I . c<| ii, m ion (28) ilc\ ienl alors

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ou. <'u posant, >in\;iiii une m >i ;i 1 1< >n courante, n = — > q= — >

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(3 2 ( Z — S 1 = /> I X -!F)4- fff^ — ) ' ' .

205. I V.N6EJVTE \ 1 M: COI RBE DE L'ESPACE DÉFINIE PAR DEUX ÈQTJA-

nojvs implicites. — Soil la courbe définie par les équations

Elle esl à la l'ois sut les deux surfaces < / 1 el 1 g . Donc, sa tangente est à l'intersection des plans tangents à ces deux surfaces ; elle a pour équations

!2(K). Points multiples. — L'équation ,(3o) devient illusoire quand les quatre dérivées partielles I-,. I,. FI, I-, sont nulles. On dit alors que le point M est un point singulier.

En répétant exactement les mêmes calculs qu'au 11" litS. i>n obtient les résultats suivants, que nous uous contenterons il énoncer :

1" Les tangentes à une surface eii un point non singulier sont caractérisées /><tr lit propriété de couper cette surface en deux points confondus avec ledit point.

20 Un point M est multiple d'ordre p lorsque toute sécante issue de ce point coupe la surface en p points confondus avec lui et p seulement. Il y a une infinité de droites <jui coupent en au moins /> — | — 1 points confondus avec M : on les appelle les tangentes en M ; leur lieu est un cône de degré p 1 ' 1.

Analyliquement, un ici point est caractérisé par le fait que les dérivées partielles du premier membre de V équation homogène de la surfne,- doivent s'y annuler jusqu'à V ordre p exclusivement.

Pour cette raison, un point multiple (/*>i) esl aussi appelé jx>iiit conique. Bien entendu, il peut arriver que le cône dégénère; par exemple, il peul poser <;;i p plans, réete ou imaginaires, distincts ou confondus.

TA.Ni.lM ES Ll PLAN- IANi.I.M-, 211

I Longue le point est à l'origine des coordonnées, V ordre de multiplicité est égal au degré des ternies de moindre degré ; le cône des tangentes est obtenu en anniïlant l'ensemble de ternies.

Cette dernière partie de I énoncé - établi! en raisonnanl comme aii M' L99 et s'étend (cf.. n°200) aii cas où !<■ point étudié est, en coordonnées tétraédriques, un sommel du tétraèdre de référence.

^()7. ËQt \TH>\ r \ \i;i.\ Il KI.LE I) l'NK COURBE l'I.VM . I.l.llll il'ilHH'C

mie courbe (C) dans le plan xO r. <>n appelle équation tangentiellé de cette courbe La condition à Laquelle doivent satisfaire Les coefficients //. c, w pour que La droite

(3j » \ r\ — ir = ii

lui soil tangente i cf. n" 293 i.

On peul imaginer diverses méthodes pour la calculer.

D'abord, Lorsque La courbe (C) esl définie géométriquement, on peul quelquefois utilisa- une propriété caractéristique simple de sa tangente. G'esl ainsi que nous avons procédé pour !«• cercle ! n 1(35 i.

On peul aussi, el c'esl souvenl assez pratique, exprimer que la droit'- (35) coupe la courbe en deux points confondus. V cei effet, on forme L'équation qui détermine, par l'intermédiaire 'I une inconnue quelconque, Le plus convenablement choisie I ' I, les points d'intersection de La droite avec la courbe. Puis, on écril que cette équation a une racine double.

Lorsque La courbe esl donnée par des équations paramétriques, ou peut, en outre «le la méthode précédente, identifier L'équation avec l'équation de la tangente en un point quelconque, de paramètre t. Puis, on élimine ce dernier entre les équations d'identification

Supposons enfin nue La courbe soil définie par L'équation

(l) Cette inconnue seraj par exemple, l'abscisse, l'ordonnée, ou bien un paramètre p "ii X n 72) relatif ;i la droite, ou bien ua paramètre t relatif à la courbe, lor- [u'on connaît des équations paramétriques de cette dernière.

'21. > CHAIMTIU: Mil.

Identifions l'équation (35 > avec l'équation (9) de la tangente au

point M '/.n :