Le nor n ( n

(n + i)(« + a) «(/n-3) 3-+-...-h(/i + i)= = -+1. Le nombre de para-

mètres dont dépend la courbe générale de degré n est donc

COURBES ET SUBFACES UNICURSALE?. ï?3

exercice proposé n" lj. Les coefficients de l'équation générale «le ce faisceau renferment linéairement un paramètre variable /.

Cela posé, chaque courbe < 1* i coupe i C i aux points \ el l!. qui comptent pour '£•/—/> dans l'intersection. D'après (2), il ne reste qu'un seul autre point de rencontre M, le seul variable avec t et qui décrit C quand / varie. En raisonnant comme au n° 26o, on voit que ses coordonnées peuvent se calculer rationnellement en fonction de /. La courbe 1 C 1 est donc bien unicursale.

On peut étendre ce théorème par la considération de points multiples d'ordres quelconques, dont chacun équivaut alors à un certain nombre de points doubles. Mais nous ne pouvons aborder ici cette question, qui est fort ardue.

Comme application, citons la quartique à trois points doubles, pour laquelle m — \, v = '!. Les formules (3) et (4) donnent, dans ce cas,

n 1 = . 3 . p ! = ") : n% = 2 , pi = I.

On obtient donc une représentation paramétrique rationnelle de la courbe

en la coupant par un faisceau de cubiques ou par un faisceau de coniques.

La seconde solution est évidemment la plus simple.

La dinerence entre le nombre maximum de point- doubles

qu'assigne à une courbe algébrique son degré m et le nombre de points

doubles qu'elle a effectivement est appelé genre de la courbe.

2G7. Problèmes divers. — La représentation paramétrique rationnelle des courbes unicursales est particulièrement commode pour la

résolution Je certains problèmes, dont nous allons dire quelques, mots.

I. Condition pour que trois points de la courbe soient en ligne droite. — Soient trois points M,, M2, M3, de paramètres tt. t2. t3: on demande la condition qui doit lier ces paramétres pour que les points soient en ligne droite.

v cet effet, nous coupons la courbe par une droite quelconque

| j , tir — vy — w = o.

Puis, nous exprimons qu'on peut déterminer u. e, w de telle manière que l'équation en t obtenue admette pour racines /,, /2. /:!. La manière la plus élégante d'arriver à ce résultat consiste généralement à écrire les 11 relations entre les coefficients et les racines ( // étant le degré de la courbe), puis à éliminer entre elles le- trois Haag. — Cours, II. is

'7 i CHAPITRE XVIII.

paramètres homogènes //. r. w el les n — 3 racines /■,. / /„

autres que t,. t-2. /.,. < )n esl conduit, de la sorte. à une relation entre /,. /.. /.,. ([m est la relation demandée.

Pour l'aire le calcul d'une manière symétrique, il convient de remplacer les deux groupes de racines /,. /2, /■, el /,. / tn par leurs

fonctions symétriques élémentaires respectives (t. I, h°220; cf. noie de la page s8 • i.

La condition étant supposée remplie, on peut avoir L'équation de la droite M|M2M3, en résolvant, par rapport à u. e. ir, les équations obtenues par l'élimination «le /., /■. ...,/„ seulement.

Si, dans les résultats précédents, on suppose t< =t2 = t et t3 = h. on obtient, d'une part, une équation en 9, dont les racines sont les paramètres des points d'intersection de la courbe avec la tangente au point de paramètre /; d'autre part, l'équation de cette tangente.

Si l'on suppose tt = t-2 = tz = £, on obtient l'équation aux / des points d'inllexion ( n° 222).

II. Condition pour que quatre point 's soient sur un mente cercle OU six points sur une même conique, etc. — On coupe la courbe par un cercle quelconque ou par une conique quelconque et l'on continue comme dans le problème précédent. Plus généralement, on peut déterminer, par cette méthode, la relation qui doit exister entre les paramètres de p points pour que ces p points soient sur une des courbes d'une famille donnée, dépendant de p — \ constantes arbitraires.

En égalant deux ou plusieurs des paramètres, on obtient des cercles, coniques, .... tangents, bitangents, tritangents, oscillateurs. ... à la courbe proposée.

III. Condition pour que les tangentes en trois points soient concourantes. — On forme l'équation aux / des points de contact des tangentes issues d'un point quelconque Pur. y > ( n" 211 i et l'on exprimé qu'il est possible de déterminer ce point de manière que cette équation admette pour racines les paramètres /,. /2. /:, des points considérés. A cet effet, on écrit les relations entre les coefficients et les racines et l'on élimine entre elles r. y el les racines autres que /, . t .. t-,.

On peut aussi calculer x et y en fonction de £,, t.2. t?t: on a ainsi les coordonnées du point de concours P.

I 01 BBE8 KT SURFACES I WICI i;-\LES.

Si l'on fait, dans l'équation de condition, /( t% / et /; 8, L'équation en 'i obtenue admel pour racines les paramètres des points de contact des tangentes issues du point M, de paramètre £, autres

que la tangente en ce point.

Si l'on l'ait f4 = t, = (s = f , on obtient l'équation aux t des points de rebroussement q° 300 .

On peut généraliser ce qui précède en cherchant la condition pour que certains groupes <le tangentes soient tangents à une même courbe appartenant à une famille déterminée. Pour cela, on emploie toujours le même procédé, en partant de l'équation aux / des tangentes communes à la courbe proposée et à une courbe quelconque de la famille considérée.

268. Courbes g-àuches umictjrsales. — Lue courbe gauche est dite unicursale si l'on peut trouver un système d'équations paramétriques

dans lequel x, y, z sont fonctions rationnelles de /.

