I. — COORDONNÉES TANGENTIELLES DANS LE PLAN

291. COORDONNÉES d'une DROITE. — Jusqu'à présent, l'élément sur lequel nous avons fait reposer la Géométrie analytique a été le point. C'est lui qui nous a servi de point de départ et nous a permis d'édifier la théorie analytique des lignes et des surfaces, par la considération des diverses relations que l'on peut établir entre ses coordonnées. La Géométrie, envisagée de ce point de vue, porte le nom de Géométrie ponctuelle et les coordonnées correspondantes sont appelées coordonnées ponctuelles.

Mais, on peut, tout aussi bien, prendre comme élément générateur une ligne quelconque d'une nature déterminée, telle que la droite, le cercle, les coniques, etc., ou bien une surface, telle que le plan, la sphère, les quadriques, etc. Cela peut être commode pour l'étude de certaines questions, d'un genre particulier.

Nous ne pouvons entreprendre ici le développement de considérations aussi générales. Nous nous contenterons d'exposer, dans ce paragraphe, le point de vue qui consiste à prendre la droite comme élément générateur du plan et qui conduit à la Géométrie et aux coordonnées tangentielles.

292. Il '.s'agit d'abord de définir les coordonnées ri' une droite. Nous avons déjà donne mie telle définition au n" ()5. sous la dénomination de coordonnées normales. Mais ce ne sont pas celles dont nous voulons entreprendre ici l'élude systématique.

Soient deux axes de coordonnées quelconques Ox et Oy. Par rapport à ces axes, toute droite D a une équation de la tonne

(i) ux -+- vy -+- «' = o.

Nous appellerons coordonnées Jiomogènes de cette droite les coefficients u. e. w. Ce sont des coordonnées homogènes, en ce sens que, pour une droite donnée, elles ne sont évidemment définies qu'à un facteur près.

Par exemple, les coordonnées homogènes de l'axe des x sonl

< ii M'iriu: \\.

(o, r. o). ( 'elles de < ) y sonl de même i //. o, o) el celles de la droite de l'infini (o, <>. w). Les parallèles à O./' sonl caractérisées par la condition a = o et les parallèles à Or par la condition ^= o. Pour une droite isotrope, od doil avoir, eu Supposant les axes rectangulaires, // - •- iv = o ou bien u — iv — o.

La définition précédente convient, <<m^ modification aucune, aux coordonnées trilinéaires (Ghap. X i. Si, dans un tel système, la droite D a pour équation

( i ) u x -+■ vy + (cz = o,

les coefficients u, v, w sont ses coordonnées trilinéaires.

Par exemple, les cùtés du triangle de référence ont respectivement pour coordonnées (u, o, o), (o, v, o), (o, o, w).

Toute droite passant par le sommet A(i, o, o) est caractérisée par la condition u = o. De même, si elle passe par 15 ou C, on a v — o ou w — o.

!293. Equations tangentielles. — Proposons -nous maintenant

d' interpréter les équations que Von peut établir entre, les coordonnées que nous venons de définir.

Tout d'abord, il convient d'observer quune telle équation doil être homogène. Si. en effet, elle est vérifiée par les coordonnées .'/. r. w. elle doit l'être aussi, quel que soit X, par les coordonnées \u. ~/x. Air. qui conviennent à la même droite

Cela posé, soit l'équation homogène

Ci) fi u, c. w ) = o.

EHe établit une équation entre les deux paramètres indépendants donl dépend la droite D. Elle définit une famille de. droites, à un paramètre. Ces droites admettent une enveloppe (E). de sorte que l'on peut dire, tout aussi bien, que l'équation (3 l définit cette enveloppe dont elle est appelée l'équation tangentielle < cf. n" 207 ).

On peut se proposer de passer de celle équation tangentielle à l'équation ponctuelle de l'enveloppe i E). Pour cela, il suffit d'appliquer la méthode générale du n" 278.

