CHAPITRE XV. — ASYMPTOTES

Si l \. |-'Y. Iz ne sont pas toutes trois nulles, le plan (21) est à dislance finie et porte le nom de plan asymptote. C'est le lieu des tangentes en M0 aux tourbes tracées sur la surface et passant par ce point ; c'est donc le lieu des asymptotes parallèles à O)..

Si Fx = Fy = Fz = o, le plan tangent est le plan de Vin fini. Les courbes tracées sur la surface et passant par M0 ont des branches paraboliques, dans la direction O)..

241. Si le point M0 est multiple, on procède comme il suit. Coupons par une parallèle quelconque à OÀ ; si M (x.y, :■) est un point de cette parallèle, l'équation aux p des points d'intersection, par exemple, s'écrit.

(29.) /( x — pa, j — pp, z -+- p-;) = o.

Soit m — p le degré de cette équation par rapport à p. Il y a p points d'intersection à l'infini; le point est multiple d'ordre p.

La sécante MX sera tangente à l'infini, si un point de plus, parmi les points d'intersection, va à l'infini. Ceci s'exprime en annulant le coefficient de p"l~P, dan- 1 'i-i). On obtient ainsi une équation en x,y. :, de degré ^ p, qui représente le cône des tangentes en M0 (n^SOG), c'est-à-dire le cylindre des asymptotes parallèles à OÀ.

Ce cylindre doit être, en général, le degré p (ri0 206 j. Mais, son degré peut s'abaisser, du fait que le cône des tangentes en M0. dégénère en un véritable cylindre et le plan de l'infini, compté un nombre de fois égal à l'abaissement du degré.

Il va sans dire que. la méthode que nous venons de décrire s'applique, en particulier, lorsque/; = 1 et peut être employée concurremment avec celle du numéro précédent.

2i2. Courbes définies paramétriquement. — Le mode de représentation analytique le plus favorable à la construction des courbes planes est celui de la représentation paramétrique.

Soit une courbe (G), définie par les équations

La méthode générale que l'on doit suivre, pour construire une telle courbe, se résume en quelques mots :

On étudie les varia/ions des fonctions x et y; puis, faisant croître t de — x à -+-00, on suit.de proche en proche, le déplacement du point M(X.) ), en s' aidant du tableau de variation précédemment construit.

En pratique, cette régie doit être complétée par un certain nombre d'observations.

2i3. Choix de l'intervalle de variation- . — L'opération par laquelle on doit toujours commencer est la détermination de l'intervalle de variation de t ( ' ).

D'une manière générale, cet intervalle doit comprendre toutes les valeurs de t, pour lesquelles x et y sont simultanément définis. Mais, on peut souvent le réduire par des considérations de périodicité ou de symétrie (cf. , t. I. n° 6(.) >.

I. Périodicités. — Si les fonctions /( t) et g\t) ont une période

(l) \ous ne saurions trop engager le lecteur à se bien pénétrer de cette recommandation, que les commençants ont la fâcheuse tendance d'oublier, tant ils sont pressés de calculer les dérivées de x et de y.

commune T, il est clair qu'on peut se borner à taire varier t dans un intervalle de longueur T. car si l'on dépassait cet intervalle, on retomberait sur les mêmes valeurs de x el dey, donc sur les mêmes points.

Il peut arriver aussi que x et y donnent lieu aux identités

(2) /(<-t-T)s/(0+*o, #(*+?) = ff(*)+yo,

x0 et r0 désignant des constantes. Au point M(x, y), de paramètre /. on peut faire correspondre le point M' (a? + x„. y -hyô)i de paramètre Z-f-T. On passe du premier au second parla translation

constante, représentée par le vecteur \ . de composantes x0, y0. Dès lors, on construira L'arc de courbe correspondant à un intervalle de variation de longueur T. Si l'on veut ensuite la courbe en

entier, il suffira d'imprimer à l'arc obtenu les translations ±z \ ,

±r 2 Y. ± 3 \ . etc.

