AX + BY+ GZ-+- DT

l'équation du plan osculateur. Le paramètre u de M doit satisfaire aux trois équations

(33) {' Aa;+ By -+- Cz-t-D* = o, \ ./'■- B/-f- ("'.5'— Dt'= <>.

j A./ '— I! ) — CU"-+- !>/' = o.

En éliminant A, P>, G, D, nous avons l'équation du plan oscillateur

Cette équation s'applique, en particulier, en coordonnées cartésiennes homogènes. Klle peut être avantageuse, lorsque les coordonnées ordinaires se présentent sous la forme de fractions, ayant le même dénominateur, d'autant plus que ce dénominateur se trouve en facteur, d'après un calcul du n" 221, dans chacun des mineurs y' z" — ~ y" , z' x" — x'z", x' y" — y' x" et, par suite, dans l'équation (3o) tout entière.

L'équation (34). au contraire, élimine ce facteur, que l'on pourrait très bien ne pas apercevoir, dans l'application de l'équation 1 3o).

ti^S. Définitions. Soil une courbe quelconque (G), plane ou gauche. Imaginons qu'un point M puisse se déplacer, mit cetle courbe, de manière que sa distance à un point fixe 0 croisse au delà de toute limite. On dit alors 'qu'il décrit une branche infinie de la courbe.

Si, en même temps, la droite OM tend vers une position limite déterminée O/. (' ), <»n dit que la courbe passe par le point à Vinfini dans ht direction OX (n° 38). Cette direction est appelée direction asymptotique de la branche considérée. \ oyons ce que devient la définition de la tangente en un point M0, lorsqu'on suppose ce point à l'intini.

Nous joignons MM,,; autrement] dit, nous menons par M la parallèle à OX. Puis, nous cherchons la limite de cette droite quand \J tend vers M0, c'est-à-dire s'éloigne à l'infini dans la direction OX. Plusieurs cas peuvent se présenter :

i " MX tend vers une position limite déterminée (A i. -iluée à distance finie (ftg- 20, a). On dit alors que la droite < A i est asymptote à la branche île courbe considérée.

• MX s'éloigne indéfiniment. Dans ce cas, la tangente est la droite de l'infini. Par analogie avec le cas particulier de la parabole (n° 453), on dit que la branche considérée est une branche parabolique, de direction OX. Elle affecte la forme d'une parabole, dont

(') Il peu! arriver que cette position limite n'existe pas, soil que OM tourne iiulélinimenl autour de O, auquel cas la branche considérée est appelée spirale, soit que OM oscille indéfiniment, comme il arrive, par exemple, pour la courbe

lorsque x devient infini

I axe sérail parallèle à 0\ du moins tanl qu'on n'en regarde qu'une portion suffisammenl éloignée ( fig. ao. b).

Fig. so.

■ Ma oscille indéfiniment, ^m> tendre vers aucune position limite. Dans ce cas, la tangente au point à l'infini n'existe pas. On démontre que ceci n'esl d'ailleurs possible que pour des courbes transcendantes ( •), de sorte que, pour une courbe algébrique, la tangente en un pointa l'infini est ion jouis soit une asymptote, suit la '//<>//,■ de l'infini.

!229. Autre définition de l'asymptote. - Revenons au <;i^ de lé figure 20, >i. el abaissons la perpendiculaire Ml' sur | Y». Dire que MX tend vers i \i équivaul évidemmenl à «lire que Ml* tend vers zéro. ( Mi peut donc encore définir l'asymptote comme étant une droite dont la distance à un point de I" courbe tend vers zéro, lorsque ce point s'éloigne indéfiniment.

Court/es asymptotes. — \ ce propos, signalons l'extension suivante. On dit que deux branches infinies < C t et (C I sont asymptotes ( fig. 21 ). lorsqu'on peut joindre chaque point M de (C) à un point M' de (C), de telle manière que la distance MM tende vers zéro, lorsque M va à l'infini sur ( C; et, par suite, M' sur 1 <

Il est clair que la définition précédente rentre dans celle-ci: il suffit de prendre M' en P.

Deux branches qui ont une même asymptote sont évidemment asymptotes. Mais on peut aussi imaginer des branches paraboliques asymptotes ; tel est le cas de la figure 21. En particulier, l'une de ces dernières, (C) par exemple.