Nous avons à chercher l'enveloppe de la droite i i ), sachant que ses coefficients sont liés par la relation (3). Nous pouvons toujours considérer, par exemple, w comme constanl . «le façon à ne plus avoir que deux paramètres non homogènes // el r Ijés par une relation. On

COOKDONNKKS TAXI I.VÏ I ELLES . 3o3

>ait alors que. pour avoir l'équation ponctuelle «I»' l'enveloppe, il faul éliminer u et v entre les équations (i), (3) et

On peut simplifier un peu les calculs et les rendre plus symétriques, m faisant la remarque suivante. La valeur commune des rapports | \< est égale, d'après une propriété élémentaire, au rapport

ux -+- v y

Or, d'après l'identité d'Euler (t. I, n° 134), on a, en appelant m le degré d'homogénéité uV/( u. r. w\.

<6) ufu -f- »•/;. - wf'w s mf( a, v, w ).

Si l'on lient compte de (3), ceci nous donne

D'autre part, d'après (î i. on peut écrire

ux -\- vy = — vp.

Dès lors, le rapport < 5 > devient égal à • "' = /l[..

On peut donc affirmer que les équations (i), (3 I, (4) entraînent les suivantes :

Réciproquement, si l'on a (8), chacune des équations (i) et (3)

entraîne l'autre. En effet, la valeur commune des rapports (8) peut

s'écrire

uf'u-+- vfi-r- wf'w mfi a. v, iv)

u.r -t- vy -+- w //.'■ --- vy — w

Si, comme nous le supposons, les rapports (8) ue sont ni nuls ni infinis ( '), ceci nous montre que chacune des quantités f (w, e. u •) el ux-\- <")'+ u" ne peut être nulle sans que L'autre le soit.

(') Ils ne peuvent évidemment être inlinis, car le dénominateur du dernier est i. Pour qu'ils soient nuls, il faudrait q u e f'H . f'%, et f^ le fussent. La droite I» correspondante serait alors une tangente singulière ( n° Î9

(IIMMTIII \\.

Finalement, pour obtenir l'équation ponctuelle cherchée, il suffil d'éliminer // el v <>n. ce qui çeviekil au même, à cause de I liomogéuéité, //. »•. w entre I 8 l el (i) ou fentre l >s i el i 3 i.

Introduisant, pour plu-- de symétrie dans Les formules, des coordonnées homogènes (ou trilînéaires) a . r. s, nous pouvons énoncer là règle suivante :

Règle. - Pour calculer V équation ponctuelle homogène de la courbe définie pur V équation tangentielle homogène (3). il suffit d'éliminer //, r. w entre les équations

& = â fk

et l' une ou F autre des équations i ■>. | et i 3 |.

Remarquons d'ailleurs que l'équation (2) sera généralement préférable à l'équation 1 3 1, comme étanl plus simple.

294. D'après (9), les coordonnées homogènes du point de contact de la droite D (//. r. w) sont f'u, /'„, f'w.

nu peul «-D déduire une méthode pour trouver 1rs points d'intersection de la courbe E 1 ;ivec une courbe quelconque, définie par son équation ponctuelle

çp ' .r, )', z ) = o.

Il «uflit de résoudre le système constitué par l'équation (3) et la suivante :

Y (fu,fi>,fw) = '»•

On obtient ainsi les coordonnées 'les tangentes à (E) aux points cherchés: d'où l'on peut déduire les coordonnées de ces points eux-mêmes, par l'application des formules 1 ;) |.

-1 ainsi qu'en coordonnées cartésiennes, on aura les points à l'infini, en combinant l'équation (3) avec f'w — o.

295. Courbes algébriques. Classe. — Nous savons déjà (n° 207) que toute courbe algébrique ;■ une équation tangentielle algébrique. Réciproquement, toute équation tangentielle algébrique définit une courbe algébrique. Cela résulte, en effet, de ce que les calculs qui conduisent à l'équation ponctuelle de cette courbe soni. d'après l.i règle précédente, tous algébriques el aboutissent, par conséquent, .1 une équation algébrique en ./ . r. ^.

COORDONNEES TANGBNTIBLLES.

On appelle classe d'une courbe algébrique le degré de son équa i mu tangentielle | cf. n° 212). C'esl aussi le nombre des tangentes û l,i courbe qu on peul mener par un poinl quelconque <!<■ son plan.