2ii. II. Symétries. — On a des symétries toutes les fois que. par un certain changement effectué sur la variable t. on obtient un simple changement de sigîie d'une ou deux des coordonnées x et y ou bien un échange de ces coordonnées, combiné ou non avec un changement rie signe. On a. en effet, les théorèmes suivants :

Théorème I. — Les points M( /. y) et M <./'. y') sont symétriques par rapport à i 'origine, si l'on a x' = — x, y-= — y-

Ces deux égalités expriment, en effet < n" 23 i. que le milieu de MM' est l'origine.

Théorème II. — L"s points M et M' sont symétriques par rapp ji t a < )./, si Ion a x = x, y' = —y.

A la vérité, il s'agit ici d'une symétrie parallèlement à Or. qui ne

devient une véritable symétrie (ou symétrie droite, par opposition à la symétrie oblique | que si les axes sont rectangulaires. Elle ebt caractérisée par le fait que MM' est parallèle à Or et a son milieu sur Ox. Or, la première condition se traduit par x' — x et la seconde par/+j = o ou/ = - y.

CONSTRUCTION DES COUBBES PLANES. 2 l<j

Théorème 11F. — Les points M et M sont symétriques par rapport à Qy, si Von a x' = — x, y' =y.

Dé monst ration analogue.

Théorème IV. — Les points M et M' sont sym<:triqucs par rapport à la première bissectrice, si l'on a x' = .r, y = x.

En efl'et. le milieu de MM' a pour eoordonnées — — > ■ "*" ; il esl

sur la première bissectrice. De plus, ht droite MM' a pour paramètres directeurs y — xy x — y; elle est parallèle à la seconde bissectrice, donc perpendiculaire à la première.

La symétrie dont il s'agit ici est donc une symétrie droite.

Théorème \ . — Les points M et M sont symétriques par i apport à la seconde bissectrice, si Ion a x = — r, j' = — x.

Démonstration analogue.

Aux cinq théorèmes précédents, on peut en rattacher d'autres, déduits des premiers par un simple changement de 1 origine des coordonnées. C'est ainsi que si l'on a x' = a — x et y' = b — -y. les

points M et M sont symétriques par rapport au point (-, -)-De même, si x' = a — x et y' = />'. M et M sont symétriques par rapport à la parallèle à Or. dont l'abscisse est - •

245. Cela posé, si l'on découvre qu'un certain changement, en

général très simple (tel que t\ — t, t \ -, t\--\- t, etc.). effectué sur

la variable t, ne modifie pas ou ne fait qu'échanger les \aleurs absolues de x et dey('), on conclura à Y existence d'un élément de symétrie [point ou droite) pour la courbe. On pourra se borner à faire varier t dans un intervalle tel que le changement précité, effectué sur les valeurs de cet intervalle, donne un nouvel intervalle, qui, ajouté au premier, reproduise d'intervalle entier de variation (qui. d'ailleurs, apudéjcàètre réduit). Ayant construit l'arc de courbe correspondant à l'intervalle ainsi réduit, on n'aura plus qu'à compléter par symétrie.

(l ) Ou bien donne des changements de la forme x \ a — x. y \b — y .

2iG. Lorsqu'on a choisi* 1 intervalle de variation de /, on étudie, dans cet intervalle, les variations de x et de y. On dresse un tableau figurant à, la lois ces deux variations, comme il a été expliqué au n° 06 du Tome I.

On construit ensuite les points remarquables el les tangentes en ces points (' ) (n° 192). Nous appelons ainsi les points dont les t figurent, comme valeurs remarquables, dans le tableau de variation. On peut y ajouter quelquefois, afin d'avoir des renseignements supplémentaires -m- la courbe, les points de rencontre avec les axes, dont les t sont obtenus en annulant .r ou y. ou bien les points multiples, les points d'inflexion.