(') Telle est la sinusoïde (t. I. n 76), pour laquelle M'a oscille entre 1rs deux droites v =±1.

peut être une véritable parabole. Il peut être utile, lorsqu'une courbe possède une branche parabolique, d'en chercher une parabole asymptote ; c'est

Fig. ai.

là. en effet, un moyen de se mieux renseigner sur la manière dont cette branche se comporte à l'infini.

230. Détermination des vsvmptotes d'une courbe plane définie paramétriquemlent. — La première chose à faire esl de chercher les paramètres des points ;'i l'infini. On les obtient en calculant les valeurs de i qui rendent x ou y ou x et y infinis. En particulier, si, comme il arrive souvent, a? <i ^ se présentent sous la forme de fractions, on doil chercher les racines des dénominateurs el vérifier qu'elles n'annulenl pas en même temps les numérateurs correspondants. IJ ne faut pas oublier non plus la valeur / — x. lorsqu'un numérateur est, pour cette valeur, infiniment grand d'ordre supérieur an dénominateur correspondant.

Les paramètres des points a l'infini elani obtenus, soit /„ l'un d'eux. Il s'agit maintenant de déterminer, si elles existent, la direction asymptotique et l'asymptote correspondantes.

LorsqiCune seule des deux coordonnées devient infinie, la question est tout de suite résolue. Supposons, par exemple, que. pour / = /„. )- devienne infini. ./ tendant, an contraire, vers une valeur linie ./•„. Il est à peu pies évident que la droite ./=./„ est, dan- ce cas, l'asymptote elle-même. En effet, lorsque / tend vers /„. M va à l'infini el la distance (' i MP-= | x — x0 | tend vers zéro.

Arrivons maintenant au cas généra] où x et y deviennent simultanément infinis.

Par définition, la direction asymptotique est & direction limite de

(' (Jette distance est oblique à l'asymptote, lorsque les coordonnées sont obliques. Mais cela n'a aucune importance, car la distance normale, qui est encore plus petite, tend, a fortiori, vers zéro.

i >l> CHAPITRE XV.

la droite OM {fig. 20). Or, -1 x et y sont les coordonnées du point M. OM a pour coefficient angulaire—- On aura donc le coeffîcient angulaire de la direction asjmptotique en cherchant la limite m de £ pour / = /0 (t. I, n° 126, II). L'équation de Ma est maintenant

fU

w X = jk

jNous aurons l'équation de l'asymptote en cherchant la limite de la quantité 0 =y — m r (t. I, n° 126. IV ». Soit c? cette limite, supposée linie ; l'équation de l'asymptote s'écrit

Si. au contraire. 0 augmente indéfiniment, la droite Ma s'éloigne à 1 infini, on a une branche parabolique.

231. Position de la courbe par rapport a sok asymptote. - Il y a lieu de reprendre, pour le cas d'un point à l'infini, l'étude qui a fait l'objet des nos 216 à 218.

Si Ton donne à t des valeurs t0-\-h un peu plus grandes que /0 (// >> o), M est très éloigné sur une certaine branche. Si l'on donne

Fig. 22.

à / des valeurs un peu plus petites que /„ (h < o 1, M est très éloigné sur une autre branche. Il s'agit de savoir reconnaître la position

qu occupe chacune de ces branches, parmi les quatre positions possible- indiquées par les figures 22 (a H /> ).

Supposons d'abord qu'on [ail une jasymptote parallèle à < > r. Il suflit de connaître les signes < I < • » - «• t de ./■ — x0 = l'Ai. Pour cela, on en cherchera le> parties principales, en prenant h pour infiniment petit principal (*).

Supposons maintenant, que l'asymptote ne soit parallèle à aucun des axes et soit représentée par l'équation (2V Pour savoir dans quelle région se trouve le point M(#, y) par rapport à cette droite. il nous faut connaître le signe deV= y — m.r — d=B — d (n° 7 !)(-). Cette quantité est d'ailleurs infiniment petite, puisque [f/ esl la limite 'le 0 | n" 230). On devra en chercher la partie principale. En outre, on aura à se préoccuper |du signe de x (ou de y), afin de savoir vers quelle extrémité de l'asymptote la courbe se dirige. Ce signe se déterminera toujours au moyen de la partie principale.

Supposons enfin qu'on ait une branche parabolique, dan- la direction OX, de coefficient angulaire /// (*). La quantité 0 augmente indéfiniment en valeur absolue. Suivant qu'elle tend vers -h oc ou vers — ce. la parallèle Ma. dont 0 est l'ordonnée à l'origine, s'éloigne à I infini dans la région des y positifs ou dans la région des r négatif-. I) autre part, le signe de x (4) nous indique si le point M s'éloigne vers les x positifs ou vers les x négatifs. Cela suffit pour placer la comité.