On peut répéter ici tout ce qui a été dit au n° 21) i. sauf que, pour avoir le degré, on coupe par un plan quelconque ( n" ^2 .

Théorème. — Toute courbe algébrique, de degré m^ possédant deux points multiples P et Q, d'ordres /> et q tels que p-\-q=m — r . est unicursale < ' .

En effet, coupons-la par un plan variable (II), passant par P el Q. Ces derniers points comptant pour p -+- q =m — 1 dans l'intersection, il n'en rote qu'un seul M qui soit variable. Ses coordonnées s'obtiennent par des calculs rationnels et sont, par suite, des fonctions rationnelles du paramètre variable dont dépendent Linéairement les coefficients du plan 1 II .

Comme application, citons la cubique gauche, pour laquelle les points P et Q sont deux points quelconques, nécessairement simples.

Toute quartique gauche possédant un point double P remplit aus>i

t ' 1 Si /< — q — n). la 1 ourbe est plane ou se décompose et comprend une courbe plane. Car, si M est un point de cette courbe autre que P et Q, le plan M PO coupe en ni -+- i points, donc en une inimité. Il contient toute la courbe ou une partie de celle-ci.

En particulier, une cubique a point double est plane ou se décompose. 1 ne quartique possédant deux points doubles est plane ou se décompose.

les conditions précédentes, puisqu'il suffil de prendre pour point Q un point quelconque de la courbe, autre que I'.

:2(>Jt. ( >n peul se poser, à propos des courbes gauches unicursales, des problèmes analogues à ceux que nous avons résolus au n°267. On peut chercher, par exemple, la relation qui doit exister entre les t de quatre points pour que ces points soient dans un même plan. La méthode à employer est toujours la même et nous ne croyons pas utile d'\ revenir.

En égalant deux des paramètres, on obtient un plan tangent. Si l'on égale en même temps les deux autres, le plan est bitangent. Si l'on égale trois des paramétres, on obtient un plan oscillateur. Si on les égale tous quatre, on a l'équation aux t des points possédant un plan surosculateur.

270. Surfaces unicursales. — Une surface est dite unicursale si l'on peut en trouver un système d'équations paramétriques tel que x. y. z soient fonctions rationnelles de m", v.

Si la représentation est propre, il y a correspondance parfaite entre les points de la surface et les groupes de nombres (u, v).

On peut aussi faire correspondre à chaque point M de la surface, de paramètres u et v, le point m du plan des xy (ou d'un plan quelconque dans lequel on a choisi deux axes de coordonnées), qui a pour coordonnées cartésiennes, dans ce plan, u et v. A chaque ligne tracée sur la surface correspond, de la sorte, une ligne tracée dans le plan et réciproquement. Un tel mode de correspondance porte le nom de représentation plane de la surface.

Toute surface unicursale est algébrique. Pour avoir son degré, le moyen le plus rapide consiste assez souvent à former son équation implicite, par élimination de u et e. On peut aussi couper par une droite quelconque et compter le nombre de points d'intersection.

Imaginons, par exemple, que les équations paramétriques de notre surface aient été mises sous la forme

fii fi, fz- f\ désignant quatre polynômes en a, v n'ayant aucun diviseur

COURBES BT SURFACES DNICURSALES. '77

commun. Coupons par la droite (A) définie par les équations

/ V.r B'y-hC'z+ D'= o,

A, B, ..., D' étant des coeflicients arbitraires. Les paramètres des points d'intersection sont déterminés par le système

(8) \ /, ( u, v) - I : /, ( u, v ) 4- ( ! fi ( «, v) -+- D/4( u, v) =• o,

(9) \'/\( u. v ) -+- B'/ji //. c 1 ■+- C'f3(u. v) -t- D'/Vl //. p) = o.

Il revient au même de dire, en se servant de la représentation plane, que les points représentatifs des points d'intersection sont les points communs aux deux courbes définies par les équations (8) et (91. où u et v sont regardés comme des coordonnées cartésiennes courantes. Il faut prendre garde, cependant, que certains de ces points peuvent ne pas convenir. Ce sont, lorsqu'ils existent, ceux qui appartiennent à la fois aux quatre courbes

(10) f[(u, i>) = o. fi(u,v) = o, /8(a,t>) = o, fifu.ii — o.

Pour les valeurs correspondantes de u, v. les fractions x. y. z se présentent

sons la forme illusoire - et ne constituent les coordonnées d'aucun point o

déterminé de la surface 1 ' |. \u reste, il est bien évident que les point- représentatif- des point* d'intersection doivent, comme ces derniers, être variables avec la droite (A; et ne sauraient, par conséquent, comprendre aucun des

(l) En réalité, à un tel système de valeurs, soit w0, e0, correspondent, en général, les points d'une droite. En effet, posons

et développons /,( u0-H x, e0-t- |i ), ... par la formule de Taylor (t. I. n° 132 ). Désignons, pour simplifier l'écriture, par A et H les valeurs des dérivées partielle- —

et — > pour u = u0 et v = v0. Nous avons alors, en négligeant les termes eu a. (3 de degrés supérieurs à un.

A, a -f- B, ï — . . . A, a -t- Ba ft 4- . . . A a -f- B ,1 ~- . . .

Lorsque a et rp tendent \ers zéro, de telle manière (pie le rapport - tende vers une limite déterminée /.. ces expressions tendent vers (t. I, n" 1"2G)

.. A,— B,X A,— IV >■ „ A — Il '/,

coordonnées d'un point qui, lorsque a varie, décrit une droite.