TaNGEMTE A UNE COURBE PLANE DÉFINIE PAU UNE ÉQUATION

implicite. — Soit la courbe plane définie par l'équation

Si l'on imagine x ely exprimés en fonction d'un certain paramètre, d'ailleurs quelconque, l'équation de la tangente au point M(.r, y) est, d'après le numéro précédent,

dx dy

où X et \ désignent les coordonnées courantes. Or, x et y vérifient identiquement l'équation (4); on a donc, en différentiant (t. I, n° 140),

(6) f'xdx+Jydy = o.

Eliminant dx et dy entre (5 ) et (6), nous avons

Telle est l'équation de la tangente.

Dans le cas où /(x. y) est un polynôme, on peut la transformer comme il suit. Le terme constant

fait songer assez naturellement à l'identité d'Euler (t. I, n° 134-j. Si l'on désigne pary/ la dérivée par rapport à la variable d'homogénéité (t. I, n° 227), on a

(8) ■'/',- yfl + fl^mfix, y),

m désignant le degré de f(x,y). Or, pour les coordonnées du point M./(#, y) est nul; dès lors, (8) devient

vfx+yfy+f^o] a où

L'équation i - \ peut dune s'écrire

Si l'on passe en coordonnées homogènes, elle devienl

(10) XF'.-VF^-TF^u,

où ¥(x,y, t) désigne le polynôme /(.r, y) rendu homogène.

Au rcsle, il est aisé d'établir directement l'équation (ioj. Il suffit, en effet, de vérifier quelle est satisfaite pour les points

M(x, y, t) et V{d.r.dy,dt) (n° 194), c'est-à-dire qu'on a

(11) ■'■f.ï— jf;-wf, = o

et

(12) F , dx — Y ydy — F't dt = o.

Or, l'équation 1 1 1 1 n'est autre, en vertu de l'identité d'Euler. que l'équation de la courbe, qui est vérifiée identiquement par les coordonnées de M. Quant à d-2), c'est la même équation différentiée ; elle est également satisfaite.

Il est à remarquer que ce raisonnement convient tout aussi bien pour des coordonnées trilinéaires quelconques, auxquelles s'applique donc l'équation (10).

198. Points mlltipi.es. — L'équation 1 10) devient illusoire quand les trois dérivées partielles F'x, F'v. F^ sont nulles simultanément. Ceci ne peut arriver que pour des points particuliers de courbes particulières, car les trois équations homogènes

n'admettent pas, en général, d'autre solution que la solution zéro. Il existe. néanmoins, des courbes admettant de tels points, qui sont désignés sous la rubrique générale de points singuliers. On peut les caractériser géométriquement en étudiant l'intersection de la courbe, que nous supposerons algébrique ('), avec une sécante quelconque passant par M.

Déterminons cette sécante par un point quelconque W(x\y\t , autre que M. Les coordonnées d'un point quelconque P de la droite MM' sont de la

(') On pourrait aussi la supposer transcendante, pourvu que la formule de Taylor, écrite plus bas- lui fût applicable. Mais l'étude des points multiples n'a d'intérêt, à notre point de vue, que pour les courbes algébriques.

forme (n 153)

le poinl I' venant d'ailleurs en M pour X = o.

L'équation aux À des point? d'intersection île la sécante avec la courbe -'< crit

i i F( t ;4- Xr', y -^ '/.y', t -f- À /' | o

ou. en développa ni par la formule de Taylor (t. I. n"5 132. 136),

i '> F ■ ./•. r. h —>.../■' F , — I V\ :-/'!-',)-- — ( .i- F, — y F, — II", I- -t- . . .

Le poinl M se trouvant sur la courbe, F(x, y, t) est nul. On vérifie que l'équation (i5) admet X = o pour racine. Si le point J\l n'est pas singulier et si le point M' n'est pas sur la tangente en M, le coefficient de X n'est pas nul, la racine X = o est simple: on dit qu'un seul point d'intersection se confond avec le point M.

Au contraire, si M' se trouve sur la tangente en M, la racine X = o est au moins double et il y a au moins deux points d'intersection confondus avec le point M. Ainsi donc, la tangente en un point non singulier est caractérisée par la propriété de couper la courbe en au moins deux points confondus avec le point de contact (').-

Supposons maintenant qu'on ait affaire à un point singulier. Quel que suit M', l'équation (i5) admet la racine À = o à un ordre de multiplicité au moins égal à 2. Il en résulte que la propriété caractéristique d'un point singulier est que toute sécante passant par ce point coupe la courbe en au moins deux points confondus avec lui.

