III. — ENVELOPPES DE COURBES DANS L'ESPACE

280. Coi HUIS DÉFINIES l'Ai! DEUX ÉQUATIONS IMPLICITES. — Soit la

famille de courbes < G) définie par les équations (5i) /(a?, y, z, a) = o, g{x, y, z, a) = o,

qui renferment le paramètre variable a. Proposons-nous de chercher une courbe (E) tangente à toutes les courbes (G).

Soit M un point de contact de la courbe ( Ca), de paramètre a. Les coordonnées X, Y, Z de ce point sont des fonctions de a, qui vérifient identiquement les équations (5i). On a donc, quel que soit a,

Exprimons maintenant que les deux lignes (E) et (Ca) sont tangentes. La tangente à (E ) a pour paramètres directeurs (n° ll)^)

dX d\ dZ (D3) 1iy Ih.' T*'

La tangente à (Ca) a pour équations (n° 20o)

5 j (x-K)f^(y-\)f^(z-Z)fz^o,

où x, )', ; représentent les coordonnées courantes.

Pour que ces deux tangentes coïncident, il suffit qu'elles aient la même direction, puisqu'elles ont déjà le point M commun. Ecrivons donc que la direction (53) est parallèle aux deux plans (54), nous avons les deux conditions

( ,, dX d\ ,,dZ

, dX , d\ t dZ

Si, maintenant, nous dérivons totalement, par rapport à a, les équations i 5 ■>. », nous voyons, comme au n° 271, (pie les conditions (55) équivalent aux suivantes :

THÉORIE DES ENVELOPPES

En définitive, les I rois fonctions inconnues \. Y, Z doivenl satisr faire identiquement aux quatre équations (62) el (56). I>'- 1 files fonctions n'existenl pas eu général. Donc :

Théorème. — I ne famille de courbes à un paramètre prise au

hasard dans l'espace ne possède, en général, pas d'enveloppe. Pour que cette enveloppe existe, dans le cas où la famille est définie par les équations (01), il faut et il suffit que les quatre équations (5i) et (56) soient compatibles en x, y, s, quel que soit a. Si cela est, la solution commune donne les coordonnées du point de contact en fonction de a et, par suite, les équations paramétriques de V enveloppe.

287. Signalons un cas où l'enveloppe existe toujours. C'est celui où la famille de courbes est constituée par les caractéristiques d'une famille de surfaces ci un paramètre.

Soit, en effet, la famille de surfaces définie par l'équation

Les caractéristiques de cette famille ont pour équations 1 équation (Sy ) et la suivante | n° 280)

Pour eette famille de courbes, les équations v5(5) deviennent

Les quatre équations (5^), (58), (5q), se réduisent, comme on le voit, aux trois suivantes :

Elles sont généralement compatibles en x, y, s, puisqu'il y a juste autant d'équations que d'inconnues. Il y a donc bien une enveloppe, dont on calculerait les équations paramétriques en résolvant le système (60) par rapport à x. y, z.

288. Enveloppes de oroites. — Appliquons ce qui précède aux enveloppes de droites. Soit la famille de droites définie par les

équation

\.r-h By + Cz-i- D = o.

où les coefficients A. B, . . ., D, sont des fonctions quelconques de oc. Dérivons, par rapport à a.

Pour que 1rs équations (fn) et ((b) soient compatibles en x, y, z, il faut et il suffit que Ton ait

Telle est la condition que doivent remplir les coefficients pour que nos droites aient une enveloppe.

2X9. Conformément au n°!287, cette condition est toujours remplie lorsqu'on a affaire aux caractéristiques d'une famille de plans à un paramètre, définie, par exemple, par la première équation (6i). Le point de contact est alors déterminé par le système

A x -+- B y -t- C z -T- D = o, A'a7-t-B'y-i-C'.3-!-D' = o, A" x -+- B"jk -4- C"z -+- D"= o.

En résolvant ce dernier par rapport à x, y, z, on a les équations paramétriques de l'enveloppe.

Si l'on se reporte au n° 281, on peut dire que les génératrices d'une surface développable ont toujours une enveloppe. Cette enveloppe est appelée arête de rebroussement de la surface (').

Théorème. — Le plan oscillateur en un point M de V arête de

(') Cette dénomination tient à ce que tout plan coupe la surface suivant une courbe admettant pour points de rebroussement les points de rencontre du plan avec l'arête.

Lorsque la développable est un cône, le point limite de chaque génératrice est le sommet du cône. L'arête de rebroussement est alors réduite à ce sommet. Ceci s'applique également aux cylindres, considérés comme des cônes de sommet à l'infini.

THÉORIE DES ENVELOPPES. '^l

rebroussement coïncide arec le plan tangent a ta surface . développahlr tout le long >le la génératrice tangente en M à I arête'.

Vous allons montrer, en elFet, que les fonctions .r, y, s, définies par (6 \ ». « 65 i et (66), vérifient identiquement Les équations

(67) \x' + \',y' -r-Cz' = ...

ce qui suffit pour démontrer Le théorème u" !22G |. Dérivons totalement (64) par rapport à y.,

\ ' x ■+- B'.y — C',2 — D'-f- Aj'+ Bj^'-r- Cs' = o.

En tenant compte de < 65 1, cette équation se réduit à \ 67 1. Dérivons maintenant totalement <>- .

Nous aurons démontré | 68 . si nous prouvons que l'on a

(69) V.r'-B>'+CV = o.

Or, dérivons totalement 1 65 t,

A ./■ -• l; c + Cî — D A ./•'— \\ y - Cz' = o.

Eu tenant compte de (66), cette équation se réduit à (69). Donc, le 1 héorème esl démont ré.

On peut aisément démontrer que, réciproquement, 1rs plans osculateurs d'une courbe gauche quelconque enveloppent une surface développable dont la courbe gauche est V arête de rebroussement.

En effet, admettons que l'équation (64) représente Le plan oscillateur au point \\[x.y. s), de paramétre x. < )n a. dans ce cas, Les identités (64)j (67) et (68). En dérivant totalement (64), par rapport à y., et tenant compte de 67 I, on obtient i <i.~> ). En dérivant 1 67 | et tenant compte de (68), <>n obtient (69). Enfin, en dérivant (65) et tenant compte de 1 69), on obtient (66). I^es coordonnées ./■. r. ; vérifianl à la fois 1 6 j |, 1 65 > et (66 1, Le point M décrit bien, quand x varie, L'arête de rebroussemeril de la développable enveloppée par le plan osculateur (64). c. ■.». 1 . d.

290. Courbes définies pab des équations paramétriques. — Soit

3oo CHAPITRE XIX. — THÉORIE DES ENVELOPPES.

maintenant la famille de courbes définie parles équations (70) x=f(t,y.), y = #(t,a.), z = k(t, a).

En raisonnant comme au n? 279, on voit que, s'il y a une enveloppe, le t du point de contact de la courbe (Ca) doit satisfaire aux égalités

Pour qu'il y ait une enveloppe, il faut et suffit que ces équations soienl compatibles par rapport à t, quel que soit ce. Si cela est, la solution commune constitue le t du point de contact. En portant dans ( -o 1, on a les équations paramétriques de l'enveloppe.

COORDONNÉES TANGENTIELLES .