ÉTUDE DES COURBES PLANES EN COORDONNÉES POLAIRES
Nous avons
Les termes constants et en // disparaissent identiquement. Le terme en A2 est
-?Ur (?);]■
Si l'on observe que la région où A est > o est celle des X positifs, on voit que la courbe est concave vers les X positifs ou négatifs suivant que — -+- ( - )
est négatif ou positif. Si h ( - 1 = o, on a un point d'inflexion. Il faut
pousser plus loin le développement de B. Le terme en A3, par exemple, est
S'il n'est pas nul, on aura un point à \ isible inflexion; la position de la courbe résultera du signe du crochet. S'il est nul, il faudra encore poursuivre le développement de B, jusqu'à ce qu'on obtienne un terme non nul.
En résumé, nous pouvons énoncer les conclusions suivantes :
Théorème. — En un point M, d'angle polaire co, la concavité est tournée vers le point à l'infini de la demi-droite d'angle polaire u> ou vers la
direction opposée, suivant que la quantité — h l -I est négative ou positive. Si cette quantité est nulle, on a un point d'inflexion (l).
256. Asymptotes. — On obtient les points à l'infini de la courbe, en cherchant les valeurs de <o auxquelles correspondent des valeurs infinies de z. Il arrive parfois que p devient infini en même temps que to. Dans ce cas. iln'ya pas de direction asvmptotique. La courbe
(') On peut aussi obtenir l'équation des points d'inflexion en écrivant que l'angle
polaire u + V de la tangente passe par un maximum ou par uu minimum (n° 221 )#
hn a-noulaut sa dérivée, on a i H — — -= o ou
i +( arc tang -V) = o équation qu'il est aisé de ramener à la précédente
tourne indéfinimenl autour du pôle, en s'éloignant de plus en plus. On dit qu'on a une spirale.
Si, au contraire, p devenant infini, oj tend vers une limite linie w0, la droite d'angle polaire to0 est la position limite de OM ; c'est la direction asymptotique t n° 228).
Pour avoir l'asymptote correspondante, on calcule la so'us-asymptote, qui est à l'asymptote ce que la sous-tangente est à la tangente. On sait d'ailleurs qu'une asymptote n'est autre qu'une tangente ( n° 228): par conséquent, la sous -asymptote peut rire calculée par remploi de la formule (6). Lorsqu'elle est infinie, il y a branche parabolique.
On peut aussi déterminer la sous-asymptote par un procédé direct. qui a l'avantage de donner, du même coup, la position de la courbe (n°23i ).
Soient OX la direction asymptotique. d'angle polaire co„. et 0\
la demi-droite perpendiculaire, d'angle polaire w0 -f- - (fig- 26);
Fi g. 26.
Menons MP parallèle à OX. Par définition, l'asymptote est la limite de cette droite. Pour la déterminer, il suffit de- calculer la limite OA de OP, qui n'est autre que la sous-asymptote. Or, OP est la projection, sur OY, du vecteur OM, porté par la demi-droite O À, «d'angle polaire to. On a donc
OP = OM . cos( OX, OY 1 = p co> ( u>o -r- — — w ) = p sin ( tô — ti>0 1 .
Par suite, la sous-asymptote est la limite d de la quantité 8 = a sin(oj — to0), quand u> tend vers w0 ( ' ).
Si l'on veut avoir la position de la courbe par rapport à
(') Cette limite se présente sous la forme y- x o (t. I, n° 12G).
ÉTLDE DES COURBES PLANES EN COORDONNÉES POLAIRES. l6i
V asymptote, il suffit d'étudier le signe deAP = o — <1. quand w est infiniment voisin de o0. À cet effet, on pose w — «0 = h et L'on cherche la partie principale de o — cl. par rapport à h. Il faut, en même temps, avoir soin d'observer le signe de l'infiniment grand p, ce qui peut se faire au moyen de sa partie principale
Remarque . — On peut montrer aisément que la limite de o coïncide avec la valeur de la sous-asymptote donnée par la formule (6).
On a, en effet .
sin | eu — u>o '
Cette expression se présente sous la forme -• Si on lui applique la règle de l'Hospital (t. 1, n" 126), on voit qu'elle a même limite
COS((0 — OJn l , , ,. I /-> . i • i l 1
aue ; — —i c est-a-dire ?-• < est bien la valeur que donne
\ p / w . \r'/wo
la formule (6), quand on y remplace co par u>„.
257. Symétries. — Il importe pour la construction des courbes, de savoir reconnaître éventuellement leurs symétries par rapport au pôle ou par rapport à iine droite quelconque passant par le pôle.
Théorème I. — Les deux points M | p, w | et M i p', to') sont symétriques par rapport au pôle, si l'on a
c' — — p, (.-/ = w — 2 /. ~ ou bien p' = p, to'= w -+- (a k -+- l)ic.
En effet, dans le premier cas, les vecteurs OM et OM' ont des mesures algébriques opposées sur la même demi-droite (d'angle polaire un ; donc, ils sont opposés. Dans le second cas, ils ont même mesure algébrique sur deux demi-droites opposées (d'angles polaires respectifs u> et w-}-7c); ils sont donc encore opposés.
Théorème II. — Les deux points M et M' sont symétriques par rapport à la droite OA, d'angle polaire a, ou par rapport à la droite OR perpendiculaire, suivant qu'on a
to'=2« — w, p'=p ou bien io'=2a — w, p'= — p.
En effet, les demi-droites O/.. d'angle polaire co, et OÀ'. d'angle
polaire <•>'. admettent pour bissectrice la demi-droite d'angle polaire t0 + t0' = a, c'est-à-dire OA. Si p'= p, OÏÏ = OM, les points M el
M' sont évidemment symétriques par rapport à OA. Si p' = — p, OM" = — OM, les deux points sont symétriques par rapport à la
bissectrice extérieure de l'angle XOV, c'est-à-dire par rapport à la droite OB. perpendiculaire à OA.
Si. en particulier, on applique ce théorème, en supposant a — o
ou -> on obtient les suivants :
Théorème III. — Les deux points M et M' sont symétriques peurapport à l'axe polaire, si l'on a
co' = — u>, p'=p ou bien u>'=n — w, p'= — p.
Théorème IV. — Les deux points M et M' sont symétriques par rapport à la perpendiculaire à l'axe polaire, si Von a
ou bien
10 — — tu .
Les théorèmes I, III et IV sont d'une application fréquente, dans la construction des courbes. Ils se retrouvent d'ailleurs instantanément, en interprétant les formules intéressées sur une figure qu'on trace rapidement ou qu'on se représente mentalement.
2o8. Colrbes simples. — Avant d'entreprendre la construction d'une courbe définie par son équation polaire, il est toujours bon de vérifier, par un examen rapide, qu'on n'a pas affaire à une courbe classique, de forme bien connue, telle que droite, cercle, conique. Si l'on néglige cette précaution, on s'expose à commettre la maladresse ridicule qui consiste à construire par points une droite ou un cercle.
Ln procédé toujours très rapide et qu'il est facile de ne pas oublier, pour éviter cette sorte d'accident, est de passer tout simplement en coordonnées cartésiennes. La transformation ne souffre aucune difficulté toutes les fois cju'on doit arriver à un résultat aussi simple que ceux qu'on se propose précisément de discerner.
Néanmoins, il est des équations polaires particulières qu'il est bon de retenir. Telle est Y équation de la droite.
