ETUDE DES COURBES PLANES EN COORDONNÉES POLAIRES. .''.'I

ce qui peut encore s'écrire

La normale M\ rencontre 01 en B. On appelle sous-normale

polaire la quantité

(;) s«=ôb.

Le triangle rectangle AMB, dont OM est hauteur, nous donne

ÔM2 =— ÔX.ÔB ou

d'où

Les formules (2), (5 |, 8 l fournissent trois procédés différents pour déterminer la tangente en un point donné. On emploie l'une ou l'autre, suivant la forme de l'équation qui relie p et w. En particulier, on se servira de la sous-tangente, calculée par la formule (6),

>i - se présente comme fonction très simple de w. Si, au contraire,

c'est p qui est le plus simple, on utilisera la sous-normale. Enfin, si p est donné sous la forme d'une expression calculable par logarithmes ( produit ou quotient >, on emploiera la formule (3).

2oi. Cas ou la courbe passe au poli:. — La courbe passe au pôle, si 0 s'annule pour une certaine valeur w0 de w. Dan- ce cas, la droite d'angle polaire co0 est tangente en O à la courbe.

En effet, soil M un point de celte dernière dont l'angle polaire w est voisin de to0 et le rayon vecteur & voisin de zji.ro. La droite OM a pour angle polaire w. Quand w tend vers co0. M tend vers O et OM devient une tangente en O, ce cpii justifie l'assertion ci-dessus.

Si p s'annule pour plusieurs valeurs de 10, ne différant pas les unes des autres par des multiples de it, on aura plusieurs tangentes au point O, qui sera, dès lors, un point multiple.

Il arrive quelquefois, pour certaines courbes transcendantes, que p tend vers zéro, quand oj tend vers — x ou vers — x. Dans ce cas, la

courbe s'enroule indéfiniment autour du point O (■), tout en s'en approchant à une distance aussi petite qu'on le veut. On dit alors que le pôle est un point asymptote de la courbe.

Dans le même ordre d'idées, lorsque p tend vers une limite finie et non nulle p0, pour tu := =boc, le cercle de centre O et de rayon p0 esl appelé cercle asymptote.

255. GoxcAvm';: inflekiox. — Reprenons les notations de la figure i5 et proposons-nous de reconnaître la région dans laquelle se trouve le point INI' par rapport à JVIT, quand on le suppose infiniment voisin de M.

Appelons p0, u>0 les coordonnées de M. L'équation de MT par rapport aux axes OXY peut s'écrire

Nous aurons le renseignement demandé en cherchant le signe de

où x et y désignent les coordonnées cartésiennes de M' par rapport à OXY. Si p et 10 o -+- h sont les coordonnées polaires de ce point, on a

:r = p cos h , y = p sin h : donc

A = p ( cos h — — sin h ) — p„ .

V po /

Il est avantageux, pour éviter la multiplication de p par la parenthèse, de diviser par p. Pour plus de symétrie et aussi pour ne pas changer le signe de A, divisons aussi par p0, en observant que, p étant infiniment voisin de p0, le produit pp0 est positif: nous obtenons ainsi la quantité

B = — ( cosh — ^-sinh\

qui a même signe que A.

Il nous faut chercher ce signe, pour les valeurs infiniment petites de h. Appliquant toujours la même méthode, nous calculons la partie principale de B (t. I, n° 123). .

Supposons que —soit développable suivant les puissances croissantes de h,

par la formule de Taylor, jusqu'à un ordre aussi élevé qu'il sera nécessaire.

(') Dans le sens positif, si w tend vers -\-rJ~- ; clans le sens négatif, si w tend vers — =o .