Parmi les points remarquables doivent toujours figurer les points à l'infini, dont les t sont les valeurs de discontinuité du tableau (t. I. n°66. 2°). On doit construire, avec soin, les asymptotes correspondantes et, si possible, la position de la courbe (n° 231). On conçoit, en effet, toute l'importance du rôle que jouent les branches infinies dans la forme générale de la courbe, Si l'on oublie l'une d'elles ou si on la trace dans une mauvaise direction ou avec une fausse asymptote, l'aspect de la courbe peut être modifié du tout au tout.

Tous ces préliminaires étant terminés, on n'a plus qu'à tracer la courbe, en joignant par un trait continu et régulier les points précédemment construits (2) et tenant compte des tangentes et asymptotes. De plus, l'inspection du tableau indique, à chaque instant du tracé, par les sens de variation de x et de y, si la courbe va de gauche à droite ou de droite à gauche, de bas en haut ou de haut en bas. Enfin, on complète, s'il y a lieu, par symétries.

247. Coi 1115 F.S DÉFÎMES PAR F \ E ÉQUATION IMPLICITE. Soit la

courbe (C) définie par l'équation

(x) Pour certains points importants, on peut aussi, si l'on veut, chercher la position de la courbe par rapport à la tangente ( n° 217), si toutefois cette position ne résulte pas, d'une manière évidente, du tableau de variation, comme il arrive quelquefois.

(2) Si, dans certaines régions, on trouve que la courbe n'est pas suffisamment guidée, on construit d'autres points supplémentaires, en donnant à t des valeurs numériques convenablement échelonnées. On peut même employer uniquement cette méthode empirique, quand on ne sait pas étudier les variations de x et de y à la manière classique.

Il n existe pas de méthode générale pratique, pour construire une telle courbe d'une manière précise. La marche à suivre varie d'un exemple à l'autre. Nous nous bornerons à indiquer les cas les plus courants.

Citons, en premier lieu, le cas où l'on peut, de l'équation (3), déduire des équations paramétriques de la courbe. On est alors ramené aux paragraphes précédents, ce qui est très avantageux, pourvu que la représentation paramétrique obtenue ne soit pas trop compliquée.

Nous verrons, au Chapitre XVIII, comment on reconnaît, a priori. que certaines courbes algébriques, définies par une équation implicite, peuvent être représentées paramétriquemcnt et comment on calcule pratiquement cette représentation. Pour l'instant, bornons-nous à mentionner le cas très simple où l'équation (3) est résoluble par rapport à l'une des coordonnées. En pratique, ceci n'a guère lieu que si l'équation est du premier degré par rapport à x ou à y. ou encore, quelquefois, par rapport à x- ou à y-. Quoi qu'il en soit, si Ton peut résoudre, sans trop de complication, par rapport à y-, on obtient une équation de la forme y — f(x) et l'on est ramené à étudier les variations de la fonction f\ c).

"21S. Ces hypothèses particulières étant exclues, voyons comment on peut effectuer la construction, en utilisant directement l'équation (3).

On commence par chercher le plus de renseignements possibles sur la courbe. C est ainsi quon détermine tout d'abord les asymptotes, quand elles existent et, si cela est possible, la position de la courbe par rapport à elles. Puis, on peut chercher les points de rencontre avec les axes ('), quand cela présente peu de difficultés. Si l'on aperçoit un point multiple, on cherche les tangentes en ce point (n° 199), comme on peut le faire, au surplus, pour tout point simple obtenu comme point remarquable.

On peut aussi, en s'appuyant sur les théorèmes du n° 2ii, essayer de découvrir des symétries. C'est ainsi que la courbe admet l'origine pour centre de symétrie, lorsque son équation ne change pas

(') Ou avec certaines parallèles à ces axes.

quand on change simultanément x en — x et y en — y. En effet, -i M(.r, y) appartient à la courbe, le point symétrique M'( — x, — y) lui appartient aussi, puisque l'équation f( — x, • — y) = o équivaut à/(#, y) = o.

