Enveloppes oe cercles. - La théorie des points limites

(') On peut se rendre compte géométriquement de ce fait, en considérant deux positions voisines du point Q, que nous supposons point double, pour fixer les idées. La branche i' coupe la branche i au point M.:, voisin de Q; la branche :>' coupe la branche i au point Mt, également voisin de Q. Lorsque Q' tend vers Q, il en est de même de M, et de M.,. On voit donc bien que 0 est un point limite. Il doit même compter pour deux, puisqu'il est la limite commune à deux des points d'intersection des courbes infiniment voisines (C) et (C).

(-) On le voit aussi, en observant que l'équation (i3) est, en général, de degré n, comme l'équation (i-o), puisque la dérivation par rapport à x n'affecte que les coefficients. Il peut arriver cependant que, dans cette opération, les termes de degré n disparaissent tous. .Mais, alors, c'est que leurs coefficients dans (io) étaient constants. Par suite, les n points à l'infini de (C) sont fixes et font partie des points limites. Ceci explique le fait qu'il n'y a plus, dans ce cas, que n(n — i) points limites à distance finie.

THEORIE DES ENVELOPPES. >* '

conduit à des résultats particulièrement élégants lorsqu'on l'applique à une famille de cercles.

Soil un cercle variable (C), donl Le centre 1 décrit une courbe (D) {fig- 27), à laquelle on consacre ordinaireménl !<•

nom de courbe déférente ou simplement déférente. Soil (C) le cercle voisin, de centre I . Les deux cercles ^e coupent en deux points \ et Y. symétriques par rapport à la ligne des centres II'. Lorsque (C) tend vers (C), 1' tend vers I, II' tend vers la tangente IT, N et N' tendent vers les deux points limites Al et AI ('). On peut, dès lors, énoncer la proposition suivante :

Théorème. — ■ C Inique cercle ( G) touche son enveloppe en deux points, qui sont symétriques peu- rapport à la tangente à la déférente au centre dudit cercle.

Cette propriété permet de construire l'un de ces deux points quand ou connaît l'autre. Ceci arrive, par exemple, quand on définit la famille dés cercles (G) par la déférente (D) et par une courbe (^S), à laquelle tous les cercles (G) sont assujettis à rester tangents. ( >n connaît le point de contact M de (G) avec (S 1. Le point M . qui s'en déduit, décrit une autre courbe 1 S' 1 qui, avec (S), constitue toute l'enveloppe.

Un autre cas très simple est celui où le cercle (G) passe par un point fixe O ( fig. 28). Ce point est alors un point limite (n° 274). L'autre est le point M, symétrique de O par rapport à la tangente IT. Son lieu constitue l'enveloppe du cercle. Or. ce lieu est bomothétrque

(') Les deux autres points limites sont les points cycliques.

28Ç cil IPITRE \l\.

du lieu du point A. projection de O sur IT. Dr là résulte l;i proposition suivante :

! héorème. — L'enveloppe d' un cercle variable, qui passe par un point fixe O, est homothétique de la podaire (n° ï21o) de la déférente par rapport à ce point, le rapport d'homothétie étant 2, le centre d'homothétie étant O.

Citons enfin le cas plus général où le cercle (C) est orthogonal à un cercle fixe. Si I' | fig. 27) désigne le centre de ce cercle, il appartient à l'axe radical NN' des deux cercles (C) et (C) (n° 173). A la limite, la droite MM' passe aussi par P. Il s'ensuit que, pour avoir les deux points de contact M, M', il suffit de jnendre l'intersection du cercle (G) avec la perpendiculaire abaissée de P sur la tangente à la déférente.

Le produit PM . PU' est constant et égal au carré du rayon du cercle fixe orthogonal aux cercles (C) (n° 170). Il en résulte que l'enveloppe est anallagmatique relativement à ce cercle fixe (n" 1:20 1.

278. Introduction de pauamètiîes surabondants- — De même que nous l'avons déjà expliqué à propos des lieux géométriques (n° 60), il est quelquefois commode, sinon indispensable, de substituer au paramètre unique a plusieurs paramètres liés par des relations. Imagiuons, par exemple, que la famille des courbes (C) soit représentée par l'équation générale

ii) f(x, y, a,, a2, x„ ) = o,

les n paramètres a; étant liés par les n — 1 relations indépendantes

■ zn-x(-j.x, y... ..... y.„ ) = o:

THEORIE DES ENVELQPPES.

de sorte, qu'en réalité, nous n'avons qu'un seul paramètre indépendant.

On peut toujours imaginer qu'on ail tiré, des relations (16 .

n — i des paramètres en fonction du //ien"', soit, pour fixer les idées, a,, a2, . . ., rJ-n—\ en fonction de y.n. En portant dans ( i5 |, ou n'a plus qu'un seul paramètre. a,,, et l'on est ramené au cas du n° 271. Dès lors, les points limites sont définis par l'équation (i5) et par celle qu'on en déduit en dérivant totalement par rapport à -/„. soit

Or, les dérivées inconnues

th. i <7 y..,

da,

sont déterminées

dy.„ dv.n dct„

par les équations (i6) dérivées totalement par rapport à a„, c'està-dire

,' efcpi doLi i)çi da, d<$\ dx„-\ O&i

i)xy dy.n ' ()i± dàt-n '"' àan-i da„ d*n

<9cp2 dxt <)zn (/y,,-i do*

( 1)7.1 dy.n

da,

dx,

ffon-\ dott

<>rn—l d'J.,,

<Hn-

ôxv din àxn—i dxu <)xn

d%\ dy.-i dy.„-

dxn dxn ' (t. I. n°291)

Kliminant —-> -j—> ••-> — ; — entre (in) et (10), nous avons d'J.n dxn dxn *