Z96. l'.'.'i \ HOU rANGENTIELLE Dl POIHT. toute <<>uihr dû

première classe a une équation tangentielle de La forme iio) \u-r- Be-h Ctv = o.

Or, une telle équation exprime simplement que la droite I > i u, » . w ) passe par le point P qui a pour coordonnées bomogénes l \.1>. (li. La courbe | E) dégénère (lune, dans ce cas, <"ii un point ( cf. n° -7 I | «i 1 on peul dire < | < i< - :

Théorème. Toute équation tangentielle du premier degré représente un point nu, ce qui revient au même, toute courbe de première classe est un point .

Réciproquement, toute droite qui passe par le poinl I' .< des coordonnées iini satisfont à L'équation | io). Donc, tout point est repn sente, en coordonnées tangentielles^par une équation du premier degré.

Signalons Les équations tangentielles * 1 « - quelques points remarquables du plan :

Origine : t%> <>.

l'oint à V infini dans la direction de paramètres directeurs a. b ■

[du - - bv = n.

Point à V infini sur < )./• : // = o.

Point à V infini sur Or : v = o (').

Points ••) cliques l en coordonnées rectangulaires) :

u ± iv = o ou u* -+- p> = o.

Théorème. Deux courbes algébriques, de classes m et pont mp tangentes communes.

(') En coordonnées trilinéaires, tes équations *u = <>. v — o, tv = o représentent les soumets \. B, C du triangle de référence.

Il wo. — Cour.<;. II.

3o6 CHAPITRE XX.

Les tangentes sont, en effet, déterminées par deux équations algébriques homogènes en //. r. w, <lc degrés respectifs m et p et auxquelles il suffit d'appliquer le théorème de Bezout (t. I, n° 238).

Si, en particulier, on prend p = i , on retrouve la propriété connue, d'après laquelle on peut mener m tangentes à une courbe de la //a"""' classe, par tout point de son plan.

Théorème. — Une. courbe algébrique de la m*èrne classe est, en général, de degré m (ni — j).

Coupons-la, en effet, par une droite quelconque. \ous avons à combiner l'équation (3) avec (n° 294).

Cette dernière étant de degré m — i, il y a ni i in — i) solutions.

Toutefois, il y a lieu d'observer que certaines de ces solutions peuvent ne pas convenir. Ce sont celles qui annulent à la fois f'u,fv, /'«,. Elles correspondent, comme on sait ( n" 299), aux tangentes multiples. S'il n'y a que des tangentes doubles et d'inflexion, on démontre la formule suivante :

o = mini — i ) — -xd — 3 /,

où o désigne le degré, d le nombre des tangentes doubles, /le nombre des tangentes d'inflexion.

297. Principe de dualité. — Le lecteur, s'il se reporte aux calculs développés au n° 207, ne manquera pas de remarquer l'analogie qu'ils présentent avec ceux du n° 293. On passe des premiers aux seconds, ainsi que des seconds aux premiers, par le simple échange des variables x, v, z (ou t) avec les variables «, p, w.

Observons aussi que, si la droite a une équation ponctuelle du premier degré, le point a, de son côté, une équation tangentielle du premier degré.

Une analogie semble donc se dessiner entre la géométrie ponctuelle et la géométrie tangentielle. En fait, cette analogie peut être poursuivie aussi loin qu'on le veut. On peut déduire analytiquement toute la géométrie tangentielle de la géométrie ponctuelle, par le simple ('-change, signalé plus haut, des variables x\ y, & avec les variables ru e, w. 11 suffit de savoir interpréter géométriquement ce! ('•change. 11 équivaut à une transformation importante, que nous retrouverons plus tard, mais dont nous allons néanmoins établir, dés maintenant, les propriétés fondamentales.

COORDONNÉES TANOENTIKU.ES. 3<>;

A tout point m { x. y. z l, oe l'ail correspondre la droite l)i u . p, w), définie par

(il) h = .r, v =J', (»• = 3.

