ÉTCDE D'UNE COURBE AU VOISINAGE DIX DE SES POINTS

Art3-+-B63-|-Cc3 étant, par conséquent, supposé ?=u. On voit que \ change de signe avec h; donc, les arcs élémentaires issus de M0 sont de part et d'autre de (II), qui est traversé par la courbe.

On voit aussi que la distance de M à (II) est infiniment petite du troisième ordre par rapport à la distance M0M; le plan | II i <jt la courbe ont un contact du second ordre.

Le plan (Il i est appelé plan oscillateur en M0 à la courbe Résumons tous ces résultats en l'énoncé suivant :

Théorème. — Etant donné un point quelconque M0 d'une courbe gauche, tout plan tangent en M0 laisse, en général., In courbe, au voisinage de M0, d'un même côté de ce plan. La distance d'un point M de la courbe, voisin de M0. au plan considéré est infiniment petite du second ordre par rapport à la distance M0 M.

Cependant > il y a un plan tangent particulier, appelé plan osculateur. qui traverse la courbe en M0. La distance de M à ce plan est infiniment petite du troisième ordre.

Bien entendu, cet énoncé peut souffrir des exceptions, lorsque les coefficients des développements (i) ont des valeurs particulières. Quand il en est ainsi, on dit que le point M0 présente des singularités. Ce n'es! pas ici le lieu de les étudier. Contentons-nous d'observer que, quelles qu'elles soient, on saura toujours, par la méthode précédemment exposée, reconnaître la position de la courbe, au voisinage de M0, par rapport à n'importe lequel des plans tangents en ce point.

22o. Autres propriétés du plan osculatkur. — Le plan osculatnur peut être caractérisé par d'autres propriétés.

Théorème I. — Le plan oscillateur coupe la courbe en trois (joints confondus.

Car l'équation aux h des points d'intersection, soit V = o. admet une racine triple nulle.

Théorème IL — Le plan oscillateur en M0 est la limite du plan M„ T0M, lorsque M tend vers M0.

En effet, le plan M0T0M est représenté par l'équation (22) si 1 on a.

3 5o chapitre XIV.

outre i 2 i i,

./.r. r désignant toujoursles coordonnées de M. Or, si l'on remplace, dans cette dernière équation, .r, j\ ^ par les développements 1 . If terme constant et Je terme en h disparaissent, en vertu de (2 i '. I )i\ isant par //-. il \ ienl

Si A tend vers zéro, 1271 devient (26), équation qui caractérise, comme nous lavons vu, le plan osculateur 1 ' 1.

I héorème III. — ■ Le plan osculateur en AI0 est la limite du plan un- ni' par M0T0 parallèlement à la iajtgente en M, quand M tend

vers M0.

En effet, ce plan est représenté par i 22 |, si l'on a. outre ( ^i), dcc dy dz

En tenant compte de la deuxième équation | 2 J) et divisant par 2/1. ou retrouve (2^). Le raisonnenienl s'achève comme précédemment.

On énonce quelquefois ce théorème, en disant que imil plan oscilla leur es/ parallèle à deux tangentes infiniment cuisines.

Jleniai a//e. — Il résulte de l'un ou l'autre de ces deux derniers théorèmes que le plan osculateur d' 'une courbe plane est le plan <le cette courbe.

*226. Equatio.m m plais osculateur, — Il importe de savoir écrire l'équation du plan 'osculateur en un point quelconque d'une courbe donnée.

\ eei effet, imaginons que les développements | 1 | aient été obtenus

1 ' 1 Ce Lhéorème explique très bien le précédent. Il moulre aussi pourquoi le plan osculateur traverse la courbe. Si l'on considère, en effet, le plan langent MHT„M, les deux arcs élémentaires issus de M„ sont d'un même côté de ce plan. L'un de ces arcs

est d'ailleurs M„M. Lorsque le plan tancent tend vers le plan oscillateur, il devient de plus en plus petit et finalement disparaît. La combe, qui traversait le plan tangent en M. traverse maintenant le plan osculateur en M„.

ÉTUDE B UNE COURBE W VOISINAGE D UN l>E SES POINTS

par lit formule » 1 * ■ Taj for. Nous avons alors

«i = ar0.

Si qous nous reportons ;mx conditions i a j el s5 et si nous supprimons les indices o, pour simplifier L'écriture, nous voyons que l>> plan oscillateur en M I a . \ . z | est représenté par l'équation

^/ condition que Von ait

\ ./■ i-B/+Ci'=o, \' — i!)'— <;^ =o.

EH minant A. B, C entre > 28 i et (29), nous avons l'équation du plan osculateur -mis la ferme

< >n jieul quelquefois simplifier cette équation par la remarque suivante, d!ttne assez grande importance pratique :

Si y. /■ y sont des quantités seulement proportionnelles à x - Y . z. c'est-à-dire un système quelconque de paramètres directeurs de la tangente^ Véquation <ln plan osculateur peut s'écrire

ïi

En efTel . soient

p désignant un facteur quelconque. Portons dans 1 >o)

X — ar V — v Z - z

Ce déterminant se décompose en deux (t. I. n" 2<St 1. 1. un des déterminants partiels a pour dernière ligne p'a, p [J, p y; il est nul, parce que celte Ligne est proportionnelle [à la seconde 1 1. I. 11 2<XI >.

î3a CHAPITRE XIV.

L'autre déterminanl est visiblement égal au déterminant (3i), multiplié par ïj- ■ .Notre remarque est donc justifiée.

-227. An lieu d'utiliser les équations (36) ou (3i), il est quelquefois plus simple d'employer des procédés particuliers. Il peut arriver, par exemple, que l'on découvre des coefficients A, lî, C vérifiant les équations (29). Portant dans (28), on a l'équation du plan osculateur.

On peut aussi, dans certains cas, chercher un plan qui coupe la courbe en trois points confondus. On est alors ramené à écrire qu'une certaine équation a une racine triple, laquelle racine triple donne le point d'osculation cf. n° 222 l.

\ 1 1 pliquon? ce procédé en coordonnées tétraédriques. Soient x, y, z. t les coordonnées du point courant M, exprimées en fonction d'un certain paramètre u. Soit