C, II

bnh" -f- W*"-4 '.

les fi. I>. c désignant des constantes et y, [3. restenl finies pour A I ,es fonctions

i : .'■,, -i a\fl ■- a Ji7 -t- . .

des f onc ti ons de h , « 1 1 1 1

représentent, comme on sait, .''. i. s, avec une approximation d'ordre n -\- 1 , si // est infiniment petit du premier ordre. Il s'ensuit que la courbe (y ('), définie par les équations paramétriqiu peut remplacer la courbe (C), '/// voisinage de M-0, avec la même

(l) Elle esl algébrique, unicursale, de degré «. Ses points à l'ipfini sont tous confondus: pour celle raison, on dit quelquefois que c'est une parabole rf'oi par analogie avec le cas 'le n — 2.

(Il U'ITHi: \l V.

ipproximation, La distance des points homologues M(a?,jK,s) eL

(3) M ;jl = ^, ./■ — ; .2 — i r -v-';-I >2 = /*"-,-1\V--r- ,V2-r- 7- : elle es! infinimenl | > « * t i t <» d'ordre au moins égal à ri-\-\.

"2\~ . Positiob d'une courbe plane par rapport a sa tangente. — La courbe (C) étanl supposée plane, menons la tangente M„T0 au point M0. Si l'on donne à h de petites valeurs positives, le point M décril un petit arc, aboutissant au point M„. que nous appellerons, pour abréger, Y arc élémentaire positif. Si l'on donne à h des valeurs négatives, ayanl de petites valeurs absolues, M décril, au contraire, Y aie élémentaire négatif. Supposons maintenant, [tour fixer les idées, que M0T0 ne soit pas parallèle à Or C) et menons, par M„, cette parallèle, soil M0X. Nous formons ainsi quatre angles : i . :•«.. • >. 4-

Cela posé, nous nous proposons de reconnaître successivement dans lequel <lc ces quatre angles se trou ce cime un des deux arcs élémentaires positif et négatif précédemment définis.

C'est en cela que consiste, d'une façon précise. Vétude de la position d'une courbe plane par rapport à sa tangente.

Soit

■ i ÀX+ 15V — C = o

l'équation de la tangente M0T0. Pour savoir de quel côté se trouve le point M(x,y) par rapport à cette tangente, il suffît (n° 71) de connaître le signe de la quantité

V = Ax 4- B>-+- C.

De même, pour savoir de quel côté se trouve le poinl M par rapport à M,,/., il suffit de connaître le signe de x — x0. Or, ces deux quantités sont infiniment petites avec h : on aura donc leurs signes, pour les petites valeurs de h. en calculant leurs parties principales (t. 1, n° 123). Ces parties principales étant acquises, on y supposera successivement A o, puis h <Co- La considérai ion de- signes obtenus donnera la réponse à la question posée i - >.

- M I ■ Lait parallèle à Oy, on mènerait M,-,/, parallèlement à Ox. (-) Bien entendu, il faudra, au préalable, déterminer la région positive de la droite M0T0, définie par l'équation (\).

ÉTUDE D'UNE COURBE \i VOISINAGE D'UN DE SES POINTS. 221

"218. Entrons un peu dans le détail des calculs, en non- boraanl

au cas où les coefficients a,, l>{ «1rs développements | ■ sont pas

simultanément nuls ( ' >. Si nous remarquons que ce sont les valeurs des dérivées ',4- -ttj pour h = o, l'équation de la tangente M„ I ,

(Ih an ' l

s écnl

(G) at(\ — .)'„ 1 — 6] \

Telle es! L'équation qui < l< >ii jouer le rôle de L'équation i {). On à

Pour calculer la partie principale de cette expression, aous devons (t. [, n" 1±2 1 remplacer x ci r par les développements (i), poussés jusqu'au momenl où Ton obtient un terni»: aon nul dans \ Le terme en h disparaît identiquement. Le terme en A- es!

(ût, 6a — b\Ctz)h-. En -encrai, il ll'esl pas nul cl constitue la parti-

principale cherchée.

Quant à celle de x — x0, elle est égale à <iji. car atyéo, <lu fait qu'on ,i supposé M„ I '„ non parallèle à Or. Supposons, par exemple, rt,>o. La région positive de M0T0 est celle qui contient le point à l'infini sur la partie positive de ( ) r.

