Équation tangentielle d'une courbe de l'espace <>i dune

[• ; •■ *,<::■: . — ■ < 1 esl la condition pour que le plan

soit tangenl à la courbe ou à l;i surface.

S'il s'agit <l'une courbe, on exprimera généralement qu'elle coupe le plan en deux points confondus. On peul aussi procéder par identification de l'équation (3g) avec l'équation générale des plans tangents.

S'il -';i-if d'une surface définie paramétriquement, on identifie >g avec l'équation (24). Puis on élimine les paramètres [q<«'l faudra désigner par d'autres lettres que m et >. pour éviter toute confusion avec les coefficients <le (3i))] entre les relations obtenues.

Si la surface est. au contraire, définie par l'équation a5 1, <>u identifie | H» 1 avec ( >9) :

U V iv r

Puis, on élimine x, y. z entre (4°) ef (2^) "ll ^lr/> entre et (4i) {cf. n" 207 1 :

( j 1 UX -+- r )' -+- W-5 -H /' = O.

En général, cette élimination conduit à une seule condition enter u. e. <r3 /•. Lorsque cette condition est remplie, les équations [o) et ( »i), par exemple, ont une seule solution commune en x. y. ; : le plan (39) est tangent en un seul poinl à la surface^ qui n'est pas développablè (n° 203).

Il peul arriver, au contraire, que l'élimination conduise à deux a/nations tan gentie lies. Lorsqu'elles sont vérifiées, on < I « » ï t constater que le système 1 î<> . > ji admet une infinité «le solutions eux- y. z. à savoir les coordonnées des points d'une droite, toul le long de laquelle le plan 1 [3g 1 esl tangent à la surface. Le plan tangent ne dépend plus que d'un paramètre : la surface esl développablè (n° 203).

Il ne rentre pas dans le cadre de cet < ouvrage de chercher à quelle condition <l<>ii satisfaire la fonction f\ ./■. r. c 1 pour que la surfa* e soit développablè. Contentons-nous de faire observer au lecteur que, s'il fait son élimination correctement, sans se tenir nécessairement

1\ | CHAPITRE Mil.

pour satisfait dès qu'il a obtenu une relation entre //. r, <r, /■, il saura toujours reconnaître les c;i^ où il se trouve dans cette circonstance l>;iri iculière.

209. Normales et plaks normaux. -- On appelle n ormaie à une courbe toute perpendiculaire à une tangente MT à cette courbe, menée par le point de contact M. qui s'appelle aussi !<• pied de la normale. Les normales en un point donné soni eri nombre infini et engendrent le' plan normal à la courbe, qui es t. le plan, nient'' par. M, perpendiculairement ;'i la tangente MT. Il a pour équation, en coordonnées rectangulaires,

! > \ / ilx — i Y — y ) dy — (Z — z) dz = o;

puisque les paramètres directeurs de la tangente soni da . <ly, dz. On aura une normale quelconque en adjoignant à relie équation l'équation d'un plan quelconque passanl par M.

En Géométrie plane, il n a >\ qu'une seule normale, située dans le plan <le la courbe. Lorsque celle dernière est orientée, nous conviendrons d'appeler demi-normale positive la demi-droite déduite de la demi-tangente positive par une rotation de H — « Si -j. désigne, comme au n° 196, l'angle polaire 'de la demi-tangente positive, celui île la demi-normale positive sera «loue a— J — - •

Soit I' la projection de M sur Ox ei soil ÎS le point de rencontre de la normale avec cel axe. On appelle soùs-normale la quantité l'^N Si les axes sont rectangulaires, on a (n° 196)

l*\ = == = ri .

pt Zi y

210. On appelle normale à une surface ^ en un de ses points, la perpendiculaire menée, parce point, au plan tangent.

Si la surface esl définie paramétriquement, en coordonnées rectanr gulaires, elle a pour paramètres directeurs

oy oz

dz dy

• n dz

n.r dy

dy dx

du oc

dit dv

nu dv

mi dv

du àO

Ou dv

comme il résulte de l'équation i \ j i.