En particulier, pour qu'une courbe algébrique admette l'origine pour centre de symétrie, il faut et il suffit que son équation ne renferme que des termes de degré pair ou que clés termes de degré impair. Nous laissons au lecteur le soin de démontrer cette proposition, qui est à peu prés évidente.

De même, si l'équation ne change pas quand on change seulement j? en — x ou ( )' en ■ — r), Oy (ou O x) est un axe de symétrie.

Si l'équation est symétrique par rapport à x et r, la première bissectrice est axe de symétrie. Si elle se reproduit dans le changement x | — )' et )'| — x, c'est la seconde bissectrice qui est un axe.

Si l'on veut reconnaître la symétrie par rapport h un point quelconque M0(a?0, )'o)r on transporte l'origine en ce point et l'on applique le critérium précédent. De même, si l'on veut reconnaître la symétrie par rapport à une parallèle à un axe de coordonnées ou aune bissectrice, on transporte l'origine en un point quelconque de celle droite.

249. \ oici maintenant le principe de la méthode généralement employée pour avoir une idée précise +le l'allure de la courbe. On coupe par une droite variable (D), passant par un point fixe P et l'on étudie la réalité et la distribution des points de rencontre, en faisant pivoter la droite autour de P, de manière à ce qu'elle balaie tout le plan.

Pratiquement, cette discussion n'est possible que dans les cas où l'équation déterminante des points de rencontre est une des rares équations qu'on sait discuter facilement, telles que l'équation du second degré, l'équation du troisième degré sous la forme canonique (t. I, n° 265), l'équation bicarrée.

Quant au choix du point P, il est précisément guidé par la condition ci-dessus*. Par exemple, si la courbe, étant algébrique et de degré ///, possède un point multiple d'ordre m — 2, en prenant le point P en ce point multiple, la droite (D) ne coupera la courbe qu'en deux points autres que I* et l'on aura à discuter une équation du second degré.

Lorsque le point l} est à distance finie, on peut \ transporter l'origine des coordonnées. La discussion revient alors à passer en coordonnées polaires.

Le plus fréquemment, on essaie de prendre le point I' à l'infini sur l'un des axes. On coupe alors par des parallèles à Ox ou à Or. Suivant le cas, cela revient manifestement à discuter l'équation (3) par rapport à x ou par rapport à y. On peut alors s'occuper non seulement de la réalité, niais encore du signe des racines, de façon à reconnaître les portions de la courbe qui sont d'un côté ou de l'autre de 0 y ou de Ox.

250. Méthode des régions. — • Pour terminer, nous allons donner un procédé particulier, qui, s'il permet rarement, à lui seul, de construire la courbe, peut néanmoins donner des renseignements précieux.

Imaginons cpie l'équation de la courbe (C) puisse être mise sous la forme

les facteurs P,, P2, P:i. . . .. Qn étant des fonctions de x et de y telles que les courbes (P, ), (P2). ( P3)- • • -, (Q«)> cluon obtient en les annu-

lant, soient de forme connue et très faciles à construire. Traçons les lignes (P) en traits mixtes et les lignes (Q) en traits pointillé-»

i/îff. 24).

Tout d'abord, il est évident que tout point de rencontre d'une ligne (P) avec une ligne (Q) appartient à la courbe (C), car, pour un tel point, les deux membres de (4) sont nuls, donc égaux.

On obtient, de la sorte, un certain nombre de points particuliers de la courbe à construire.

l5.\ CHAPITRE XVI.