Si a{ &a— l>\ «2 "• N est > o, quel ([ue soit le signe de h. Donc, les deux arcs élémentaires issus de M„ sont au-dessus de M„ I „. I arc

positif à droite, l'arc négatif à gauche {fig- |(i- " • <)" dit que la courbe est concave, en M„. vers les y positifs.

as est d'ailleurs !<■ plus fréquent. Lorsque <*,— 6, - o, le point M ■i point de rebroussemeut (n° 202), circonstance évidemment exceptionnelle.

222 i II VI'ITHK XIV.

Si (/, //o- A, a2 o, \ est < o : onaladisposition'delafigure i \\.î>: la courbe est concave vers les y négatifs.

Examinons maintenant le ca> particulier où (/,/a— ^«r-n. Le terme en A:' de \ est (a(63 «:»61 i//:). Il n'est pas nul, eu général. Si ",/>:, -a$b( o, \ a le signe de // : ori a la disposition de la figure 19, g. Si a, 63 «361 "• V ;i le signe contraire à h ; on a la disposition de la figure 19, d. Dans les deux cas, fo courbe traverse sa tangente. Le point M0 est appelé point d' inflexion.

Il peut arriver, plus particulièrement, que le coefficient de h* s'annule ù son tour, en même temps que le coefficient de h'-. Soit, d'une manière générale, (atbp- Ù.iap)hP le premier terme non nul du développement de \ . Si p est pair, on a l'une des dispositions des figures 19, a. et 19, h. suivant le signe de a,bp — bAap\ sijo est impair, on a un p< uni d 1 uflexion .

219. Ordre du contact de la tangente. — Les calculs précédents se rattachent à l'étude, du point de vue infinitésimal, de I<i distance M I* du point .M à la tangente M,, I ,,. < >n sait, en effet, que celle distance esl proportionnelle à \ (n°66); elle a donc le même ordre infinitésimal.

D'autre part, la distance M0M = y/(ic - x^y'-Ç-'y — Xo)2 a pour partie principale \ a--\-b~.h, quantité non nulle, puisque a{ el 6( ne sont pas tous deux in ils (n° 21<S i. Il en résulte que h est du même ordre que M,,^l .

Cela posé, si M„ c\/ un point ordinaire, \ a pour partie principale « a{ b-2 6|«2 >/'J: on en conclut que-Zct distance MP <?x/ infinihk'ui petite du sec-ond ordre par rapport à MBM. On dit que la tangente M0T0 a un contact du premier ordre ou contact simple ,i\ ec la courbé.

>'/ VI„ rs/ //// point a1 in fie. 1 ion . \ est en général du troisième ordre; donc, A/ distance Ml* es/ infiniment petite du troisième ordre par rapport à VI0M. On dit que la tangente MaT0 o.u tangente d inflexion a un contact du second ordre avec la courbe.

Dans le cas où \ esl d'un oraVe infinitésimal p encore plus élevé, la tangente M,/!,, a un contact d'ordre p — ■■ t , la distance Ml* étant inliniiuenl petite (\\i p" "Ie ordre.

On peut .111 - - 1 caractériser I ordre du contact, en comptant le

ÉTUDE 1)1 M: COURBE Al VOISINAGE l> l N DE SES POINTS. 22 \

nombre des points d'intersection de la courbe avec M,, I ,,. qui sonl confondus en M„. L'équation aux // des points d'intersection est, <'n effet, \ = o. Lorsqu'il y a contact d'ordre p i, elle renferme hP en facteur; donc, il y a p points d'intersection confondus avec M„. En particulier, La tangente en un poinl ordinaire coupe La coïirbe en deux points confondus avec ce point, ce <|u<' nous savons déjà. Luc tangente il inflexion coupe, au contraire, en trois points confondus ;i\ ec !<• poinl >l inflexion i ' .

220. ( .\s de i- \ courbe r = /'«./■ i. On a vu, dans L'étude précédente, le rôle important que [ouenl les coefficients successifs >>,. h, des développements (i). Nous n'avons | » ; • — à revenir ici sur la méthode à suivre pour les calculer; nous avons traité à fond cette question au Chapitre \lil du Tome 1. Rappelons seulement que, théoriquement, on peut effectuer les développements parla formule de I ;i\ Lor (t. I. n° llo); les coefficients «i, "2. <i ,. ... sonl alors / .

