'2 — 2-;2 z -+- a = o.

Cherchons toutes les sphères (S) qui leur sont orthogonales. Une telle sphère étant représentée par l'équation (7), on doit avoir

2^Yl = a -r- 0, 2"fYï = a ■+■ ° ;

Telles sont les uniques conditions. L'équation générale de nos sphères ( X) est donc

( 27 ) xi -r- y'2 -+- z'1 — 2 ~/.x — ». \j.v — a = o,

où X et 'j. sont arbitraires.

Elles forment un réseau. Toute sphère de ce réseau est orthogonale à toute sphère du faisceau

dont (S^et (S2) sont les sphères de base. Le réseau et le faisceau sont dits orthogonaux.

Les points de base du réseau sont les points limites du faisceau. Le cercle de base du faisceau est le cercle limite du réseau. Il est orthogonal à toutes les sphères du réseau.

Si l'on cherchait les sphères orthogonales à trois sphères n'appartenant p;is

Haag. — Cours II. . i3

J()i CHAPITRE XII.

a un même faisceau, on trouverait, par un calcul analogue au précédent, les sphères d'un faisceau orthogonal au réseau délini parles sphères proposées.

189. Li . ercle dams l'espace. I ii cercle dans L'espace <'-i défini par les équations d'une >|>ln'ic- ei d'un plan ou bien de deux sphères. Dans ce dernier cas, le plan du cercle est d'ailleurs le plan radical des deux sphères.

I 11 cercle^ (C) étant défini comme l'intersection d'un plan | l'i avec une sphère i S | de centre I el de rayon 11. le centre I' de ce cercle est

la projection de 1 sur (P) et son rayon es! \ R- — 11' •

On appelle axe du cercle la perpendiculaire 11' à son plan menée par son centre.

On peut écrire les équations paramétriques d'un cercle ( G) défini par son centre, son plan et son rayon. Soient a, p\ y les coordonnées du centre C. Soit H le rayon. Soient enfin (a, 6, c) et (a, b', c' ) les cosinus directeurs de deux demi-droites rectangulaires C).- et C p situées dans le plan du cercle.

Fixons la position d'un point quelconque .M de (C) par l'angle vÇ~/.,CÀlJ = tp, le plan XCp étant d'ailleurs orienté de C). vers Cp.. Si nous projetons M en P sur G), et en Q sur C;j., nous avons

I m, GP== R cosep, GQ = H sino.

L»'autre part.

< im QG-+- CP CQ.

Projetant celle égalité géométrique sur les axes de coordonnées, nous avons les coordonnées de M en fonction de <f :

; x = -j. — Rô cosç -+- Ro' sino, y = S -i- R b cosç -4- l« b' sin ç. c = y — R c cos'^ — H c *in z.

190.. Le cercle si r la sphère. - Suit la sphère (S), d équation

i 3 i • .' - — r- -+- -s8 — II- = o.

Tout cercle ( G) traeé sur cette sphère peut être délini par l'équation ( li i et par celle d'une sphère quelconque. Pour cette dernière, on peut prendre le plan (II) du cercle <»u bien la sphère i ï i orthogb-

LA SPHÈRE. l'M

paie à (S i le long de ( < ! i. ><»it ( ' )

Le plan ( Il ). 'm plan radical de (S) el (S), a pour équation

(33) xx — 'iy -r-;; — K- = ô.

C'esl le plan polaire | n° 132) du centre P de (S) par rapport à ' S propriété du reste évidente, si l'on se rappelle que le cône circonscrit à (S) le long de (Ci a pour sommel I' in" 135).

Soient deux cercles ( G) et (C) tracés sur ( Si. Ils se coupent en Jeux points (réels ou imaginaires;, intersection de (S) avec la droite d'intersection de leurs plans (II) et (IT). Soit M l'un de ces points, supposé réel. Soient enfin P et P' les centres des sphères (Ï i et (£') orthogonales à (S) suivant (Ci et sui\ant (C). Menons les tangentes MT. MT'. Joignons, d'autre part, Ml' et MP'. Ces quatre droites sont dans le plan tangent en M à (S). De plus, MP est perpendiculaire à MT et MP' perpendiculaire à MT'. Il s'ensuit que

l'angle TMT' est égal à l'angle PMP' ou en est supplémentaire. Il en résulte que Vangle des deux cercles (C) et (C) égale Vangle des deux sphères

La condition d'orlhogonalité s'écrit, d'après la formule (18),

C'est aussi la condition pour que les deux points P et P' soient conjugués par rapport à la sphère (S) (n° 432). On sait d'ailleurs (n° 443) que deux points sont conjugués en même temps que leurs plans polaires. Donc :

THÉORÈME. — Pour que deux cercles tracés sur une sphère soient orthogonaux, il. faut et il suffit que leurs plans soient conjugués par rapport à cette sphère.