Résumons les résultats établis dans ce numéro et dans le précédent en une règle pratique qu'il importe de retenir :

Règle. — On cherche d'abord les valeurs de t qui rendent x ou y ou x et y infinis.

Si y seul, devient, infini, x prenant une valeur finie .r„. la

Si <0 = oc, on prendra h= -• Plus généralement, on peut prendre pour infiniment petit principal n'importe quelle fonction de t qui tende vers zéro, quand / tend vers /,,.

Observons que la région positive est celle du point à l'infini sur la partie positive de Oy.

("j Si m est infini, de même d'ailleurs que si m =0, il suflit de chercher les signes de x et de y.

(4) Si m est fini et — <>, <e signe est ;iu>si celui de 1 ou le signe opposé, suivant

que m e»t 0 ou ; 0, puisque — tend vers ni.

droite x = x0 est asymptote. On détermine sa position vis-à-vis de la courbe au moyen des signes de y et de x — ./„.

Si x et y deviennent simultanément infinis, le coefficient

angulaire m de ladirection asymptotique est lu limite de — ■ Si

cette limite est nulle ou infinie, on a une branche parabolique, de direction Ox ou Or, et dont on détermine la position au moyen des signes de x et de y. Sinon, on cherche la limite d de o = y mx. Si cette limite est in finie, on " une branche par CLbolique, dont on détermine la position au moyen des signes de o et de i (ou dey). Si elle est finie, on a une asymptote d? équation \ m\ = d. On reconnaît la position de la courbe par rapport à cette asymptote au moyen du signe de la quantité o — d.

232. Emploi des développements limités de / i;r nu j. — On peut, s très rapidement, effectuer, toutes les opérations précédentes, quand on connaît dés développements limités, poussés suffisamment loin, de X et de y. Mais, dans le cas actuel, ces développements, que nous supposons ordonnés suivant les puissances croissantes de l'infiniment petit h. doivent commencer par une puissance négative (t. I, n" I VI I.

Bornons-nous à considérer le cas où x et y deviennent simultanément

infinis et sont, en outre, infiniment grands du premier ordre par rapport à - • On a des développements de la forme

l ./■ — u„ — ajt — <t .h1 — ....

y = , ' -r- b0 -h bx li — l>< li"' — n

On peut écrire immédiatement l'équation de l'asymptote

(4) a\ — bX — (aô„- baa

On peut le vérifier en appliquant la règle précédente. On peut uiiN«i. plus rapidement, observer que la quantité

(5) Y = a y — bx — i ab0 - ba0 ) = h(abi — ba\) ■+■ /<- 1 ab.z — ba, i --. . . .

qui est proportionnelle à la distance MP, tend \ers zéro avec h. De plus, le signe de cette quantité donne la position de la courbe par rapport à l'asymptote.

-I'\\. Le cas particulier où la courbe (C) est donnée sùus la forme y = f(&)

mérite, bien qu'on puisse le faire rentrer dans le précédent, en posant x = /. d'être examiné à part, dans le cas du moins où y devient infini en même temps que x.

Dans cette hypothèse, calculons le développement limité de y suivant les puissances décroissantes de x. en nous arrêtant aussitôt que nous obtenons une puissance négative, soit

y = a„x" — an -,-r"-1 — . . . — (i{x — an — —

La courbe (C), d'équation

Y = a, ,./■"— a a !./■"' — . . .— axx — a0,

est asymptote à la proposée. En effet, si nous joignons les deux point- M

et M' de même abscisse, la distance M'M = v — Y = ■ h.... tend vers zéro,

^ xi'

quand x croit indéfiniment. De plus, le signe de —nous donne le sens du

vecteur M'A! et non- indique, par conséquent, la posilnai de (G) par rapport à i C i.

Si, comme le suppose implicitement le développement ci-dessu-. n est entier, la courbe i C' l est une parabole du nième degré. Lorsque n = i , c'est une droite; c'est l'asymptote. Lorsque n = 2, c'est une véritable parabole: la courbe (G 1 n'a pas d'asymptote, mais une branche parabolique dans la direction Oy; de même que si n > 1.

Il peut arriver aussi (t. 1, n 11:2' que le développement procède suivant des puissances fractionnaires. Dans ce cas, il n'y a pas de ternie constant «„. Si «>i, on a une branche parabolique dans la direction Oy ; si «<iT on a

une branche parabolique, dans la direction Ox. Le rapport — tend en effet vers x, dans le premier cas. et vers o, dans le second cas.

