ÉTIDE DES COURBES PLANES EN COORDONNÉES POLAIRES

admettra certainement pour période o.p-. ce qui ne veut pas dire que cette période ae puisse être, dans certains cas, réduite à l'un de ses sous-multiples (').

De toutes façons, quand on a reconnu que p admettait une

période il, on peut se bornée à taire varier u dans un intervalle quelconque ( il 1. de longueur il. On construit l'arc «le courbe correspondant ; puis on lui imprime, autour du pôle, les rotations zz il, ± 2Q, . . .. Si, comme il arrive quand la courbe est algébrique, il est commensurable avec Tt, on finit par retomber sur lare initial < 2 i : la courbe se ferme (:! ). Sinon, on obtient une infinité d'arcs différents et la liyne passe aussi près qu'on le veut de tout point dont le o est atteint par /'< w >, quand co décrit l'intervalle i Û) ( ' i.

Lorsqu on a obtenu la plus petite période de p, on recherche les symétries, par l'application des théorèmes du n" 257. A cet effet, on essaie des substitutions de la forme w| — w, co | tz — co, to|--f-co. co j 2 a — co, . , . , et l'on regarde si p ne change pas de valeur absolue. Chaque fois qu'il en est ainsi, on a découvert une symétrie | •) et l'on peut réduire de moitié l'intervalle de variation.

2(31. L'intervalle le plus réduit étant obtenu :

2° On étudie les variations de z en fonction de ta.

3° On étudie le signe de p. Ceci est indispensable, pour savoir dans quel sens on doit porter chaque rayon vecteur (n° -iO).

4° On construit les points remarquables et les tangentes en ces points. Entre autres, on doit déterminer avec soin les points à l'infini,

(') Si l'on pose tang — = t. il est aisé de voir que p, cosco, siuco tt, par suite,

x et y s'expriment rationnellement en fonction de /. La courbe proposée est donc. non seulement algébrique, mais unicursale.

(-) Si — est la fraction irréductible égale à — j ceci arrive au bout de y rotations,

dont l'ensemble équivaut à p tours complets.

(3) A vrai dire, ceci est une façon de parler, car, malgré cette circonstance, la courbe peut être ouverte (s'il y a des brandies infinies) ou se composer de plusieurs courbes fermées.

(4) Ces points constituent une région délimitée par un ou plusieurs cercles concentriques au pôle (cf. Chap. IV: exercice résolu nu î >.

(5) Il y a exception si. à la suite de la substitution w|w + x, p se change en — p. On retombe sur le même point et l'on peut, sans rien oublier de la courbe, se borner à faire varier w dans un intervalle de longueur -.

1rs asymptotes correspondantes et, si possible, la position de la courbe par rapporl à celles-ci. Les valeurs de to qui rendent o infini figurent il ailleurs nécessairement dans le tableau de variation, comme valeurs de discontinuité. De même, l'étude du signe de o conduit, en général ('), aux valeurs qui annulent celle quantité et qui sont. comme on s;iit (n° 2oi ). les angles polaires des tangentes au pôle.

Observons enfin qu' aux points où o est maximum ou minimum, la courbe est normale au rayon vecteur, car la sous-normale p' est nulle.

■ >" On trace une ligne continue joignant les points remarquables (2), en observant les indications du tableau de variation.

(>" On complète, s'il y a lieu, par symétries et par rotations.

262. Points multiples. — Une courbe étant donnée par une équation de la forme p =/( w), on peut aisément, du moins en théorie, en déterminer les points multiples.

Ln point M( p, ta) est multiple s'il est obtenu plusieurs fois dans la construction de la courbe (3). Ceoi peut arriver de deux manières:

i° En ajoutant ih -- à to, k ayant une valeur entière convenable, on retrouve la même valeur pour p.

2° En ajoutant (ik-\-i)- à to, p change de signe.

Il suit de là qu'on aura les points multiples en cherchant les valeurs de m pour lesquelles l'une ou l'autre des équations

/(«) =/i w -i- 2Â- I, /(to I =—/['.> +12/,-^ I )-]

admet une ou plusieurs solutions entières en k.

263. Autres formes d'équation. — 11 arrive quelquefois qu'une courbe est définie par une équation de la forme to =/(c). Si l'on ne peut résoudre par rapport à p, on étudie les variations de to en fonction de o.

(') Si une valeur w0 annule p sans le faire changer de signe, la courbe admet visiblement un rebroussement au pôle, la tangente de rebroussement ayant pour angle polaire w0.

C1) Si, dans certaines régions, la courbe n'est pas assez bien guidée, on construit quelques points supplémentaires, en donnant à o> des valeurs numériques convenablement échelonnées.

(3) On suppose, bien entendu, que ceci n'a pas lieu pour tous les points de la courbe, c'est-à-dire que l'intervalle de variation de to a été suffisamment réduit. .