II. - COORDONNÉES TANGENTIELLES DANS LESPACE

301. Coordonnées d'un plan. La géométrie tangentielle de l'espace est obtenue en prenant le plan comme élément fondamental.

Si un plan I' a pour équation, en coordonnées liomogènes ou tétraé-

driques,

(21) ux ■+■ vy — wz-{-rt — of

les coefficients ". p, <r. r sonl appelés les coordonnées homogènes de ce plan.

Par exemple, les coordonnées desplansyOs, zOx el xOy sont respectivement («yO,o,o), (o,p,o,o . (oro, w-,0). Celles du plan de l'infini sont (0,0, o, /').

S'il s'agit de coordonnées tét'raédrîques, nous avons là les coordonnées de~ faces du tétraèdre de référence.

302. Equations tangentlelles. Pour la raison exposée au n" 293, toute équation établie entre //. r. w. r doil être homogène. Soit, par exemple,

(22.1 f(u,i\iv,r) = o.

Les Lrois paramètres dont dépend le plan P sont liés par une relation ; non- obtenons donc une famille de plans à deux paramètres. Ces plan- admettent une enveloppe (E), dont l'équation (22; est dite V équation tangentielle.

En appliquant la règle du n" 2K'i el raisonnant comme au n° 293. on établira la réglé suivante :

Règle. - L'équation ponctuelle qui correspond à l équation

3l2 CHAPITRE XX.

tangentielle (22) est obtenue en éliminant //, t\ o\ ;• entre les équations

f f f f f23) --^i = -LiL = J-S = *-L

et l'une ou l'autre des équations (21) et (22).

L'équation (ai) est généralement préférable, comme plus simple.

D'après (23), le point de contact du plan Pi //, c. w, r. 1 a pour coordonnées homogènes f„. fv, /„'.. /,..

L'enveloppe (IL) est, en général, une sur/ace non déceloppable. Mais, ce peut être aussi une courbe. On sait, en effet, qu'une courbe de l'espace possède, tout comme une surface, une équation tangentielle (n° 208). Quand il en est ainsi, on dit que Y enveloppe (E ) est dégénérée. On distingue ce cas du cas général par le fait que la règle énoncée ci-dessus conduit à deux équations en x, y. z. t, au lieu d'une, ou encore à ce que les cjuantités /,',, /■;. /;,,, f , .'., sont proportionnelles, quand on tient compte de (22), à quatre fonctions d'un seul paramètre.

Théorème. — ■ Toute équation qui ne renferme pas une des coordonnées représente une courbe plane, située dans une des faces du tétraèdre de référence.

Soit, par exemple, l'équation

La trace du plan P ( u, v, «•, /•) sur la face BCD du tétraèdre de référence a pour coordonnées, dans ce plan et par rapport au triangle BCD, c, <r. /. Dès lors, l'équation (24) exprime que cette trace est tangente à une certaine courbe (y) du plan BCD ou, ce qui revient au même, que le plan P est tangent à cette courbe. c. Q. F. D.

En coordonnées cartésiennes, une équation qui ne renferme pas u (ou c, ou <v) représente une courbe du plan des y, z (ou des z, x, ou des x, y). Une équation qui ne renferme pas r représente une courbe du plan de l'infini.

C'est ainsi qu'avec des axes rectangulaires, Yéquation

(25) bs + p1 + w* = o

représente le cercle imaginaire de l'infini (n° 181).

COORDONNÉES TANGENTIEIXES. 3l3

303. Equations tax;entieuli:s ni m: surface développAble;* — Donnons-nous maintenant deux équations tangentielles

(26) f(u, 0, w, r) = o, g(u, v, iv, r) = o.

Les plans P qui y satisfont ne dépendent plus que d'un seul paramètre. Ils enveloppent, en conséquence, une surface développable (S) (n° 281). Ce sont, d'ailleurs, les plans tangents communs aux deux surfaces ! ou courbes ) (S) et (S'), définies respectivement par la première et par la deuxième équation (26). De sorte que la développable (S) est circonscrite à la fois à (S) et à (S').

On obtiendrait son équation, en appliquant la méthode générale du n° 281 ou bien en essayant d'exprimer u, u, n\ r en fonction d'un paramètre et appliquant ensuite la règle du n° 280.

Dans le cas particulier où g. par exemple, est du premier degré, (S') se réduit à un point A (n°283). La développable (S) est alors le cône de sommet A, circonscrit à (S).

304. Surfaces et courbes algébhïques, Classe. — Toute équation tangentielle algébrique définit une surface non développable ou une courbe algébriques. Cela se justifie comme au n" 295.

Le degré de ladite équation se nomme la classe de la surface ou de la courbe. C'est aussi le nombre des plans tangents qu'on peut mener par une droite quelconque ( n" 213).

Une équation du premier de 2 ré.