23-4. Ordre de contact d'une asymptote. — Eludions le nombre des points de rencontre de la courbe avec l'asymptote, qui sont rejetés à l'infini. Si l'on coupe par une droite quelconque (D), d'équation

(6; àX + BY + C=o,

l'équation aux h des points d'intersection s'écrit, en admettant les développements ( ; .

(; { Aa-hBô)-4-A(A«0-+-Bè0-+-G)

+ A9(Aai-f- B/ji , — h3{ àa,+ B68)+...= o.

Si A# — B6 = 0, c'est-à-dire si (D) est parallèle à l'asymptote I i I, on a la racine h = o. Cette racine est simple et. par conséquent, il \ a un seul point d'intersection à l'infini, tant que Afl0 + Bè0+C^o, c'est-à-dire tant que

i D n'est pas l'asymptote elle-même. Si (D) est l'asymptote, la racine h = o e-i double, en général; il y a deux points d'intersection à l'in/ini. Gomme lorsqu'il s'agit du contact en un point à distance finie, nous dirons que, dan< ce ca-. l'asymptote a un contact du premier ordre avec la courbe. Il peut arriver accidentellement (|ue le coefficient de h'2, dans (7), s'annule a 1 1 < s i . quand on coupe par l'asymptote. Soit, d'une manière générale,

(A<7/,-f- Bbp)hP+i

le premier terme non nul. Dan* ce cas, p^-\ points d'intersection sont rejetés à rinjini; l'asymptote a un contact d'ordre p avec la courbe.

Comme au n° 219, nous dirons que le point à l'infini considéré est un point d inflexion, dès que p > 1 et, plus particulièrement, lorsque/» = 2. Dans ce dernier cas et, d'une façon générale, lorsque p est pair, V est d'ordre infinitésimal pair; donc, les deux branches de courbe positive et négative ( n" 217) sont du même côté de l'asymptote (Jig. 23, a). Au contraire, si/» est impair, en particulier lorsque p— i, les deux branches sont de part et d'autre de I asymptote (fig. 23, b). Ces conclusions, comme on le voit, sont opposées à celles que nous a\ons établies pour les points à distancefinie (n°2L8).

Fig. 28.

Un a aussi des résultais contraires, quand on examine les variations du coefficient angulaire de la tangente, à la tra\ersée d'un point à l'infini. Dans le cas de la figure 2'J, b, qui est celui du point ordinaire, on voit que le sens de rotation de la tangente change, quand celle-ci devient asymptote; donc, le coefficient angulaire de la tangente passe par un maximum ou un minimum. Au contraire, dans la figure 2'J, (/, la tangente continue à tourner dans le même sens (sens inverse des aiguilles d'une montre), quand on passe de la branche supérieure à la branche inférieure.

Pour terminer ce paragraphe, nous ferons observer que l'ordre de contact d'une asymptote (A 1 est égal à l'ordre infinitésimal de la distance .Ml'

(fig. 20, ai. quand on prend — — pour infiniment petit principal . En

effet, MP est proportionnel à Y. Or, si p est l'ordre du contact, V est

d ordre /> par rapport à li. Mais, la partie principale de ('infiniment grand OM

ou \'x- -4- >■- e^t, d'après (3), T /a2-+- b1. Celle de -^— ; est / , . , ; de sorte

que /i est du même ordre que — — • f'.ela justifie bien la propriété ci-dessus

énoncée, qui pourrait servir de définition à l'ordre de contact d'une asymptote.

23o. Points \ l'infini d'une courbe plane, algébrique, définie par une équation [MPLiciTE. — Soit une courbe(G), plane, algébrique el de degré ///. définie par l'équation

Pour avoir ses points à l'infini, nous passons en coordonnées homogènes ( n° 39) et obtenons l'équation

Les coordonnées homogènes des points cherchés sont définies par L'équation (9) et la suivante

Or. si l'on tient compte de 1 io), (9) devient

e>| \, \ ) désignant l'ensemble des termes de F(X, \ , T 1 qui ne ienferment pas T. Ces termes proviennent évidemment des termes de plus haut degré f(#, y) de/( x, y).

Piappelons-nous maintenant que le point 1 \. YT, o) est à l'infini dans la direction de paramètres directeurs X, \ . Si donc X et \ vérifient (11), ce sont les paramétres directeurs d'une direction àsympto tique, et réciproquement.