£7 M décrit la droite D0(f/0, e0, cr0), on a

(12) u0x-+- tyr -H n-0z = o.

Or, ceci peut s'écrire, d'après (1 1),

(i3) xqu -+-j-0v-i-z<)(v= d,

ce qui exprime que /a droite D passe par le point fixe M0 <7«i correspond à D0.

Si l'on prend quatre points M,. M2, M3, M* sur l)0. leurs coordonnées sont de la forme (x + X/#', k + À, >-', r- + Xiz) (i = 1 , 2, 3, \ ). Celles des droites D,, D2, D:{. I)., correspondantes sont de la même forme, d'après (n). Il s'ensuit que les rapports an harmoniques (MIM2M3M4) et (D, D2D:{ D,) sont égaux, comme égaux tous deux à (À, La:1Àj).

Les deux propriétés précédentes suffisent pour caractériser notre transformation et en établir toutes les autres propriétés.

298. Imaginons, par exemple, que M décrive une certaine courbe (C) ; I) enveloppe alors une certaine courbe (E). Je dis que la tangente en M à (C) est la droite homologue du point de contact de D avec (E). En eiïet, prenons sur (G) le point M' voisin de M. Il lui correspond la droite D', tangente à (E). A la droite MM correspond le point P de rencontre de D et de l) . comme il résulte de la première des propriétés précédentes. Or, si M' tend vers M, .MM' tend vers la tangente MT en M à (Ci: d'autre part, D' tend vers l>et le point P tend vers le point de contact de I) avec | E (n°27o). Oe point de contact est donc bien l'homologue de la tangente MT.

Au reste, ceci n'est pas moins évident par le calcul. Soit, en effet,

l'équation ponctuelle de (C). L'équation tangent ielle de (E) est alors

3oS CHAPITRE XX.

Or, les coordonnées de la tangente en Ma (C) sont f,.fy./': (n° 197); d'autre pari, les coordonnées du point de contact de D avec (E) sont J „-J\ '•-/». (n° 294). Si l'on tient compte de (n). on voit bien que ce point de contact et celte tangente sont point et droite homologues.

Grâce à cette proposition, la relation entre les deux courbes (C) et (E) est réciproque. Si

(16) *(", f> «') = o est l'équation tangentielle de (C).

est l'équation ponctuelle de (E). Ceci résulte, d'ailleurs, aussi de la remarque faite au début du numéro précèdent.

Dans le cas où elles sont algébriques, le degré de chacune des deux courbes égale la classe de l'autre.

299. La correspondance dont nous venons d'exposer les propriétés fondamentales permet de déduire de n'importe quelle proposition une proposition nouvelle, qui est dite corrélative de la première. On obtient son énoncé et sa démonstration, en remplaçant, dans renonce et la démonstration de la proposition primitive, les droites par des points et les points par des droites, conformément aux principes généraux ci-dessus.

Analytiquement, à toute formule de géométrie ponctuelle ( ' ), correspond une formule de géométrie tangentielle. qu'on peut écrire immédiatement par le simple échange de x. r. s avec w, c, w.

C'est ainsi que de l'équation de la tangente en coordonnées ponctuelles (n° 197). on déduit F équation du point de contact en coor-

(') A vrai dire, cette transformation des formules ou des propositions ne conduit à des résultats d'interprétation simple que s'il s'agit de formules ou propositions ayant trait à des éléments projectifs. 11 ne saurait être question de propriétés métriques, puisque nos coordonnées peuvent être des coordonnées trilinéaires quelconques. Si l'on veut transformer p >r corrélation des propriétés métriques, il faut, au préalable, les traduire en langage projectif {cf. n° 164): à moins qu'on n'ait choisi des coordonnées particulières, telles que les coordonnées cartésiennes rectangulaires.

COORDONNÉES TANGENTIELLES. 3og

données tangentielles :

(i8) vfû -+- v /";, -+- w./;. = o,

qui résulte d'ailleurs aussi de ce qui a été vu au n" *29i.