Si la surface esl définie par l'équal ion i 20 >, la novmale en M 1 ./ . i\ c a pour paramètres directeurs / , . /, . / ! ' . comme il résulte de l'équa- I ion | 28 (.'

( hi appelle plan normal a nue surface toul plan passanl par une de ses n< irmales.

Lorsqu une courbe <l«' l'espace esl définie par deux équations implicites, telles que (33), son plan normal en M 1 ./ . 1 . a esl défini par les normales aus deux surfaces | f) <■( > g 1. que nous supposons non tangentes en M * ' 1. Il a pour équation (n" 91 1

/. fi fz

Les paramètres directeurs <l une quelconque des normales <'ii M

Mllll

où À. désigne un paramètre arbitraire.

21 i. Problèmes on ers. A propos des tangentes el plans tangents, normales el plans normaux, <m peut se poser différents problèmes-, dont nous allons (lin- quelques mots.

Problème I. - Détermine?' les tangentes a uni courbe plane, qui passenttpar tin point donné <lc son plan.

Si l'on connaît l'équation de la tangente en fonction il un paramètre /. comme cela arrive lorsque la courbe esl donnée par des équations paramétriques, il suffît d'y remplacer les coordonnées courantes par les coordonnées x0: ),, <ln poinl donné. On obtient l'équation aux / des tangentes cherchées.

Si la courbe esl donnée par l'équation 1 \ 1, on écril que I équation (9) est vérifiée pour X = x0, ^ ==j'o- On obtient une équation en .1 . y ([ni, jointe a j . permet «le calculer les coordonnées des points de contacl des tangentes cherchées.

>i l'on connaît l'équation tangentielle de la courbe, soil

a. ts ( u, p, w ) = o.

Lorsque les surfaces sont tarïgentes, voir a° 343,

2l6 CHAPITRE XIII.

il -iifïii d'adjoindre à celle équation la suivante :

( \~ i UXq+ CJ'o-r- W = O,

qui exprime que la droite (35) passe par le point donné. Eliminant w entre ces deux équations, on a

i ;s i ôi w, c, — ux0 — vyQ i = o,

équation homogène en //. c, qui détermine les directions des tangentes cherchées. En particulier, si l'on remplace u par ni et v par — 1 . on obtient Y équation aux coefficients angulaires

i ',(| i o i »i, — i . ,r„— mar0 l = o.

*2\^2. Classe d'uwe courbe plane algébrique. - (.est le nombre des tangentes qu'on peut mené)- à celle courbe par un point quelconque de son plan. Ce nombre es! évidemment égal au degré de l'équation (48) en //, e, c'est-à-dire égal au degré de V équation iangentielle (46)-

On peut aussi calculer la classe en parlant de l'équation ponctuelle i 4 i. Les points de contact des tangentes issues du point Li.r,,. \\ l sont à l'intersection de la courbe proposée avec la couche représentée par l'équation

Si m est le degré <le (4), m — i est celui de 5o). D'où il résulte que les points de contact cherchés sont au nombre de nu m — i) i n" 46 i. La clause d'une courbe algébrique de degré m est donc égale à m\ m — i i.

Il importe d'observer que cet énoncé doit être néanmoins soumis à des restrictions. Les équations (4) et i 5o i sont, en effet, toutes deux vérifiées pour f'x= o. /,'- = o. fî= o, c'est-à-dire par les coordonnées des points singuliers. lorsqu'il y en a. Or, les droites joignant ces points au point P ne sont pas des tangentes; de sorte qu'il convient de réduire la classe précédemment calculée du nombre d'unités fourni par les point* singuliers dan- le dénombrement des points d'intersection des courbes i j i el i ïo).

Il v a là une source de difficultés, que non- ne pouvons aborder ici. Contentons-nous de signaler, sans démonstration, que. dan- le cas où la courbe présente d points doubles et /• points de reb.roussement , «an- présenter d'autres singularité-, la classe est égale à m(m — i) — id — >/-, d'après Plucker i ' .

(<) Cf. Nn,*n- 15.