II. — ENVELOPPES DE SURFACES
1280. Enveloppes a un paramètre. — Soit une famille de surfaces (S) définie par l'équation •
qui renferme un paramètre arbitraire 7.
On peut étendre ù cette famille la théorie des points limites exposée au n" 273. Les <\ru\ surfaces (Sa) et (Sa+/( '), de paramètres 7. et 7 h
Haao. — Cours, II. ni
se coupent suivant une certaine ligne qui, lorsque h tend vers zéro, tend, sur (Sa), vers une courbe limite (Ga), qu'on appelle la courbe caractéristique ou simplement la caractéristique de (Sa). En répétant le raisonnement du n° 273, on montre que cette courbe a pour équations l'équation i ■>- \ <i la suivante :
On appelle enveloppe des surfaces (S) le lieu des caractéristiques de toutes ces surfaces.
L'équation de cette enveloppe résulte de l'élimination du paramètre a entre (21-) et (28). On peut répéter à son sujet les remarques II, III, IV du n° 272.
Nous allons montrer qu'e//e est tangente à chaque surface (S), tout le long de la caractéristique correspondante .
En effet, soit M(a?, y, z) un point quelconque de (Ga). L'équation du plan tangent à (Sa) en ce point est (n° 204)
(a9) (X-x)fx + (Y-y)f>y + (Z-z)f>r = o.
D'autre part, soit F(.r, y% z) ce que devient /'(#, y, z, a), quand on y remplace a par sa valeur tirée de (28 V L'équation de l'enveloppe
est évidemment
F(.r, jk, z) = 0.
Celle du plan tangent en M à cette surface est <3o) {X-v)F'x + (Y-jr)F'y-ï(Z-z)F>z = o.
Or, on a (t. I, n° 130) (3i) F*-/Wi^> F'y=fy+f*%> *'Z^A+Ad£-
D'autre part, le point M se trouvant sur la caractéristique (Ca), ses coordonnées vérifient l'équation (28). Si l'on tient compte de ce fait, les formules (3i) nous donnent
P'x=A, Fr=/r5 F;=/i.
L'équation (3o) devient identique à (29) et la propriété est démontrée.
THÉORIE DES ENVELOPPES. V.91
Bien entendu, ce qui a été dit au n°278. ;'i propos de l'introduction de paramètres surabondants, s'applique au cas actuel.
281. Surfaces déveeoppabees et périspmerks. — Appliquons ce qui précède aux enveloppes de plans.
L'intersection de deux plans quelconques de la famille est une droite. Il en est donc de même de la caractéristique de chacun d'eux. L'enveloppe est engendrée par le déplacement d'une droite; c'est une surface réglée | n° 307 ). De plus, le plan tangent à cette surface est le même tout le long dune même génératrice, puisque c'est celui des plans proposés qui admet cette génératrice pour caractéristique. Lne telle surface porte le nom de surface développai) le i'i.
Considérons maintenant une famille de' sphères à un paramètre-. Le lieu de leurs centres est une courbe, que nous appellerons, comme au n° 277. la courbe déférente. Deux sphères i S ) et (S') de la famille, de centres I et F, se coupent suivant un cercle, qui admet pour axe la droite II'. Si (S') tend vers (S), ce cercle tend vers la caractéristique de (S). De plus. IL tend vers la tangente IT à la déférente. Donc, chaque sphère de la famille touche son enveloppe suivant un cercle, qui admet pour axe la tangente à la déférente au centre de cette sphère.
L'enveloppe est une surface cerclée et porte le nom de périsphère.
282. Enveloppes y deux parauetkes. — Soit une famille de surfaces | S > définie par l'équation
(ri) f(-*'>y, -• Zj P)= <»,
qui renferme deux paramètres arbitraires indépendants, y. et j.
On appelle enveloppe de cette famille une surface i E | tangente à toutes les surfaces S .