1 27 ) A.BH-Bc + C«' + Dr = o]

représente un point, à savoir le point (A, B, C. D ).

Elle exprime, en effet, que ce point se trouve dans le planP^w, u,cv,r). Signalons les équations de quelques points remarquables :

Origine : /• = <>.

Points à V infini sur 0#, O y ou O z : u = o, v = o, w = o.

305. Deux équations algébriques représentent une développable algébrique. La classe de cette développa hic est, par définition, le nombre des plans tangents qu'on peut lui mener par un point quelconque de V espace. Si (A, B, G, D » sont les coordonnées de ce point, ces plans tangents sont déterminés par le système (26), (27).

3l l CHAPITRE XX.

Si /// et p sont les degrés respectifs de /et de g. le nombre des solutions de ce système est égal à mp, d'après le théorème de Bezout. Donc :

Théorème. — La classe de la développable circonscrite à deux surfaces algébriques de classes m et p est égale à mp.

En particulier, si/? = i, la seconde surface se réduit à un point et l'on voit que le cône circonscrit ci une surface algébrique à partir d'un point quelconque de l'espace est de la même classe que cette su/ face.

Deux équations du premier degré réprésentent une droite, à savoir la droite qui joint les deux points représentés par chacune des équations prise séparément.

306. Principe de dualité. — Le principe de dualité s'étend à l'espace. Il résulte analvtiquement de l'échange des coordonnées ponctuelles et tanyentielles.

Au point M(#, ) . s, / i. on fait correspondre le plan Pi ;/, c. u\ /■ i, défini par

(28) u = x, v=y, vp — * z, r — t.

En raisonnant comme au n" 297, on constate que si M décrit le plan P0, P pivote autour du point M0 homologue de ce plan. Supposons maintenant que M décrive la droite D, d'équations

(29) utlx -+- v0y 4- w0z -r - /•„ t = o, iii.r — vxy -+- wvz -f- i\t — o. Les coordonnées du plan P satisferont, conformément à (28), ù

■( 3o) x0u -k-y^v -\- ZqW -+■ }0r = o, xiu-\-ytv -+- S\w -+- tir = o.

Ceci exprime que P contient la droite IV. qui joint les points M-0(à?oj Jo5 Soj t0 ) et M,(#,, r,. zi: t\).

Si M décrit maintenant I) . P passe par une droite fixe D". Or. M„ et M, constituant deux positions particulières de AI. les deux plans (29) constituent deux positions particulières de 1'. Par suite, D* n'est autre que D.

Les droites D et D' sont donc telles que les plans homologues des points de chacune d'elles passent par Vautre.

On dit qu'elles sont conjuguées (cf. n" 436 l.

COORDONNEES TANGENTIELLES.

En raisonnant comme au n" 297, on montrera que le rapport enharmonique de quatre points en licite droite égale le rapport anharmonique des quatre plans homologues.

307. Imaginons maintenant que M décrive une surface (S). Le plan P dépend de deux paramètres et admet une enveloppe (E), qui est, a priori, une surface non développable ou une courbe. Au plan qui contient trois positions infiniment voisines de M, correspond le point d'intersection des trois plans P homologues. D'où il résulte qu'au plan tangent (FI) en M à i S t. correspond le point de contact u. de Pavec(E) <n°283).

Deux cas sont maintenant à distinguer.

Premier cas : La surface (S) n'est pas développable. — Le plan (II) dépend de deux paramètres; donc aussi le point ;jl. Par suite, Y enveloppe ( E) est une surface.

Deuxième cas : La suif ace (S ) est développable. — ■ Le plan (Il ) ne dépend plus que d'un seul paramètre; donc aussi le point <x.

Par suite, Y enveloppe (E) est une courbe (y).

Plus particulièrement, si (S) est un cône, de sommet c. tous les plans (H) passent par ce sommet. Les points ;j. sont, par suite, tous dans le plan homologue de <r.

La courbe ( y ) est plane.

Réciproquement, si M décrit une courbe. P enveloppe une développable. Gette développable est un cône, si la courbe est plane.

Analvtiquement, dans le premier cas, les équations ponctuelle et tangentielle de (E) se déduisent des équations tangentielle et ponctuelle de (S), par l'emploi des formules ( 28 ).

Le degré de chacune des deux surfaces égale la classe de l'autre.

Dans le second cas, l'équation tangentielle de (y) se déduit de l'équation ponctuelle de ( S ) et les deux équations ponctuelles de (y 1 se déduisent des deux équations tangentielles de (S), toujours par l'emploi des formules (28). Le degré et la classe de (S) égalent la classe et le degré de ( v).

D'une règle donnée au n° 37G, on déduit, par dualité, la suivante :

Tukorèmk. — Etant donnée la développable (2), définie par les deux équations tangentielles (26), on obtient l'équation tangentielle de sa