I -t- du di

dv

' \ du

dx

dû

dv

ày

du

ày

dv

dz

dz dû

En éliminant a du et a dv entre ces trois équations, nous avons l'équation du lieu engendré par MT, quand on fait varier la ligne (G) sur la surface, tout en la faisant passer par M,

Cette équation représente un plan (.'), qui est appelé le plan langent en M à la surface

Remarque. — Le plan tangent dépend, comme son point de contact, des deux paramètres indépendants u et v. Il eh est. du moins, toujours ainsi en apparence. Cependant, nous verrons (n° 281) qu'/7 existe des surfaces, appelées suif aces dèveloppables, dont le plan tangent ne dépend que d'un seul paramètre. Effectivement, on peut très bien concevoir que l'équation (24), tout en ayant l'air de dépendre à la fois de u et de c, ne renferme ces deux paramètres que par l'intermédiaire d'une certaine fonction A de u et de w Dans

(') A. condition, toutefois, que les trois mineurs

dy i)z dz <)y dz dx dx dz <)x <)y tiy ilx

du <>v du dv du dv du dv du dv du "*•

. • dx ày ôz ne soient pas simultanément nuls. Lorsqu il en est ainsi. — > -1- > — sont pronr- ^ H dv dv dv v r

tionnels à — * — > — : la tangente MT est fixe, d'après les équations (23). Tout ce ou du du 1 m v

... ... ,, . ..... • ,. dx dx

qui précède suppose aussi, bien entendu, I existence des dérivées partielles — . — - ■ • • rr r itu <>c

au point M considéré.

ce c;i-;. le pian tangent ne dépendra que de la valeur de ) . Mais alors, il touchera la surface en une infinité de points, à savoir tous les points dont les u. c donneront la même valeur à la fonction /.. Nous verrons d'ailleurs que ces points sont en ligne droite (n° 2X1 |.

20i. Soit maintenant une surface | S) définie par l'équation

Menons encore, par le point \li.r. r. ci el sur la surface, une ligne I r, j quelconque. La tangente MTà cette-ligne a pour «'([nations

il.r cl y a z

Or, quelle crue soit la ligne (G), du moment quelle est tracée sur (S), les coordonnées de ses différents points satisfont à ( a.Vi. donc aussi à l'équation différenciée

f'xdx + f'ydy + f<zdz = 0.

L'élimination des paramètres homogènes tlx. <7r. dz entre * 26 1 et ( :>.- 1 est immédiate el donne

(X-a)/t+CY-jr)/;+(Z-i)/î = .o.

Cette équation représente encore un plan, lieu <\e> tangentes telles que \1T : c'est l'équation du plan tangent.

On peut remarquer son analogie avec l'équation (7). Un calcul entièrement analogue à celui du n" 197 permet aussi de l'écrire sous la forme

ou, en coordonnées homogènes, . ,

(3o) X FÏ+Y Vy /■ F'.+ TF'(= o,

équation qu'on peut aussi vérifier directement, comme au n" 19?.

Il arrive quelquefois qu'on donne l'équation de la surface sous la forme

Haag. — Cours. II. 1 i

} [O CHAPITRE Mil.