-■'■„■ -',,- ••• el les coefficients b{.h>.l>:.- • •• soni de même |

- .)'„. - yn en designanl par x0, v0 ru.r(1. ... les valeurs

des dérivées successives, pour / — t0j des fonctions x el y de /.

On obtient des résultats particulièrement élégants, en appliquant ceci au cas où la courbe esl définie par une équation <l<' la forme

Si I on prend x pour paramètre, on a

Donc tous les coefficients ai sont nuls, sauf le premier '/,. qui est égal à i. Quant aux coefficients 6|, l>z. 63 ils <»nt pour valeurs

y'n.i - KÂi 7 Y les k', >' • )' '"• • • • désignant, cette fois. Les dérivées

successh es de y par rapport à x.

Reprenons, dès lors, les résultats du n" 218, ''ii remarquant < j i n ■ .

(') i>n s'en rend très bien compte, géométrique nt, de la manière suivais

gnons M„ à un poinl voisin M. Cette sécante rencontre de nouveau la court» en M . île l'antre côté de M„. Lorsque M tend vers M . . c'est-à-dire lorsque la sécante ten<l vers la tangente, on voit l>ien que M tend ^ * « i — ■ vers M, et, à la limite, les trois

jnts M . M. M viennenl - Ire suivant M .

dan- l'hypothèse actuelle, at est bien positif, comme nous le supposions <MI numéro précité.

Les coefficients de k-, A3, ... se réduisenl à - iu. -i; On

peut dune énoncer la proposition suivante (').:

Théorème. - La courbe I 8 I est concave, en M0, vers les y positifs "ii négatifs, suivant que la dérivée seconde -— prend, en ce point, une valeur positive un négative. Si cette dérivée s'annule, ht dérivée troisième restant différente 'le zéro, on a un point d'inflexion, /'lus particulièrement, si les dérivées successives sont nulles, jusqu'à l'ordre p exclusivement, <>n a un point d'inflexion, lorsque p est impair; lorsque p est pair, la courbe est concave vers 1rs y positifs ou négatifs, suivant que lu dérivée y1** est positive ou négative.

221. Recherche pratique des points p'inklexion. — Nous venons de voir

i meut on reconnaît qu'un point donne d'une courbe donnée est un point

d'inflexion. Mais on peut se proposer aussi de déterminer tous tes points d'inflexion d'une courbe donnée \ - l.

La méthode à suivre varie, d'après le mode de définition de la courbe.

I. Si elle est donnée suies la forme \ s i, l'équation aux x des points d'inflexion est

II. Si elle est donnée sous forme paramétrique quelconque, l'équation aux / des points d'inflexion est

(io) x'j -)■'./■"= o,

comme il résulte des a01 218 et 2*20.

Remarque. — L'une ou l'autre des équations (9) et (10) exprime que la dérivée du coefficient angulaire de la tangente est nulle ; autrement dit, que ce coefficient angulaire passe par un maximum ou pur un mini nui m lorsque le point de contact traverse un point d'inflexion. C'est, du reste, ce que

(') On en trouvera une démonstration directe dans Nu. n°" '2 et 3.

(2) Nous entendons ici par point d'inflexion tout point où la tangente a un contact d'ordre au moins égal à 2. Mais il peut arriver, si le contact est d'ordre impair, que. malgré cela, la courbe ue traverse pas sa tangente et n'ait pas l'aspect, par conséquent, d'un véritable point d'inflexion ou, comme on dit encore, d'un point à lisible inflexion. On dit, dans ce cas, qu'en a tfn point méplat.

ÉTUDE D'UNE COURBE AI VOISINAGE li'l V DE SES POINTS.

montre très bien la ligure 19(0: minimum: d: maximum); le sens de rotation de la tangente change à la traversée du point d'inflexion.

De cette ob»er\ alion résulte d'abord qu'on peut, dans l'équation (io), remplacer x',y' par un système quelconque de paramètres directeurs y., (ï de la tangente, c'est-à-dire par des quantités proportionnelles à x', y. C'est, du reste] ce qu'il est aisé de vérifier par tin calcul direct. Si l'on remplace x et y' par py. et pri dans (10), on obtient

(il) y.y i-y.'=(».