Envisageant tout de suite le cas le plus général, imaginons que toutes' les dérivées partielles de F(x, y, t) soient nulles au point M, jusqu'à l'ordre p exclusivement, auquel cas on dit que M est un point multiple d'ordre p. Quel que soit M', l'équation 05) admet X = o comme racine multiple d'ordre p. Autrement dit, toute sécante issue de M coupe la courbe en p points confondus avec .M et p seulement, du moins tant que la sécante est quelconque. Il y a au contraire au moins p-t-i points d'intersection confondus avec M, si le point M vérifie l'équation

(16 (x'F,.— yvy ~ i'F't)ip>= o.

Celte équation, algébrique et de degré p en x\ y\ t' , représente nécessai-

('j Cette propriété est, du reste, assez intuitive, d'après la définition même de la tangente. Lorsque la sécante MM' tend vers la tangente MT, le point d'intersection M' vient se confondre avec le point .M, qui appartenait déjà à l'intersection.

tan ,i;\ il - i.i pi \n.s rANGEîS i-.

renient un faisceau de p droites issues «le M. rai -i elle esl vérifiée par un point M-, elle I esl aussi pai tous les points de la «Imite MM . qm donnent, en effe t . tous la même sécante.

On voit donc que, parmi les sécantes issues de M. il \ en a /> qui donnent />-+-i points d'intersection confondus avec M. Par analogie avec le cas de /■ —i. nous dirons que oes p droite"; sonl (es tangentes au point M. <>n démontre d'ailleurs '(ne. dans l'hypothèse actuellement envisagée, la courbe alTecte, au voisinage du point M, la forme de /> branches se croisant en ce point et tangentes respectivement aux // droites ci-dessus déterminées Certaines de ces branche-, comme d'ailleurs certaines des p tangente- en M peuvent être imaginaires. Plusieurs tangentes peuvent aus=i se confondre. L'étude des diverse- particularités que peut présenter une courbe au voisin d'un point singulier est fort difficile et complètement en dehors du cadre de cet Ouvrage. Contentons-nous de résumer les résultats précédents en un énoncé qui. seul, devra rester dan- la mémoire du lecteur :

I n point M est multiple d'ordre /> lorsque toute sécante issu* de ce point coupe la courbe en p points confondus avec lui et p seulement. Il y a /> droites qui coupent en an moins p-\-\ points confondus avec M : ce sont les p tangentes en Vf.

inalytiquement, un tel point est caractérisé par le fait que 1rs dérivées partielles du premier membre de l'équation homogène de la courbe doivent s'y annuler jusqu'à l'ordre /> exclusivement.

I lorsque /> = 2, on dit aussi qu'on a un point double. Les deux tangentes ''n ce ppinl peuvent alors être réelles <•! distinctes, imaginaires ou confondues. Dans le premier cas, deux branches réelles se croisen.1

en M (fig- 18, a). Le point esl appelé point nodal. Dans !-• second

1 ') On peut observer que -i M se déplace sur l'une <le ces branches, en se rapprochant indéfiniment du point M. la sécante MM', qui, primitivement, coupait la courbe en p points confondus avec M et en un point confondu avec M', la coupera, à la limite, en /i + i points confondus avec M et sera devenue, par conséquent, une des p droites que nous avons appelées tangentes au point M.

cas, les branches qui se croisent en M sont imaginaires; à part le point M, la courbe ne possède aucun point réel au voisinage fie ce point, qui est appelé, pour cette raison, point double isolé{fig. 18,6). Dans le troisième cas, deux branches arrivent en M, tangentiellement à une même droite. Ordinairement, la courbe affecte la disposition (c); le point M est dit point de rebroussement. Mais on peut aussi avoir l'une des dispositions (d), (e), (/). Il peut arriver aussi que les deux branches de courbe qui arrivent en M soient imaginaires conjuguées (l). La discussion des conditions dans lesquelles se trouve réalisée l'une ou l'autre des dispositions ne rentre pas dans le cadre de cet Ouvrage ( - >.

Lorsque p = 3, \, . • • • le point M est appelé point triple, quadruple, ....