Imaginons dès lors qu'on mène toutes les directions asymptotiques par l'origine; on obtient ce qu'on appelle le faisceau des directions asymptotiques. Tout point de ce faisceau a des coordonnées x, y proportionnelles à une solution X, "\ de (11), et réciproquement. Comme <p(X, \ ) est une fonction homogène, un tel point doit vérifier l'équation

et réciproquement.

On conclut de là, finalement, que l'équation (12) représente le faisceau des directions asymptotiques. Elle est d'ailleurs de degré m : Haag. — Cours, II. 16

donc, le faisceau comprend m droites, réelles ou imaginaires, distinctes ou confondues. Ceci s'explique d'ailleurs, si l'on remarque que/ priori une courbe algébrique de degré /// doit posséder/?? points à l'infini, intersection de cette courbe avec la droite de l'infini.

Des considérations cpii précèdent, nous tirons la régie suivante, qu'il importe de retenir et qu'on retrouve, du reste, instantanément, en songeant à couper par la droite de l'infini :

Règle. — On obtient l'équation du faisceau des directions asymptotiques en annulant V ensemble des termes de plus haut degré de V équation proposée.

236. Supposons qu'on ait isolé un rayon du faisceau précédent, soit

Il s'agit de trouver l'asymptote correspondante.

Tout d'abord, on peut observer que cette asymptote n'est autre, par définition (n° 228), que la tangente au point à l'infini M0, de coordonnées homogènes | [3, — a, o). En appliquant l'équation générale (io) du n° 197, on obtient pour équation homogène de Vasymjitote :

04) XFX.^: a, o)-HYFV(P, — a, o) + TF^(p, — a, o).

Toutefois, cette équation n'a de sens que si les dérivées partielles Fy, Fv, Fr ne s'annulent pas simultanément (') pour X= ($, ^ = — a, T = o, c'est-à-dire si le point à l'infini M0 n'est pas un point singulier (n° 198). La méthode suivante, au contraire, est applicable, quells que soit la nature de ce point.

Coupons la courbe par une droite quelconque parallèle à (i3), soit

((5) -j.x -+- riy = X.

Parmi les points d'intersection doit se trouver le point M„. de sorte qu'il reste au plus m — i points à distance finie. Supposons, d'une

(') Si \\ et Fy seules s'annulent. la tangente est la droite de l'infini; on a une branche parabolique.

manière générale, que ces derniers soient en nombre ( ■ ) m — /> ( p i) et ceci, quel que soit X. Toute sécante passant par M0 coupe alors en p points confondus en M0. Donc M„ est un point multiple, d'ordre p (n° 198). On a les j> tangentes en ce point en écrivant qu'un point de plus, parmi les points d'intersection, est à l'infini ou, ce qui revient au même, qu'il v a un point de moins à dislance finie. Ce résultat est obtenu, par exemple, en annulant le coefficient de la plus haute puissance de x ( ou de y) dans l'équation aux x < ou aux y > des points d'intersection. On est conduit de la sorte à une équation algébrique en A, dont le degré est, en général. />. puisqu'il doit v avoir p tangentes en M0. Dans ce cas, il y a p asymptotes données par l'équation (i5),où l'on doit remplacer successivement ). par les p racines de l'équation ci-dessus mentionnée. Toutefois, il peut arriver que le degré de cette dernière s'abaisse et soit seulement p — q (<£ •£[> ). Dans ce cas, il y a seulement p — q asymptotes ; les q autres tangentes en Ma sont confondues avec la droite de l'infini.

Des considérations qui précèdent, nous tirons la règle pratique suivante :

Règle pratique! — Pour trouver la ou les asymptotes qui correspondent à une direction asymptotique déterminée. on coupe la courbe par une parallèle quelconque à cette direction. Le nombre des points d'intersection qui sont rejetés à l'infini donne l'ordre de multiplicité du point à l'infini dans la direction considérée. En écrivant qu un point de plus est rejeté à l'infini, on a les asymptotes cherchées^

237. In cas particulier, remarquable par sa] simplicité, est celui où la direction asymptotique est parallèle à l'un des axes de coordonnées, soit Ox, pour fixer les idées. Couper par une parallèle à Ox revient à considérer y comme constant dans l'équation de la courbe. Le degré de cette dernière par rapport à x. retranché du degré m de la courbe, donne, en conséquence, l'ordre de multiplicité p du point à l'infini sur Ox. Les tangentes en ce point sont obtenues en annulant le coefficient de la plus haute puissance de x, ce qui conduit à

(l) Ce nombre est, par exemple, le degré de l'équation aux x (ou aux y) des points d'intersection.

une équation on v. de degré = p. dont les racines sont les ordonnées des .i-\ mptotes cherchées. I )onc :

Règle. — Lorsque l axe des x est direction asymptotique. on a les asymptotes correspondantes en annulant le coefficient de la plus haute puissance de x dans l'équation proposée (').