Cela est, du reste, évident géométriquement. Car, si les cercles (C i et ( C) sont orthogonaux, la tangente MT, par exemple, passe par P'. Ce dernier point, pôle de (11), se trouve donc dan» (11) et les deux plans sont conjugués.

Réciproquement, si P' se trouve dans (II). la droite MP', qui est tangente

à (S), coïncide nécessairement avec MT : l'angle PMP1 est droit, les cercles sont orthogonaux

191. Si le plan (II) tourne autour d'une droite fixe (A); le cercle (C) passe

(l) Le ternie constant est R-. puissance de O par rapport à (->■

196 CHAPITRE Ml. — LA SPHÈRE.

par deux points fixes \ el B, intersection de ( A ) a\ec l S |. Il engendre, sur la sphère, un faisceau, dont A et B sont les points de base et (A) l'are radical . Il y a, dans ce faisceau, deux cercles de rayon nul, dont les centres A'. B' sont les points de contact des plans tangents à (S) menés par (Ai et sont appelés points limites du faisceau. Ils sont réels, quand les points de base sont imaginaires et vice versa. Ils peuvent être considérés comme l'intersection de (S) avec la droite ( A i conjuguée de (A).

Si un cercle ( Ci est orthogonal à deux cercles donnés (G,) et (C2), son plan passe par les pôles Pi et P2 des plans (11]) et (Il2) de ces cercles et réciproquement. Les cercles orthogonaux à deux cercles donnés sont donc les cercles du faisceau qui a pour axe radical la droite conjuguée (n° 436) de la droite d'intersection des plans de ces deux cercles.

Tout cercle (Ci du faisceau (/) défini par (Ci) et (C2) est alors orthogonal à tout cercle t < '.' | du faisceau (/') précédent, car les plans de ces deux cercles sont conjugués, comme passant par deux droites conjuguées. Les deux faisceaux sont dits orthogonaux. Les points de base de chacun d'eux sont les points limites de l'autre.

Dans le cas particulier où (A) est tangente à (S), les points de base \ et B de (f) sont confondus; les cercles (C) sont ions tangents en A à (A). La droite i A ; est aussi tangente à (S) en A et d'ailleurs perpendiculaire à (A). Les cercles (C ) sont tangents en A à (A'j.

Le lecteur n'est pas sans remarquer l'analogie de ces propriétés avec celles qui ont été établies, au Chapitre précédent , à propos des faisceaux de cercles dans un plan. On peut d'ailleurs ramener les deux théories l'une à l'autre, en faisant une inversion ayant son pôle sur (S).

rANGENTES ET PLANS TANGENTS.

192. Tangente \ cne cm uni: définie PARAMânuQUEMENT. — Soit une courbe quelconque (G) de l'espace, dont les coordonnées du point couiant sont supposées exprimées en fonction <l un paramétré quelconque t. Soient M (a?, y. : i le point de paramètre t et

M(.r-)-Ajr\ i — A>-, ; ~ A: i le point de paramètre t -+- A/. La droite MM' a pour paramètres directeurs A,r. Ar, Ar. ou. >i I on

veut, — > — > — Supposons que \t tonde vers zéro et, par suite,

M' vers M(*). Les rapports précédents tendent vers les dérivées ..< ■'. y . :■' de ./ . y. z par rapporl à /. en supposant toutefois que ces dérivées existent. Si elles ne sont pas toutes trois nulles, elles Constituent les paramètres directeurs d'une direction bien déterminée, direction limite de la sécante MM'.

On peut donc affirmer «pie. moyennant les hypothèses faites sur i .■'. r . s', la droite MM' (end vers une position limite déterminée, quand M' tend vers M sur la courbe (2). Cette position limite est, par définition, la tangente en M à la courbe. Elle a pour paramètres directeurs x',y', z'] comme elle passe par le point M. elle est parfaitement connue.