Remarque. — Les calculs précédents sont évidemment valables pour des coordonnées trilinéaires quelconques. De plus, le point M peut très bien être à l'infini. Ce cas sera étudié à part au Chapitre X\ .

199. Poijvt multiple a l'origine. — Il est particulièrement commode de reconnaître la nature d'un point, au point de vue multiplicité, lorsque ce point est à l'origine des coordonnées (3 i.

Ordonnons l'équation de la courbe, en coordonnées cartésienne^, non homogènes, par groupes homogènes de degrés croissants; soit

d- i zp(x, y) + ç/( . ,-./-. ,)—...— o,„(a?, y) = o,

où -ïq(x,y) désigne un polynôme homogène et de degré q. La courbe passant à l'origine, son équation ne renferme pas de terme constant, de sorte que y? est >i.

Menons, par O, une sécante quelconque O A, de paramètres directeurs a, b. Les coordonnées d'un quelconque de ses points sont de la forme za. zb. L'équation aux p de ses points d'intersection avec la

(') Nous supposjiis, bien entendu, que le point M et les coefficients de l'équatiou de la courbe sont réels.

(2) Cf. Nii; n" 28 à 31.

( ) Dans la pratique, lorsqu'on soupçonne qu'un point à distance linie est multiple, on y transporte l'origine des coordonnées. On a alors un moyen facile pour reconnaître l'ordre de multiplicité et pour avoir les tangentes.

TANGENTES ET PLANS TANGEMS. ÎOJ

courbe s écrit dé> lors

(i8; ?/'?/l(«, 6) + ?/'-«-«?,,+ ,(«, 6.1— . ..— y»zm(a,b) = o.

Si la sécante est quelconque, elle admet la racine p = o comme racine multiple d'ordre />; p points d'intersection sont confondus avec O, qui est un point pnpl*. En annulant le coefficient de pP, soit

(19; zl,(a,b)^o,

on obtient la condition pour que Oa coupe en au moins p -\- 1 point-, confondus avec O. Comme a et b sont, en somme, les coordonne-, d'un point quelconque de celte droite, on peut dire que l'équation

définit le faisceau des p tangentes en O (n° 77 1.

Nous pouvons finalement énoncer la proposition suivante :

Théorème. — Lorsque les termes de moindre degré d' une équation algébrique en x, y son/ de degré p, l 'origine des coordonnées est un point mul(iple d'ordre p, dont les tangentes sont obtenues en annulant l'ensemble de ces termes de moindre degré.

Il e>t à remarquer que cet énoncé est valable pour p = 1 . c'està-dire quand O est un point simple; en annulant L'ensemble des termes du premier degré, on obtient l'équation de la tangente en ce

point.

^00. L'emploi des coordonnées trilinéaires donne lieu à un théorème analogue. Imaginons, par exemple, qu'on ordonne l'équation suivant les puissances décroissantes de s :

(21) *'"-/' ç,,(.r, y) 4- z»<-P-iç/)+l(x, y) -+-. .-.-h <?m(x,y) = o.

En répétant le raisonnement ci-dessus, on verra que toute sécante issue du sommet A 10, o, 1) coupe la courbe en p points confondus avec ce sommet, qui est un point multiple d'ordre/?. Le faisceau des tangentes en ce point a pour équation

201. Points multiples d'une courbe définie pàaamétriqt ement. —

Soil la courbe plane < ' | définie par )<•> équations

On reconnaii que cette courbe admel an poinl M,,( /,,. r„ i pour poinl multiple d'ordre // à ce fait qu'il existé p valeurs différentes

de /. soient i,. t2 //;. qui donnent à x ely les valeurs xe et y0

A chacune «le ces valeurs t/,. correspond une branche de courbe passant par M(l. donl les points sônl obtenus en donnant ù t des valeurs voisines «le ih. La tangente <jn \l„ à cette branché a naturellement pour paramètres directeurs /'(<*), g' (j'h )•

De ce qui précède, résulte la méthode générale de recherche des peints multiples, en équations paramétriques. On calcule, si elles existent, les solutions du système

/l t)—/(t')=o, §-(< — g(t')= o, pour lesquelles t ^ /'.

