I. — ENVELOPPES DE COURBES DANS LE PLAN

"271 . FvMILLE DÉFINIE PAR UNE ÉQUATION IMPLICITE. Soit Une

famille de courbes (G), dépendant d'un paramètre variable x. On appelle enveloppe de cette famille une courbe (Et, à laquelle toutes les courbes < G) sont tangentes.

Nous allons démontrer l'existence de cette enveloppe et donner la règle qui permet de la trouver, en nous plaçant d'abord dans l'hypothèse où la famille des courbes (G) esl définie par une équation implicite

renfermant le paramètre variable x.

Soit M un point de contact de la courbe i Ca >. de paramètre y., avec l'enveloppe (E>. supposée existante. Les coordonnées X, 1 de ce point sont évidemment des fonctions de a. Elles vérifient identiquement L'équation

qui exprime que le point M est sur la courbe I Ga).

Q s'agit maintenant d'exprimer que les courbes (E et i Ca ) ont. en M, la même tangente. Les paramètres directeurs de la tangente

à i E i sont -j- j -ri'1' D'autre part, la tangrente à (Ca i a pouréqua- (loL an '

tion | n" 197 i

(3) — X /\ — ' y — Y |jfj = o,

(') Lorsque a varie. le point M i\. ^ | décrit, en effet, la courbe (E). On se trouve, dès lors, dans les conditions du n" 19?:

i II M'ITRE XIX.

où .r. y désignent les coordonnées courantes. Ces de\ix tangentes ayant déjà le point M commun, pour qu'elles se confondent.il faut et il suffit qu'elles aient la même direction, ce qui se traduit par

Le> fonctions inconnues X cl ^ sont donc assujetties à vérifier les conditions 2 et j el celles-là seulement. Il semble qu'elles soient. dès lors, définies par un système différentiel, puisque l'équation < j |

renferme les dérivées -r- et -r des fonctions inconnues. En réalité, il ay. aa

n'en e>t rien, car l'équation ( \ ) peut se simplifier, si Ton tient compte de l'équation (2). Dérivons, en effet, totalement cette dernière par rapport à a; nous avons (t. I, n° 130)

,, dX d\

Si l'on tient compte de (5), on voit immédiatement que. pour que l'équation l i soil vérifiée, il faut et il suffit que l'on ait

En définitive, les fonctions X et \ peinent être maintenant considérées comme définies par le système (2), 6). Xous pouvons, des lors, énoncer la règle suivante :

Piegle. — Les coordonnées du ou des points de contact de la courbe (Ca) avec son enveloppe sont définies par I équation proposée et V équation dérivée par rapport au paramètre a. Si Von résout le système'de ces deux équations par rapport à xet y, on a* les équations paramétriques de l'enveloppe. Si, au contraire, on élimine entre elles le paramètre a. on a l'équation implicite de V enveloppe 1 n" 58 1.

~2~~2. Remarque?. — I. Lorsque les courbes 1 G) sont des droites, on peut toujours calculer aisément les équations paramétriques de l'enveloppe. Le> équations | 2 ) et ( 6 1 sont, en effet, dans ce cas, du premier degré en \. ^ et il est facile de les résoudre.

THEORIE I>r:s ENVELOPPES. 201

II. L'élimination de a entre (2) ci (6) équivaut à exprimer que l'équation .(-2) a une racine double eu a (t. I. u° 228). Donc, pour /noir V équation implicite de Vénveloppe, il suffit d'exprimer que Véquation proposée a une racine double par rapport au paramètre variable.

Cette remarque esl particulièrement à utiliser, lorsque l'équation^) est du second degré en a <>u l>ien du troisième degré, sans terme en a- ou sans terme en a ( équation aux inverses).

On peut l'interpréter géométriquement de la manière suivante : Par tout point P du plan, on peut taire passer un certain nombre de courbes (C), dont les oç sont donnés par l'équation (1), où l'on regarde x et y comme les coordonnées de I*. Pour que le point I* appartienne à l'enveloppe, il faut cl il suffit (pie deux de ces courbes soient confondues.

C'est ainsi que, parmi les tangentes qu'on peut mener à une courbe par un de ses points, la tangente en ce point compte pour deux.

III. Lorsque l'équation (2) est algébrique en se, on peut la remplacer par l'équation dérivée par rapport à la variable d'homogénéité

(t. I, n°!227). Cela peut amener des simplification- soit dans la recherche des équations paramétriques, soit dans la recherche de l'équation implicite de l'enveloppe.

IV. Un cas assez fréquent et particulièrement simple est celui où l'équation donnée ne renferme a que par ses cosinus et sinus, et cela linéairement. Soit donc

.(7) A cosa -T- B sina = C.

les A, B. C étant des fonctions de x. y indépendantes de x.

Dérivons par rapport à y. :

(8) — A. siiia -+- B cosa = o.

Pour éliminer a, élevons au carré et ajoutons; il vient

273. Points limites. — Considérons deux courbes (Ci voisines,

de paramètres y. et xA-h. Ces deux courbes se coupent en an certain

nombre de points, déliais par le système

I in i f(*>y, * I = O,

tu) f{*,y, a — A) = o.

Supposons maintenant que, a étant fixe, h tende vers zéro. La courbe (Ga+^) tend vers la courbe (Ga). Quant aux points d'inlersection précédents, ils tendent, sur (Ca), vers certaines positions limites, (pion appelle les points limites ou points caractéristiques de cette courbe.