Soit -AI un point de contact de la surface (Sa,«) avec cette enveloppe Ses coordonnées i \, \ , Z) sont évidemment des fonctions
1 'a démontre que les surfaces développables sont les seules qui paissent être déformées sans déchirure ni daplicature, de manière â être appliquées sur un plan ou, comme on dit, <h''\eloppées.
de a. 3. Ces fonctions satisfon! identiquement à l'équation
D'autre part, l'équation du plan langent en M à | Safi) étant (a? - X )fx + < > - Y)/; -h (* - Z)fi = o,
pour que la surface (E), qui est le lieu de M quand a et rp varient, soit tangente à ( Sa>p), il faut et il suffit qu'on ait, quels que soient
dv. cl </j.
(34) fidX+fiidY+flidZ = o.
Comme au n° 271, cette équation se simplifie. Si l'on différentie totalement (33), on a
(35) A dX -/v d\ +/J dL +/a dy. -±-fpdï = o. Moyennant cette équation, (34) équivaut à
/a <& +/S rfp = O.
Comme ceci doit avoir lieu quels que soient o?a, <i,3, on en conclut cpie les fonctions X, Y, Z doivent, outre (33), vérifier
Le système (33), (36) suffit pour définir ces fonctions.
Si on le résout par rapport à X, Y, Z, on a les équations paramétriques de l'enveloppe. Si l'on élimine a, ,3, on en a, au contraire, V équation implicite.
283. Points limites. — On peut étendre aux enveloppes de surfaces à deux paramètres la théorie des points limites exposée au n° 273.
Considérons trois surfaces de la famille (S), (S'), (S") de paramètres (a. & ), (a-+-/i, 3 -+- k), (a -h A', p~hk'). Elles se coupent en un certain nombre de points définis par le système :
On appelle points limites de la surface ( S) la limite des points précédents quand h, k, li ' . /.' tendent vers zéro de manière quelconque. Pour les déter-
THÉORIE DES ENVELOPPES. '.aj
miner, développons (38) et (3o,) par la formule des accroissement- lini-. i t. I, n°13i); il vient, en tenant compte de (3? •
h fxi.r. y. z. ol~-01i. 3 — 0 k ) — /. ■/: l x . y. z , % — <)/,. p — 6 k I = o, h'f'^ ./'. v. z. y. — O'A'. p — 07.') -+- k'f'?(x, y. z. y. ■+- 07/'. S - 07,' , = o.
Divisons la première de ces équations par A, la seconde par h'\ puis, faisons tendre //. k. h', /.' vers zéro, en appelant À et À' les limites respectives
* k' V de — et — • .Nous obtenons
(40 t faix, y. s, x, ($)-+- X/p(a?, ^, z, a, ; » = o,
(40 /iO, r> -s. *rp) — ^'/p< r- J'- z. =-. >,' = o.
Si, comme il est légitime ('), nous supposons /.' = À, ce système équivaut à
(42) /aO, y, s, a, ,3.) = o, /^(.r, ,/, s, a, 3) = o.
Finalement, «os points limites sont définis par le système O7), (42). Us coïncident donc avec les points de contact de la surface (S) avec f enveloppe (E).
Il convient toutefois d'apporter quelques restrictions, analogues à celles du n° 27-4. C'est ainsi que, si la surface (Si passe par certains points fixes, ces points fixes font partie des points limites, mais ne sont pas des points de contact. Ils constituent une dégénérescence de l'enveloppe.
De même, les points multiples de (S), quand ils existent, sont de- points limites et engendrent une surface, qui fait analytiquement partie de l'enveloppe, mais constitue une solution singulière, qu'il convient de séparer de la solution véritable.
284. Introduction de paramètres surabondants. — Supposons que la famille des surfaces (S) soit définie par l'équation
les n paramètres a, étant liés par n — 2 relations distinctes
fi («li a2, «n) =0,
, ,, ) <pi («ii *2 *«) = o.
. ?«-i(«ii *» st«) — o.