Lorsque les fonctions /' et g sont rationnelles, on peut se débarrasser de cette dernière restriction, en remarquant que les premiers membres des équations précédentes sont divisibles par / — /': on effectue .la division et l'on obtient, comme quotients, des fonctions s\ métriques de /, t' (3). C est en égalant ces quotients à zéro qu'on obtient le véritable système donnant les points multiples. Comme il est symétrique, il y aura généralement avantage à prendre pour inconnues auxiliaires les fonctions symétriques élémentaires p = t-h t', q =t£ (t. I, n° 239i.

En général, chaque solution en p, q donnera un point double, puisqu'il lui correspond seulement deux valeurs différentes de / donnant les mêmes valeurs à x, y. Mais on conçoit très bien que deux solutions différentes (p, q) et ( Pi, q\\ puissent donner deux couple^ (t, t' ) et (tx,t\) admettant une valeur commune, par exemple fj— t' i i). Dans une telle hypothèse, on aura trois valeurs différentes de t donnant les mêmes valeurs à x, y, donc un point triple. On généralise sans peine. •

( ' ) Ce que nous allons dire s'applique aussi aux courbes gauches. Dans ce cas. les trois coordonnées ./ . v. c doivent reprendre plusieurs fois les mêmes valeurs.

('■ ) On suppose, bien entendu, que ceci n'a pas lieu pour tous les points de la courbe, c'est-à-dire que la représentation paramétrique est propre ( n° "264).

( ) La fraction = garde, en effet, la même \;ileur. quand on échange

t et t .

< ) On le reconnaît à ce que les équations i- — pt ■+■ q = o et tz — pxt -+- qv — o ont une racine commune.

•2 )2. Points de rebroussement. — Imaginons qu'a/ie solution /<. >/ conduise à une racine double en t, c'est-à-dire que l'on ait t = ( . Les deux branches de combe qui passent au point correspondant M,, sont alors confondues; on doit donc avoir un point de rebroussement 1 ' 1.

O- T- , , • fit)— f(t')

bi Ion observe que le quotient : — tend, lorsque / tend vers t,

\er- la dérivée /'(t), on voit que, dans le cas particulier actuellement considéré, la racine double / doit annuler à la fois f \ ( cl g'\ 1 . Or, il n'est pas difficile de voir que c'est là une propriété caractéristique du point de

rebrousse nie nt .

t- rr ■ d.r dy . . . .

hn elret, si — - et -5- s annulent simultanément 1 >■ >u i- / = t», lorsque t tradt dt '

verse, en croissant, cette valeur particulière, x et y doivent simultanément changer de sens de variation, c'est-à-dire passer par un maximum ou par un minimum. Il s'ensuit, de manière évidente, que le point M (a:-, y) ne peut continuer à se déplacer dans la même direction. Il rebrousse chemin, suivant une nouvelle branche de courbe. A vrai dire, nous ne savons pa< <i cette nom elle branche sera tangente à la première; autrement dit. nous ignorons -1 l'on n'aura pas un point anguleux (t. I, p. 7>, note); Pour le discerner, il faut

étudier le rapport -j- ■> au voisinage de t r0. On cherche sa limite lorsque t

tend vers t0 successivement par valeur- inférieures, puis par valeur- supérieures; on obtient ainsi les coefficients angulaires des tangentes aux deux branches. S'ils sont confondus, on a un point de rebroussement dont on connaîtra, du même coup, la tangente (2). Ajoutons que cela arrive toujours lorsqu'on a affaire à une courbe algébrique, car on démontre que le point anguleux ne peut exister que dans les courbes transcendantes ( Nu, n 22

203. Plan tanoent a une surface. — Soil une surface (S) que nous supposerons d'abord définie paramétriquement. Par le point M. de paramétre- u. v el de coordonnées j\ y. z. traçons une ligne quelconque (G), située sur la surface. Les paramètres directeurs de la tangente MT a cette ligne sonl dx. dy. dz i u° I9l2). c est-à-dire

Tv

dx dx . Oy dy dz dz — du - dv, ~du-\--~-dv. —du dv.

<>u oc du oc ou dv

(') D'une façon plus précise, ou peut concevoir une courbe, dont les coefficients dépendraient d'un paramètre variable a. de telle manière. qu'un point double (t,t') tende, lorsque A tend vers /, . vers un point de rebroussement \ t .

(-) Cette tangente n'est plus donnée par la règle ordinaire, puisque x' et y sonl nuls.

Les équations paramétriques de cette tangente sont donc (n° 95)

\ du dv