On peut aussi prendre pour paramètres directeurs d<- la tan-

(l) En supposant toutefois les fonctions .z-. y, : continues pour la valeur considérée île /.

(■ ) Lorsque les dérivées x'. y', - n'existent pas toutes trois ou bien sont toutes nulles, on peut chercher les parties principales des infiniment pctii* Ad?, Ai. A;, en prenant St pour infiniment petit principal. En divisant par une puissance convenable de It, on aura, l> la limite, trois quantités non toutes nulles, paramètres directeurs de la tangente. Si l'un au moins des accroissements A /.Ai, As n'a pas de partie principale déterminée, il peut arriver que la tangente n'existe pas. Non- ne nous occuperons pas de ces singularités, qui se rattachent à l'Analyse plutôt qu'à la Géométrie.

gente les différentielles a'.r. >lv. <lz, qui sont proportionnelles aux dérivé» s #', y , s (t. I. u°137). Cela esl tout indique quand on lient à ne pas préciser le choix du paramètre /. comme il arrive, en particulier, dans certains problèmes, où l'on doit raisonner sur une courbe inconnue, qu'on se propose, par exemple, de déterminer in" 34<St.

193. Demi-tangente positive. — Imaginons qu'on ait choisi, sur la courbe, un système d'abscisses curvilignes (n° 11). Soient s et S-J-A5 les abscisses curvilignes des points M et M'. Supposons As >> o. Les cosinus directeurs de la demi-droite qui va de M

vers Al -ont -y » -j~, -y, en appelant / la longueur de la corde MM .

< )r. on peut écrire, par exemple,

Ax A.r A^

Lorsque 1s tend vers zéro par valeurs positives, il e?t clair que la demi-droite MM' tend vers la demi-tangente positive en Al (n° 11).

D'autre part, — tend vers -3- el y tend vers 1 (•) 1 t. L n" 172).

Donc, -r- n pour limite -s-« In calcul analogue donne le> limites / l as °

de -j- et de -^- Il suil de là que la demi-tangente positive, en M à la courbe 1 C) a pour cosinus directeurs

dx , dy dz

c/.v rf.s rts

194. Lorsqu'on emploie des coordonnées homogènes ou tétraédriques, on peut raisonner de la manière suivante. La sécante MM' est déterminée par les ieux points

M(x, y, z, t) et M'(.r — A.r, y -- A/, s -+- As, f -i- A/).

Mais on peut remplacer M' parle point i\l"i \x, A> -, \z, \t ) (n" I08 >, qui, lorsque M' tend vers M, a pour limite le point V(dx, dy, dz, dt). Les points M et P déterminent la tangente en M.

( ' ; Vers + 1 et non vers — i . puisque As et / sent

TANGENTES ET PLANS rANGENTS.

19o. Lin plan est dit tangent à la courbe (G), lorsqu'il contient une de ses tangentes. L'équation générale des plans tangents <'n M est donc l'équation générale des plans passanl |>;ir MT. On peul La mettre sous différentes formes i n" 90). Signalons l;i suivante :

dy d:

où a, [ï, v désignent i rois nombres arbitraires, qui sonl . par exemple, les paramètres directeurs d'une droite du plan tangent non parallèle à MT.

196. Tout ce ([ni précède s'applique' à la Géométrie plane; il suffît de supposer 3 = 0. En particulier, si y désigne Van g le polaire de la demi-tangente positive, on a

dy ds

Si l,i courbe est définie par une équation <\r la forme (3) y = f{x\

on peul prendre x pour paramètre /. Les paramètres directeurs <\f la tangente sont alors 1 et -~ ■ Le coefficient angulaire de la tan-

gente est donc

f'(x) {cf. 1. I. u" 60).

Dans le cas particulier où la courbe passe à l'origine, nue règle assez communément employée consiste a prendre pour coefficient

angulaire de la tangente la limite du rapport — quand x tend

vers zéro. Cela se justifie d'après la définition même de la tangente,

puisque — est le coefficient angulaire de la sécante joignant le point O

de la courbe au point infiniment voisin \.c y).

L'équation de la tangente en M à la courbe (.3) esi

Si l'on y fait ^ = o, on obtient, en appelant l* la projection de M

sur O.r el T le point de rencontre de la tangente avec cet axe,