Une deuxième conséquence est la suivante. Le sens de rotation de la tangente ne change pas seulement quand on traverse un point d'inflexion, mais aussi quand on passe par un point à l'infini, qui n'e*t pas un point d'inflexion et qui admet une asymptote (n°234). On peut donc prévoir que l'équation (10) ou l'équation (il) donnent non seulement les t des points d'inflexion, mais aussi lest des points à l'infini. C'est ce que montre très bien le calcul suivant.

Soit

Les t des points à l'infini sont les racines de C. Or, on peut prendre (12) y. = C.V— M.. p = GB'— BC.

Portant dans (il), il vient, après un calcul facile. (i3) CA = o,

en posant

On voit que G se trouve bien en facteur, de sorte que l'équation véritable aux t des points d'inflexion est non pas l'-.équation (11), mais l'équation

Il est bon de ne pas oublier l'existence' de cet inconvénient, que présente l'équation (11). Dans les applications, en effet, on effectue généralement les calculs indiqués par les formules (ia); puis on porte, dans (11), les valeurs obtenues pour y. et 'i et l'on arrive à l'équation do), sans -'apercevoir de sa décomposition.

II convient donc de rétenir une fuis pour tantes que l'équation (il) [ou (10)] est divisible par le facteur qui donne les points à l'infini, à moins qu'on ne préfère écrire tout de suite l'équation (i5), ce qui. somme toute, est encore plus pratique ( ' ».

i Nous allons d'ailleurs retrouver cette équation au u' Il \ a g. — Cours. II.

(HAl'ITHK XIV.

222. III. Une autre méthode de recherche des points d'inflexion consiste à chercher les droites i D | qui coupent la courbe en trois points confondus (■cf. n° 267). Analytique naent, cela revient à exprimer qu'une certaine équation a une racine triple. La connaissance de celte racine donne le point d'inflexion, dont la tangente est la droite (D).

IV. On peut appliquer ce procédé en coordonnées trili néaires. Soient x. y, z les coordonnées trilinéaires du point courant de la courbe, exprimées en fonction du paramètre /. Si

est l'équation dune tangente d'inflexion, la valeur de / correspondant à son point de contact doit vérifier, outre l'équation (16), le» deux équation» dérivées (t. I. n° 226)

IV z = O,

Si nous éliminons u, c. w entre ces trois équations, nous obtenons

Telle e*i l'équation aux / des points d'inflexion, Elle s'applique, en particulier, en coordonnées cartésiennes homogènes. C'est ainsi qu'on retrouve l'équation (i5), en prenant x = A, y = B, z = C.

Nous ne nous occuperons pas de la recherche des points d'inflexion d'une courbe définie par une équation implicite. Contentons-nous de faire observer

qu on peut toujours calculer —^- C t. I, n° 135): en l'égalant à zéro, on obtient

une équation à laquelle doivent satisfaire tous le- points d'inflexion ( '• |.

On démontre qu'une courbe algébrique de degré m, qui possède d points flou blés et r points de rebrousse nient s, a ) /)i( rn — i ) — 6d — S /• points d'inflexion, dette formule est due à Pliicker.

223. Etude d'une courbe algébrique définie par i ne bquatiok implicite, AC VOISINAGE d'un POINT SIMPLE ' - ). — On coin menée par transporter l'origine en ce point. Les termes de moindre degré sont alors du premier degré, puisque le point est simple ( n° 199). En les annulant, ou a, comme on sait, l'équation de la tangente. Si nous appelons m le coefficient angulaire de celle-ci. supposée non confondue a\ec Oy (3), nous pouvons écrire l'équation

(') Pour plus de détails, voir \,,. n°' 6 à !).

(;) Lorsque le point est multiple, le problème peut dévenir fort difficile. Cf NM , Chap. IV.

(•1) Si la tangente était Oy, On échangerait, dans ce nui suit, les rôles de X e( y

ETUDE DUNE COl'RBR AU VOISINAI. F. D UN DE SES POINTS. >. >~

de la courbe, ordonnée par groupes homogènes de degrés croissants, sous fa

forme

| ta ) y — mx ■+- zjx, y) -+- ç3(ar, y) -+-...+ ?„(>, y) = o.