Pour les déterminer, il ne faut pas faire directement h = o dans l'équation (n), car elle se réduit alors à l'équation (10) et le système (10), (il) devient indéterminé. Pour lever cette indétermination, remplaçons l'équation {i i) par la suivante :

qui est une combinaison linéaire des deux précédentes. Si, maintenant, nous faisons tendre h vers zéro, l'équation (12) devient, à la limite,

(i3) fx(x, y, a) =0.

Les points limites sont donc définis par le système (10), (i3). On reconnaît le système \ 2 |, 1 6 1. Donc, les points limites de chaque courbe (C) coïncident avec les points de contact de cette courbe avec son enveloppe. On peut dire aussi que l enveloppe d'une famille de courbes à un paramètre est le lieu des points limites des différentes courbes de cette famille.

27 i. Solutions singulières. — Il convient, néanmoins, d'apporter quelques restrictions aux considérations qui précèdent.

Certains points limites peuvent, exceptionnellement, ne pas appartenir à l'enveloppe, si l'on définit cette courbe comme nous l'avons fait au n° 271.

Premier cas : La courbe (C) passe par un ou plusieurs points fixes. — Soit P un tel point. Il appartient, quels que soient a et //. à l'intersection des lignes (sCa) ci (Cy+/,). D'où il résulte qu'il fait partie des points limites de ( < la '• quel que soi! a.

THÉORIE DKS KN'VELOPPES. >83

Du reste, on peut le vérifier analytiquément, en observant que ses coordonnées X, Y vérifient identiquement (2) par hypothèse, et ( \), parce que les

.... dX d\ 11 m 11 1

dérivées -7- et -y- sont nulles. Mous savons, d autre part, que les equa-

ClOL CIX

tions (2), ( 1 i entraînent l'équation (6).

Le point P est donc, à coup sur, un point limite. Mais, comme il est fixe, il ne saurait engendrer aucune portion de l'enveloppe.

Lorsque cette circonstance se présente, on dit que l'enveloppe dégénère en un certain nombre de points, qui sont les points /ires, et en une certaine tourbe, qui est V enveloppe véritable, an sens du n° 271.

Il peut arriver que cette dernière n'existe pas, l'enveloppe étant tout entière dégénérée en points Jixes. Il en est ainsi lorsque les courbes proposées constituent un faisceau, soit

X étant une certaine fonction de a. Dans ce cas, en effet, deux courbes quelconques de la famille ont pour intersection les points de base du faisceau, c'est-à-dire les points communs aux deux courbes fixes o = o et <b = o. Il s'ensuit que les points limites se confondent eux aussi avec ces points de base, qui constituent, dès lors, l'enveloppe dégénérée (i).

275. Deuxième cas : Les courbes (G) présentent des points multiples. — Soit Q un tel point, que nous supposons variable avec a, pour ne pas retomber dans le cas précédent. \ous savons (n° 198) que ses coordonner» X et Y annulent f^ et J\. Elles satisfont donc à l'équation (4), en même temps qu'à l'équation (2). Elles vérifient, par suite, aussi l'équation (6). Le point Q doit donc être considéré comme un point limite (2)et la ligne qu'il décrit doit faire analytiquément partie de l'enveloppe. Mais, il n'y a aucune raison pour que cette ligne soit tangente à chaque courbe (G) au point Q correspondant. Cette portion de l'enveloppe analytique ne répond donc pas à la définition du n" 271 et doit être regardée comme une solution singulière, qu'il v a lieu de séparer de la véritable solution.

Celte séparation se fait d'elle-même quand on cherche l'enveloppe par ses équations paramétriques. Mais, il n'en est pas de même lorsqu'on détermine

(') Si l'on applique à l'équation (i4) la règle générale donnée plus haut (n° 271), on doit éliminer a entre (i'i) et l'équation dérivée

Cette dernière étant indépendante de 2. on est conduit à penser que l'élimination est toute faite et que (»4'J est l'équation de l'enveloppe. En réalité, si l'on tient

compte de (i) ).(ii) se réduit à 3 {x, y ) = o et l'on voit bien que les point- limites sont fixes et qu'il n'j a pas de véritable enveloppe. (a) Voir la Note (1) de la page suivante.

.'S t CHAPITRE XIX.

celle-ci par «on équation implicite, suivant la règle du n° 271. Il faut alors vérifier que cette équation se décompose, l'un des facteurs de décomposition étant le premier membre de l'équation du lieu du point Q. Ledit facteur doit d'ailleurs figurer au carré, si Q est seulement un point double (').

276. Applications de la théorie des points limites. — l>a théorie des points limites permet souvent d'introduire des considérations géométriques intéressantes dans la recherche des enveloppes. C'esl ainsi cpie, si l'on peut trouver une construction simple de ces points, on ramené la recherche de l'enveloppe à la recherche d'un lieu géométrique.

L'application aux enveloppes de courbes algébriques donne des renseignements qui sont quelquefois utiles. Supposons que la courbe variable (C ) soit algébrique et de degré //.

Deux courbes infiniment voisines se coupent en n- points (n° 46). Donc, sur chaque courbe (C), il v a n- points limites ( - ). Si l'on défalque les points fixes et les points multiples, on peut trouver le nombre de points suivant lesquels chaque courbe touche son enveloppe. C'est ainsi que, s'il v a n- — i points fixes ou multiples, il n'y a qu'un seul point de contact dont on peut, à coup sûr, calculer les coordonnées par des opérations rationnelles ( cf. n° 266 ). La recherche des équations paramétriques de l'enveloppe est doue toute indiquée, dans cette circonstance.