On a une règle analogue pour Or.

238. Position de la courbe par rapport a une asymptote. — Nous nous bornerons à indiquer le principe de la méthode à employer pour résoudre ce problème, qui n'est simple que dans le cas où le point à l'infini considéré n'est pas un point multiple (2). Soit m le coefficient angulaire de la direction asvmptolique, que nous pouvons toujours supposer fini, quittes à échanger les rôles de x et dey, si m était infini. L'équation de l'asymptote est de la forme

Y = m X — cl

et se détermine comme il a été expliqué au numéro précédent. Il s'agit d'avoir le signe, pour x='±aoi de la quantité infiniment petite V=r — ma — et. À cet effet, nous cherchons sa partie principale en fonction de l'infiniment

grand x ou, si l'on préfère, en fonction de l'infiniment petit—- Opérant comme

au n° 223, nous éliminons y, de manière à obtenir l'équation algébrique qui lie x et V, soit

Puis, procédant toujours comme au n'' 223, nous supprimons tout lerna: reconnu comme infiniment petit par rapport à un terme non encore supprimé.

Pratiquement, si le point à l'infini est simple, l'équation (16; est de degré m — 1 par rapport à x. Le coefficient de ./'"'• doit s'annuler pour V = o, puisque, dans cette hypothèse, l'équation (16) devient l'équation aux abscisses des points de rencontre de la courbe avec l'asymptote. Le terme en .i'"-x est donc de la forme hYxm~1, A étant une constante (3i. Tout autre terme renfermant V sera à supprimer, car ./ n'y figurera qu'avec un exposant <}/» — 1 et le quotient de ce terme par AY.r'"— l sera nul, pour x = vo. Resteront les termes indépendants de V (*), dont on ne gardera que celui dont le degr<;

(') Si l'on passe en coordonnées homogènes, cette règle apparaît comme un cas particulier du théorème énoncé au n° 200, à propos des points multiples en coordonnées trilinéaires.

(2) Pour le cas d'un point multiple, voir N , n05 61 i> 65.

(3) Il ne saurait renfermer des puissances de V supérieures à la première, car l'équation fi6) est de degré m, par rapport à l'ensemble des variables x et V.

Pour les apercevoir aisément, il est commode de faire Y = 0, dans l'équation.

sera le plus élevé, pour une raison analogue à la précédente. *^e degré sera ni — i, puisque l'unique terme en .*"'-> est AY-r'"-'. Il nous restera finalement une équation de la forme

A V j:"1~1 -+- B xm-P = o ( p 5 a ) ;

<]'où nous tirerons la partie principale de V :

Si p est pair (par exemple, p = 2), les deux branches sont de part et d'autre de l'asymptote (fig. 23 6). Si p est impair (p?3 ), on a un point d'inflexion, avec la disposition de la figure >3 a.

1239. Points \ l'infini d'ume surface algébrique. - Soit une surface algébrique (S), de degré m et d'équation

En passant en coordonnées homogènes, on voit, comme au n" 235, que les points à l'infini de cotte surface sont définis par les deux équations

o(X, Y, Z) représentant l'ensemble des termes de plus haut degré de J (.r. \\ z ). Ils constituent une courbe algébrique, plane et de degré m. section de (S) par le plan de L'infini. Si l'on joint l'un d'eus à l'origine, on obtient une direction asymptotique de la surface. Si on les joint tous à l'origine, on obtient un cône algébrique, de degré m, qu'on appelle cône des directions asymptotiques et dont l'équation est

2Ï0. Soient a, [3, y les paramétres directeurs d'une direction asymptotique particulière 07.. Le point à l'infini M0 correspondant a pour coordonnées homogènes (a, p, y, o). Le plan tangent en ce point a pour équation homogène (n° 20 1)

{21) XFX (a, 3, v, o) H- YFY (a, 3, 7, o) + ZF , \ y.. j3, -;. 0 ) +TF'T l *, p\ •;. 0) =o,

en supposant toutefois que les quatre dérivées partielles ne soient pas nulles simultanément, c'est-à-dire queM0 soit un j'oi/it simple.