(') Les équations (4o) et (40 doivent, en effet, être satisfaites quels que soient X et / '. puisque nous voulons que h, k, h', k' tendent vers zéro de manière quelconque.
Imaginons que l'on ait tiré de ces relations n — 2 des paramètres en fonction des deux autres, par exemple x3, av, . . ., %n en fonction de a] et de a2. En portant dans (43), on est ramené au cas précédemment traité. Les points limites sont alors déterminés par l'équation (43) et par la suivante
(4^) -f-dsti-h -^d*.2-+- -j— <fa34-...-t- -4— dan = o,
o%i dy, ax3 dy.n
qui doit être satisfaite quels que soient di^ et dt^. Or, dy.3, da^, . . ., dyn se calculent en différentiant (41)- En éliminant ces différentielles entre (45) et
(4o) d'^i = o, do* = o, ..., <i<p„.-2=o,
on obtient une équation linéaire et homogène en dxl, dy*. En annulant séparément les coefficients de d-Xy et de dy..2, on a deux équations qui définissent avec 1 43 l, les points limites. En éliminant entre elles, (43^et (44)) Ies n paramètres a,, on obtient l'équation de l'enveloppe. Appliquons ceci au cas où n = 3.
Soit la famille de surfaces définie par l'équation
les trois paramètres a, ,5, v ('-tant liés par la relation
Différentions ces deux équations, par rapport à a, jï>, v :
(49) Eliminons d*
—■ dy. -, ap H — ~ "V = o,
dy. d'6 ' c#y '
Y- rfa -t- -£ rf i -4- -f dy = o.
oa d'i dy '
djfd 1 djdy
dy. dy d
f d<f \ j I àf à? df dz \ 1Q
Cette équation doit être vérifiée quels que soient ch. et d$. Cela entraîne les deux suivantes :
dÂd-i — dA h. ~ d L h. dJ. 'h. -
dy. dy d-- dy.~~°' dj dy ~~ dy d[i ~ °'
THÉORIE DES ENVELOPPES. 29
qui peuvent s'écrire sous la forme plus symétrique
ra r> r;
L'équation de l'enveloppe résulte, en définitive, de l'élimination de a, [j. y entre ( i; ), (48) et (5o I.
28'i. Enveloppes de plans et de sphères. — Soit d'abord une famille de plans à deux paramètres. Trois plans quelconques" de la famille ont un seul point commun. Si deux de ces plans tendent vers le troisième (P), ce point commun tend vers l'unique point limite de (P). Chaque plan de la famille touche dune son enveloppe en un seul point . Ladite enveloppe est une surface quelconque non développable.
Soit maintenant une famille de sphères. Le lieu de leurs centres estime surface (D), qu'on appelle surface déférente . Soient trois sphères quelconques (S), (S), (S") de la famille, de centres respectifs I. I . [". Elles ont deux points communs N, N', symétriques par rapporl au plan HT'.
Supposons maintenant que (S') et (S") tendent vers (S). Les points I' cl 1 tendent vers I et le plan 111 tend vers le plan tangent en I à (D ). Quant aux deux points X et N'. ils tendent vers le> points limites M et M de i S ». De là résulte la proposition suivante :
Théorème. — Dans toute famille de sphères à deux paramètres, chaque sohère de la famille louche son enveloppe en deux points symétriques par rapport au plan tangent à la surface déférente au centre de cette sphère.
Si l'on connaît à l'avance l'un des deux points de contact, on en déduit l'autre par une construction immédiate. En particulier, si la sphère passe par un point fixe O, on démontre, en raisonnant rumine au n° 277, que V enveloppe est homothétique de la podaire de la déférente par rapport à O.
De même, si les sphères proposées sont orthogonales à une sphère fixe, de centre O, la corde de contact MM' est la perpendiculaire abaissée de O sur le plan tangent à la déférente. L'enveloppe est une surface anallagmatique (cf. n" i-25).
'ii)l) CHAPITRE \1\