En second lien, considérons les régions délimitées dans le plan par le*- différentes lignes (P) el (Q). Quand le point M(#, y) se déplace \\ l'intérieur d'une de ces régions, sans en toucher les lignes" démarcatrices, il est manifeste que les fonctions P,, P2, . ..,Q„ gardent chacune un signe constant, puisque aucune d'elles ne s'annule (*). Les deux membres de ({) ont, par suite, dans ladite région, partout le même signe ou partout des signes différents. Dans le second cas, il est clair que la courbe (C) ne peut avoir aucun point dans la région considérée, puisque les deux membres de (4), J prenant des signes contraires, ne peuvent devenir égaux. Pour cette raison, on dit que la région est impossible et on la couvre de hachures. Les régions non impossibles sont dites possibles et laissées en blanc. La courbe peut passer dans chacune d'elles, mais n'y passe pas nécessairement.

Quand on a déterminé la nature de toutes les régions, on part d'un des points <lr rencontre A des courbes (P) avec les courbes (Q). En général, quatre régions aboutissent à ce point; deux sont possibles et deux sont impossibles (fig. i'\ ). On amorce la courbe ( C), à partir de A, dans une des régions possibles. On doit ensuite sortir de cette région par un autre point analogue à A et pénétrer de nouveau dans une région possible. Il peut arriver que cela ne puisse se faire que d'une seule manière (par exemple, sur la figure i\. on doit sortir par le point Bj. Dans ce cas, il n'y a pas de difficulté: Mais, il peut aussi se présenter plusieurs sorties (2), auquel cas, on ne peut continuer le tracé, sans renseignements complémentaires. On recommence alors la même opération, en partant du même point A, mais dans l'autre sens, ou d'un autre point. 11 arrive quelquefois qu'on peut, par ce procédé, construire la courbe en entier. Mais, cela est assez rare et la méthode des régions doit être en général employée concurremment avec une autre méthode.

Remarques. — I. 11 arrive quelquefois qu'un facteur. \\ par exemple, esl essentiellement positif ou négatif, comme cela ;i lien

(') On suppose, bien entendu, qu'on n'a affaire qu'à des fonctions continues. Pratiquement d'ailleurs, ce sont des polynômes, car la méthode des régions ne s'applique guère qu'aux courbes algébriques.

(-) Telle est, sur la figure, la sortie de la région dans laquelle on a pénétré après le point B. On peut sortir par C, D ou E.

lorsque ce facteur est un carré ou une puissance pain-. Dans cette circonstance, la ligne (P< ) "doit être laissée de côté pour le régionnemenl. car sa traversée par le point M est san- influence sur le signe de P, et, par suite, sur le signe du premier membre de ( {). Néanmoins, il peut être utile de la tracer, car elle peul donner des points de (C), par sa rencontre avec les lignes | Q).

II. Pour déterminer pratiquement la nature des différentes régions, on prend un point, de coordonnées aussi simples que possible l l'origine, un point à l'infini, etc.) et situé en dehors de toute ligne i l'i ou (Q). Puis, on voit quels signes il donne aux deux membres de (4)- On en déduit la nature de la région dans laquelle il se trouve: d'où résulte la nature de chaque région voisine ( ' ). De proche en proche, on arrive ainsi à reconnaître toutes les régions.

2ol. Forme d'une courbe gauche ou d'une surface. — Pour se faire une idée de la forme qu'affecte une courbe gauche dans l'espace, on construit ses projections sur les plans de coordonnées ( n" 51) et l'on essaie, par la pensée, de suivre le déplacement d'un point dont les trois projection-- décriraient les courbes ainsi construites. Avec de l'imagination et si la courbe proposée n'est pas trop compliquée, on arrive ainsi à se représenter cette dernière.

S'il s'agit d'une surface, on la coupe par un plan se déplaçant, d'une manière continue, parallèlement à un plan de coordonnées. On construit cette section et l'on étudie ses variations de forme et de grandeur, quand le plan sécant balaie tout l'espace. On peuf répéter cette opération pour les trois plans de coordonnées.

