U V IV

Pour que la droite (35) soit tangente, il faut et il suffit que l'on puisse déterminer x el r. vérifiant à la Fois 1 36 > et 1 ■>- 1. On peut observer que l'on doit avoir aussi

■ 38 1 ux -+- rj' h- ir = o,

puisque M diiii se trouver aussi bien sur la tangente que sur la courbe. Mais ce n'est pas là une nouvelle condition à ajouter aux précédentes, dont «'lie est une simple conséquence algébrique^ La valettr commune «les rapports 1 .''>- 1 est, en effet, égale à

■''/.. -.>;/',—.// mf\ x,y

u r vy -+- w ux — vy — w

comme on le voit en multipliant haut et Las le premier rapport par x. le deuxième par r. le troisième par c et ajoutant terme à terme. Dè> lors, m l'on a 1 36t), on a^aussi | 38), 'car les rapports 1 07) ne peuvent être nuls tous trois, sans quoi le point M serait un point singulier et l'équation (9), qui nous a servi de point de départ, ne sei-ait plus applicable. Réciproquement, si l'on a (38), on a aiessi (36), car les rapports ( 37) 'ne peuvent être tous trois infinis, puisque les coefficients u. e. w ne sauraient s'annuler simultanément. 11 est donc loisible d'adjoindre aux équations (3<y), soit l'équation (36), soit l'équation 1 38 >. D'où la règle suivante :

lirt.LK. — Pour former V équation tangentiélle de la courbe (36), on élimine x et y entre les équations I >; I el 1 36 1 ou bien entre les équations < .'>-') et (38) (').

Remarque. — L'équation tangentiélle d' une courbe algébrique est algébrique. Car elle est obtenue par des calculs algébriques.

(l) En général, l'équation (38) est préférable à (36). D'aboi'd, elle est de degré moindre. Ensuite, l'élimination entre (3-) et (36) offre l'inconvénient, implicitement signalé Jans le texte, de conduire à une équation qui, et priori, doit être vérifiée identiquement, quand la courbe présente un point deuble. Pour éviter cette difliculté, il faut bien prendre garde, dans les calculs de l'élimination, de rejeter toutes les valeurs de x, y qui annuleraient les rapports < '■'•-).