Gela posé, pour connaître la position de M(x, y) par rapport à la tangente OT, d'équation Y — mX = o, nous devons chercher le signe de la quantité \ == y — mx. A. cet elïet, nous allons chercher sa partie principale, ■h prenant x pour infiniment petit principal.

La relation entre V et t s'obtient par élimination de y :

( 20) \ — ç 2(3", fnx -+- V 1 — ^3! a:, w » - \ )•+-.. .H- ^»i ■''. »ia; 4- V ) = o.

Niius aurons la partie principale de Y. en réduisant cette relation à ses termes d'ordre infinitésimal minimum, ce à quoi on arrive en comparant les différents ternies et négligeant tout terme de- qu'on a reconnu qu'il en existe un d'ordre moindre.

Tout d'abord, dans o.,(x, mx -+- V), ç:ii x, mx-\-V) nous pouvons

supprimer tons les termes renfermant V, car chacun d'eux est formé du produit de V par une certaine puissance de x, ou bien contient V à une puissance supérieure à la première: dans tous les cas. ces rennes ->onl tous d ordre infinitésimal supérieur à l'ordre de V. premier ternie de 1 20). La relation 1 20 I se réduit maintenant à

(21) V -t- ./■- çp2(i, m ) -+- .r3 ç3(i, m )-+-.. .-t- x" o»(l, m | = o.

En général, a>g(i, m) n'est pas nul; les termes en a-5, x'1 . ... sont à négliger devant le terme en x'1 et la partie principale de V est — .r'-ç,fi, />/ ). Si l'on observe que V est positif du côté desjr positifs, on voit que la courbe est concave vers les y positifs ou vers les y négatifs, suivant que o»| 1, m) est négatif ou positif.

Si 0,(1, m) = o, \ est d'ordre infinitésimal = 3 : on a un point d* inflexion. Si w/;(i, ni) est le premier coefficient non nul (p>3), l'inflexion est \isible lorsque/? est impair, invisible lorsque p est pair.

224. Position d'une courbe g-auche par rapport a ses plans tangents. Pjlan ôsculateur. — Supposons maintenant que (C) soil une courbe gauche. Soil

("1 A.X + BY4-GZ + D-0

l'équation d'un quelconque des plans tangents en M0. Pour savoir de quel côté se trouve le point M par rapport à ce plan, nous devons déterminer le signe «le la quantité

| i3) V=s'Aaf+.Br + C*+ L>.

A cet effet, nous calculons sa parlie principale, h élant toujours pris pour infiniment petit principal.

Supposons que le point M0ne soit pas un point singulier. Les coefficients a,, />,, c, des développements (i) ne peuvent alors s'annuler simultanément et constituent les paramètres directeurs de la tangente. On a donc, puisque le plan | 22 1 doit contenir cette tangente,

( >4 i A a?0 -+- By0 -+- C z„ -+- D = o, A at -4- B bx -f- C Cj = o.

Dès lors, si. dans \. on remplace #, v, s par les développements (1), on voit que le premier terme non identiquement nul est

Si Aa2 + B62-f- Cc2^é o, il constitue la partie principale cherchée. Dans ce cas, A garde un signe constant quand li traverse la valeur zéro; autrement dit. les deux arcs élémentaires issus de M0 sont d'un même côté du plan langent.

De plus, la distance MP de M au plan tangenl e^i infiniment petite du second ordre par rapport à la distance M0M (cf. n° 219). On dit que le plan (22) a un contact du premier ordre avec la courbe.

Si. comme nous le supposerons. a2. b>. C2 ne sont pas tous trois nuls, et, de plus, ne sont pas proportionnels à r/,, bx. c,. les équations (24) et la suivante

déterminent, de manière unique, des quantités proportionnelles à A. B, G, D ('). Parmi les plans tangents, il y en a donc un et un seul. (Il), pour lequel V est infiniment petit d'ordre supérieur au second.

En général, la partie principale de \ e>t. pour ce plan,

1 Aa.,+ Bb3-hCc3 i/r\

(') On a (t. I, n° 292)

A = ?(blr., — c, //. 1. B == p(c,a3— «,(,), C = pC^é,— b^a.) ; pui<.

D=-(Aa?a+ By0+Czt),

p désignant un facteur arbitraire.