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Les points limites sont, en définitive, déterminés par le système (i5), (19). Pour avoir leur lieu, quand a,, a2, .... a„ varient en satisfaisant aux équations (16), il suffit d'éliminer ces paramètres entre les n -\- 1 équations (i5), (16) et (19). Si l'on observe que l'équation (19) résulte, si l'on veut, de l'élimination des différentielles (/a,, d-j.-,. .... doin entre les équations (ià) et (16) diflfé-
ï88 CHAPITRE MX.
rentiées totalemenl par rapport aux oc/, on peut énoncer la règle suivante :
Règle. — Pour «voir l'équation de l'enveloppe, on élimine les xi et leurs différentielles entre les n équations (i5) et (16) et celles quon en déduit /><tr différentiation totale par rapport aux y.;.
Examinons le cas assez fréquent où «=2. L'équation des courbes (G) est
avec
(21) tp( 2, . ï-, 1 = o.
L'équation (19) s'écrit, dans ce cas,
L'équation de l'enveloppe s'obtient en éliminant a,, a2 entre (20 1. l 2 1 1 et 1 22 i.
î27î'. Famille définie PAU des équations paramétriques. — ■ Supposons maintenant que la famille des courbes (G) soit définie par les équations paramétriques
Sur la courbe 1 G« ), le point de contact M a un certain paramètre t, qui est fonction de a. Si, dans 1 2 > ). on remplaçait t par cette fonction, on obtiendrait les équations paramétriques de l'enveloppe, le paramètre étant a. Les paramètres directeurs de la tangente à cette courbe sont donc
1 àt dy. âa ' dt d% ' <)% '
D'autre part, ceux de la tangente à (Ca) sont / - àf dg
Tt> ~t' puisque, le long de cette ligne, t seul varie.
THKOlUi: DES ENVELOPPES. 289
Exprimons maintenant que les deux tangentes coïncident, en écrivant la proportionnalité des paramètres directeurs (24) (,t (25); il vient, après une simplification évidente,
df âff
dt dt
ou
' d% dt <)y. dt
Cette équation nous définit la fonction de a par laquelle d faut remplacer t dans (23), pour avoir les équations paramétriques de l'enveloppe cherchée.
Observons, toutefois, qu'on peut tout aussi bien tirer, de (26), y. en fonction de t ou bien / et a en fonction d'un troisième paramètre 0. En portant dans (2'S >, on aura toujours les équations paramétriques de l'enveloppe.
Si l'on en voulait l'équation implicite, on éliminerait / et a entre (23) et (2(i |.
Remarque. — Les équations (23) peuvent, si l'on veut, être considérées comme définissant un système de coordonnées curvilignes dans le plan. Les courbes coordonnées (a = const.) ne sont autres que les courbes (C) proposées. Leur enveloppe est définie par l'équation (26), dans ledit système de coordonnées. Si l'on observe que, dans cette équation, les paramètres t et / jouent le même rôle, on en conclut que l'équation (26) définit aussi l'enveloppe des courbes (t = const.). En chaque point de cette enveloppe, les lignes coordonnées (a) et (t) sont tangentes, tandis qu'en tout autre point du plan, elles se coupent sous un angle non nul.