De la théorie des points multiples (n° 198), on peut déduire la théorie des tangentes multiples. Une tangente est multiple d'ordre p, si elle compte pour/j parmi les tangentes issues d'un quelconque de ses points. Elle possède alors p points de contact, caractérisés par le fait que, parmi les tangentes issues de chacun d'eux, p -+- i sont confondues avec elles.

Analytiquement, une telle tangente se reconnaît à ce qu'elle annule les dérivées partielles de /(«, p, u'), jusqu'à l'ordre p exclusivement. L'équation -imultanée des/) points de contact s'écrit

Du théorème du n° 200, on déduit corrélativement le suivant :

Théorème. — Si les termes de moindre degré en u, v sont de degré p, soit i\'"' i'Op(u, v), le côté AB du triangle de référence est tangente multiple d'ordre p. L'équation simultanée des p points de contact est

Ceci s'applique, en particulier, si les coordonnées sont cartésiennes, à la droite de l'infini.

.300. A un point de rebroussement, correspond une tangente double, dont les deux points de contact sont confondus. On peut démontrer que cette tangente est, en général, une tangente d'inflexion. Voici par exemple, comment on peut raisonner.

Premier cas : Le point de rebrousse/tient est de première espèce ( n° 198). — Soient le point de rebroussement R et la tangente de rebroussement A (fîg. 29)

Fig-. 29.

Prenons, sur cette tangente, le point P, voisin de R. De ce point, on peut mener, outre PA, les deux tangentes voisines PB et PC, qui comprennent PA dans leur petit angle.

OIO CHAPITRE XX.

Dans la figure corrélative, le point R devient la droite r; la tangente A d.' vient le pointa; le point P devient la droite'/», voisine de r et passant par A. Les droites PB et PC deviennent les points b et c. En outre, comme on peut, par une rotation très petite autour de P. amener PB sur PC, en passant par l'A. on peut aussi, par un déplacement très petit sur />. amener /; sur c. en passant par a. Cela signifie que b et c sont, sur p, de part et d'autre de a.

Si l'on prend maintenant le point P sur le prolongement de AR. on ne peut plus mener les tangentes PB, PC. Donc, si l'on prend la droite p de l'autre côté de la droite r, par rapport à la position précédente, les points b et c n'existent plus.

De ces considérations, il résulte manifestement que le point « et la droite r sont, pour la courbe l'y), un point et une tangente d'inflexion.

Deuxième cas : Le point de rebrousse nient est de seconde espèce (n° 198 I. — Reprenons les notations et les raisonnements précédents, mais en examinant la figure >o. La droite PA est, cette fois, extérieure au petit angle formé par

Fi°r. 3o.

les droites PI! et PC. Donc, les points b et c sont du même côté de a. Il s'ensuit que la courbe I y) présente en a un point de rebroussement de seconde espèce.

En définitive, nous avons le théorème suivant :

Théorème. — La figure corrélative d'un point de rebroussement de première espèce est un point d'inflexion ; la figure corrélative d'un point de rebroussement de seconde espèce est un point de rebroussement de seconde espèce.

En géométrie tangentielle, le point de rebroussement est caractérisé par le fait que, parmi les tangentes qui en sont issues, il y en a trois de confondues avec la tangente de rebroussement. Cela résulte visiblement de la démonstration précédente, quand on suppose que P tend vers R, et cela correspond à une propriété caractéristique des tangentes d'inflexion (n° 219). On peut tirer de là une méthode de recherche des points de rebroussement, en coordonnées tangentielles.

La formule du n° 296 apparaît, en vertu du théorème ci-dessus, comme corrélative de la formule de Pllicker du n° 212. De même, en partant de la formule du n° 222. on voit que le nombre des rebroussements d'une courbe

COOKDONNÉES TA1CGENTI ELLES. '< ■ •

algébrique de classe m est 3 m (m — 2) — GiY — .S /. d désignant le nombre dès tangentes doubles et i le nombre des t tngentes d'inflexion.

La corrélation étroite, que nous venons de mettre en évidence, cuire l,i géométrie ponctuelle el la géométrie tangentielle, porte le nom de principe de dualité. Elle a été mise en relief, pour la première fois, par !<• géomètre français Chasles.