On peut aussi compléter celte étude par la recherche des contours apparents sur les plans coordonnés. Le contour apparent sur xOy, par exemple, est la base, dans ce plan, du cylindre circonscrit parallèlement à O^. On a son équation en écrivant que l'équation en c a une racine double, car cela revient à exprimer que la parallèle à O;, qui a pour trace le point (x, y) sur xO r, coupe la surface en deux points confondus et lui est, par conséquent, tangente.

(l) La nature change, quand on traverse une seule ligne de régionnement ou un nombre impair de ces lignes. Elle ne change pas quand on en traverse un nombre pair.

256 CHAPITRE XVI. — CONSTRUCTION DES COURBES PLANES

On peut aussi écrire que le plan tangent à la surface est parallèle à Or. ce qui se traduit par la condition/: — o. Puis, on élimine centre cette équation et l'équation de la surface. D'après la théorie des racines doubles (t. I, n° 226). cela équivaut à la méthode précédente.

Ajoutons que, dans l'espace, les éléments de symétrie se découvrent par des règles analogues à celles des nos 2ii et 248.

ÉTl'DE DES COURBES PLANES EN COORDONNÉES POLAIRES.

2o2. Détermination df.s tangentes. — Soit une courbe plane < C |, rapportée à un système de coordonnées polaires, de pôle O et d'axe polaire Ox [fig- 25). Soient M(p, u) un quelconque de ses points

et MT la demi-tangente positive en ce point, la courbe étant par conséquent, supposée orientée. Menons la demi-droite OX, d'angle polaire co et posons

V=\OX,MTJ.

Nous allons calculer l'angle ~\ par son cosinus et son sinus.

A cet effet, menons O 1 , d'angle polaire »-\ — ■ On sait (n° 29)

que cos \ et sinl sont les cosinus directeurs de MT relativement aux axes OXY. Or, soit M' un point variable de la courbe. Si s' désigne son abscisse curviligne et x\y ses coordonnées par rapport aux axes fixes 0X1. on- sait (n°193> que les cosinus directeurs de la

i • • irirrii • dx' dy' ^..

demi-tangente positive M 1 en ce point sont —p et —■• D autre part.

si to'= oj -f- h et o' sont les coordonnées polaires de M par rapport à

Ox. h et o' sont les coordonnées polaires du même point par rapport

Haag. — Cours. II. 17

a58 CHAPITRE XVII.

à OX; donc (n° 40)

,r'= p' eos//. y'— p' sin/i; dx' dp' , , . , dh dy' dp' . . , , dh

— r-7 = -y-y COS II • 0 Sin II -y—. , —77 = -7-7 S1I1 /* -+- o cos « — — , •

as as as as as as

Si, dans ces formules, nous faisons h=o, nous obtiendrons les cosinus directeurs de MT. Or, quand M' vient en M, -j-r devient égal

, do , . , . dh d(io -+- h) dta' , . , , dm

a -j-> 0 devient e<ral a o et -y-, = —, = —ry devient égal a —r--

ils l l ds ds ds ds

On a donc finalement ( ' )

/ \ v d? ■ v cho

(1) cos \ = -7-» sin V = p — — •

' ds ds

Si la courbe 11 est pas orientée, la tangente est définie seulemcn par tan» \ :

(a) tang\ = -^ = ^>

en appelant p' la dérive -y- • Celte formule peut aussi s'écrire

(3) cotang V = (logp)'.

!2o3. Considérons le point A où MT rencontre 01 . On appelle sous-tangente polaire la quantité

(4) S,= ÔÂ.

Il est aisé de la calculer, d'après ce qui précède. L'équation de MT par rapport aux axes OX\ s'écrit, en effet,

Y =langV(X — p)= |-(X-p).

Si l'on y fait X = o, on obtient l'ordonnée de A, c'est à-dire la sous-tangente :

(5) sf=-£,

(') On peut retrouver rapidement ces formules, en considérant M' connue infiniment voisin de M et remarquant que les projections de MM' sur 0 \ et O^ sont sensiblement dp et pf/u (t. I, n° 173), la longueur MM étanl sensiblement égale à ds.