Problème II. — Déterminer les plans tangents menés. par

une droite donnée à une courbe donnée de /'espace ou à une surface donnée non développable.

Ce problème se résout d'une manière analogue au précédent.

Contentons-nous de dire que si

1 5i) ?("> vi w-> r) — °

est l'équation tangenlielle de la courbe ou de la surface el m

1 . 1 2 1 uxx — vxy '-+- wt z -t- rt= o, i/jT-c.,/-mv.,:-;';=o

sont les équations de la droite donnée, les plans tangents cherchés ont pour équation

1 >3 1 1 ll\ — \Ui \X — 1 Ci — Ai', \y — 1 W, — À IV, \Z -+- Tj - A/v, = O,

a étant déterminé par l'équation

(54) <p ( u>\ — À"2, t'i — / *',. f| -1- ). wâ, /-i + X/"2) = o.

Lorsque la courbe ou la surface sont algébriques, l'équation (5i) l'est aussi et son degré est égal au degré de l'équation (54 > par rapport à a. Il indique le nombre des plans tangents </ui passent par toute droite de l'espace, nombre qui est appelé la classe de la courbe ou de la surface.

Problème III. -- Exprimer qu'une droite donnée de l'espace est tangente à une sur/ace donnée.

On exprime qu'elle coupe la surface en deux points confondus ou bien (n° 306) que. parmi les plans tangents qui la contiennent, il v en a deux qui se confondent.

214. Problème IV. — Mener, par un point donné, les normales à une courbe ou à une surface donnée.

S'il s'agit d'une courbe en Géométrie plane, on écrit que la normale en un point quelconque passe par le point donné. On obtient l'équation aux / des pieds des normales, si la courbe est définie paramétriquement. Si la courbe est définie par l'équation l j \. on obtient

(55) (x0— x)f'— (yo—y)fx=o.

riÎ5 CHAPITRE Mil. — TANGENTES ET PLANS rANGENTS.

Cette équation représente une courbe, qui qoupe la proposée aux pieds des normales cherchées. Remarquons que si la courbe donnée esl algébrique el de degré ///. il en esl de même, en général, de la courbe 55 i : «le sorte que Ir problème comporte m- solutions. Mais il peut \ avoir des exceptions a cette règle.

S il s agii il une courbe dan- l'espace, que nous supposerons définie paramétriquement, on écril que le plan normal passe par le point donné. On obtient l'équation aux / des pieds des normales.

S il s agit ,| imi. surface, on écril que la normale passe par le point donné. On obtient deux équations qui, jointes à l'équation de la surface, déterminent les pieds (les normales cherchées.

zlo. Podaikes. - On appelle podaire d'une courbe on d'une surface relativement à un point O le lieu des projections de O sur les tangentes <>u plans tangents a la courbe ou la surface proposées.

La podaire d'une courbe C esl une courbe 1' i '). La podaire d'une surface S est une surface ï ou une courbe l\ suivant que S n'est pas mi esl développable.

Dans le cas d'une courbe plane, lorsque l'on connaît l'équation canonique de la tangente

.'■ i -M» 's - y s'ni ce — j'{ 01 = 0,

on peut eenre immédiatement l'équation polaire de la podaire pai rapport à l'origine :

< >n appelle antipodaire d Tune courbe <>n d'une surface une courbe ou une surface admettant la proposée pour podaire. Les antipodaires sedéterminenl parla théorie des enveloppes (Chap. XIX i.

-i l'on définissait cette podaire comme lieu des projections «le O sur les plans tangents à C, ce serait nue surface engendrée par des cercles passant par 0 ou, si l'on veut, l'inverse d'une surface réglée ( n" 'Mu).