COURBES ET SURFACES UN1CURSALES

ï26i. Courbes planes unicursales. — Lne courbe plane est dilc unicursale si l'on peul trouver un système d'équations paramétriques dans lequel x ely son! des fonctions rationnelles (i. I, n°7oN) de /.

On peul toujours, dans ce cas, choisir la représentation paramétrique de telle manière que, lorsque t croît de — co à +tt. le point Ml x.y i décrive la courbe en entier, une seule fois et toujours dans le même sens ('). Lne semblable représentation est dite repr<'sentation paramétrique propre. Elle définit, en somme, une correspondance parfaite entre les nombres t de l'intervalle ( — x, -)- x ) et les points de la courbe.

11 peut arriver, au contraire, que chaque point soit obtenu pour plusieurs valeurs du paramètre (-). La représentation est alors impropre et peut être simplifiée par un changement de variable surf.

Toute courbe unicursale est algébrique, car l'élimination de t entre les équations paramétriques conduit à une équation algébrique en a?, y (t. I. n° 233). Pour, avoir son degré, on coupe par une droite que/conque in" 43'). Si la représentation paramétrique est propre, le degré cherché est égal au degré de l'équation aux / des points d'intersection.

26o. Procédés pour reconnaître, sur leur équation implicite, que certaines courbes sont unicursales. -- Si toute courbe unicursale esl algébrique, il faut se garder de croire à la réciproque. 11 existe des procèdes généraux qui permettent -de déceler l'unïcursalité ou la non-

(') Cette propriété, que nous admettrons, explique l'origine du qualificatif « unicursale ».-

(2) Il suffit, par exemple, de faire le changement de variable t = /'-. à partir d'une représentation propre, car à chaque point correspondent deux valeurs opposées de t'.

COURUES ET SURFACES UNICUBSALES. >~l

unicursalité sur l'équation implicite. Ils sont intimement Liés à la recherche des points multiples.

C'est ainsi que si une courbe algébrique de degré m possède un point multiple P, d'ordre m — i, elle est, à coup sur, unicursale.

Vax effet, coupons-la par une droite variable (D) passant par P. Parmi les points d'intersection, le point P figure m — i fois ( n" 11)8 i ; .il ne reste donc qu'un seul point variable -M. qui. lorsque la droite pivote, décrit la courbe. Or, l'équal ion aux x des points d'intersection a des coefficients rationnels par rapport à cens, de (D), lesquels sont fonctions linéaires d'un paramètre variable / (n° 76). Gomme nous connaissons, à l'avance, une racine multiple d'ordre m — i de cette équation, à savoir l'abscisse de P, nous pouvons, par des calculs rationnels ('), évaluer l'unique autre racine, qui est l'abscisse de ~\l. Il est clair, dès lors, que cette dernière scia fonction rationnelle de /. Il en va de même pour l'ordonnée. Notre courbe est donc bien unicursale et nous savons en obtenir une représentation propre (-).

Parmi les courbes de la catégorie précédente, on peut ranger les courbes du second degré. Le point P, qui est un point simple, peut être pris n'importe où sur la courbe.

Citons aussi les cubiques à point double, dont on rencontre assez fréquemment des exemples.

265. Théorème. — Le nombre maximum de points doubles que puisse

, , . , ■ , , , i m — i ) | m — 2 ) présenter une courbe algébrique de degré m est ; lorsque

ce nombre est atteint, la courbe est unicursale.

„ o . , , ■ . , ( ui 111/» O. I

i" Supposons qu une courbe (C) possède hi = u points

doubles Ai, Ag, ..., An. Prenons, sur celle courbe, /< points Bj, Ba, ..., B;,, autres que les points doubles, p étant un nombre que nous allons déterminer dans la suite, mais que nous supposons déjà vérifiant une égalité de la forme

n étant entier et •< m .

(') En utilisant, par exemple, une des relations entre les coefficients et les racines {t. I, a' 220).

(2) Il y a, en effet, correspondance parfaite entre le point .M et la droite (D) et, par suite, entre le point M et le paramètre /.

•>;> CHAP1TBK XVIIt.

En vertu de celte dernière hypothèse, nous pouvons faire passer, par les points V et B, une courbe algébrique (T), de degré n (et, en général, une seule t I ' i. Les points A comptent pour ■?. u dans l'intersection des deux courbes, parce que doubles sur (G). Les points B comptent pour y?. Supposons maintenant qu'on ait

Les deux courbes auront plus de mri points communs, ce qui n'est pas possible in" 46 i, sauf si elles se confondent ou bien ont une partie commune. Mais ceci non plus n'est pas possible, car nous supposons, bien entendu, la courbe (Ci indécomposable et, d'autre part, puisque n est plus petit que m, la courbe ( T i ne peut comprendre ( C) ni se confondre avec elle.

Nous aurons donc démontré la première partie de notre théorème, si nous pouvons trouver deux entiers p et « satisfaisant aux conditions précédentes.

Bésolvons. dès lors, le système (i), (2), par rapport aux inconnues/?, n. Betranchant (1) de (2), nous avons

n2 — ru 2 m — 3) -+- (m — 1) (m — 2) = o.

Cette équation du second degré admet les racines

entières et toutes deux inférieures à m.

Portant ces valeurs dans (2), par exemple, nous avons ensuite

( 4 ) p 1 = 2 m — 3 , pî = m — 3 ,

nombres également entiers.

20 Supposons maintenant que la courbe (G) possède seulement

= v points doubles, A|, A*. .... A,, .

Les nombres p et n étant choisis comme précédemment, prenons encore,

sur la courbe, p points fixes quelconques B^ B2, ..., B^,, autres que les

points doubles. En vertu de (1), le nombre total des points A et B est

n(n -+■ 3) „ , c . . r . , , , 1. On peut donc faire passer par eux une infinité de courbes

algébriques (F), de degré n, constituant un faisceau (cf. Chap. XXXVIII,

Car le nombre des coefficients de l'équation générale du ivim° degré est