CHAPITRE XX. — COORDONNÉES TANGENTIELLES
section par la face ABC du tétraèdre de référence, en éliminant r entre les deux équations (26).
On peut appliquer maintenant ceci à la recherche de la section d'une surface (S) non développable par le même plan. 11 suffit de prendre, pour (2 l, la développable circonscrite à (S) tout le long de cette section, en observant que cette développable est définie par l'équation de (S), soit (22) et par/^ = o (cf. n° 29-4).
308. Comme en Géométrie plane, toute proposition possède sa corrélative. Tl en va de même pour les diverses formules de Géométrie analytique.
A la théorie des points mulliydes ( n° 206), correspond celle des pleins tangents multiples. Au cône des tangentes, correspond la courbe de contact. Le théorème du n° 206 (3°) donne, par dualité, le suivant :
Théorème. — Si les termes de moindre degré en u, c, w sont de degré p. soit rm-Pop(u,v,(v), la face ABC du tétraèdre de référence est plan tangent multiple d'ordre p. La courbe de contact . qui est de lapième classe a pour équation tangentielle '
( 3i ) op\ u. v. w | = o.
Ceci s'applique, en particulier, -i les coordonnées sont cartésiennes, au plan de l'infini.
309. Définitions. — Tout le monde possède, d'une manière plus ou moins vague, la notion de courbure. Pour ne citer qu'un exemple les cyclistes savent très bien apprécier la courbure d'un virage, pour l'avoir quelquefois appris à leurs dépens.
De cette notion vulgaire, il s'agit de tirer une notion précise, se traduisant par une définition mathématique.
On reconnaît pratiquement que la courbure d'une ligne est plus accentuée, à ce fait que l'orientation de sa tangente change plus rapidement, quand le point de contact décrit une longueur déterminée sur cette ligne. Ceci nous conduit assez naturellement à la définition suivante.
Soient, sur la courbe plane (C), les deux points M et M' et leurs tangentes MT et M' T. Ces deux tangentes font entre elles un certain angle s. appelé angle de contingence. Plus cet angle est grand, pour une longueur donnée de l'arc MM', plus la courbure dudit arc est accentuée. Dès lors, nous appellerons courbure moyenne de
l'arc MM' le quotient vrrn ' l'angle s étant évalué en radians.
J arc MM D
Imaginons maintenant que le point M' se rapproche indéfiniment du
point M. Les quantités t et arc MM' tendent toutes deux vers zéro;
mais, leur rapport tend, en général, vers une limite déterminée, qui
est appelée la courbure de la courbe (C) au point M.
Si l'on applique ces deux définitions à un cercle, on reconnaît immédiatement que la courbure moyenne d'un arc quelconque et la courbure en un point quelconque sont égales à l'inverse du rayon du cercle. Par analogie, on appelle rayon de courbure de la courbe (C) au point M V inverse de ta courbure précédemment définie.
On appelle cercle de courbure un cercle tangent en M à (C), ayant la même courbure que cette ligne au point considéré et situe
3x8 CHAPITRE XXI.
du même côté qu'elle, au voisinage de M, par rapport à la tangente MT. Son rayon est évidemment égal au rayon de courbure en M. Son centre est obtenu en portant sur la normale en M, à partir de M et vers la concavité de la courbe, une longueur égale au rayon de courbure; on l'appelle le centre de courbure.
310. Cotjrbi re algébrique. — L'étude de la courbure des courbes planes est considérablement facilitée par l'introduction du signe de cette courbure.
Imaginons que la courbe ( C) soit orientée, ainsi que le plan dans lequel elle est tracée. Soient MT et M'T' les demi-tangentes positives en M et en M'. Nous appellerons, cette fois, s l'angle algébrique in" 11)
(i) e = (.MT, M'T'J.
D'autre part, soit A s l'arc algébrique MM'. Xous appellerons
courbure algébrique au point M la limite du rapport — > quand
As tend vers zéro. Il est facile d'interpréter le signe de cette quantité. Menons, en M, la demi-normale positive MN, qui, par définition.
se déduit de MT par une rotation de -h- (n° 209). Si cette deminormale est dirigée vers la convexité de la courbe, on voit que s et As sont de signes contraires, — est négatif. Au contraire, si M^ esl dirigée vers la concavité, s et As sont de même signe. — est positif.
Finalement, la courbure algébrique est positive ou négative, suivant que la demi-normale positive est dirigée vers la concavité ou la convexité de la courbe.
Il y a deux cas où cet énoncé peut, a priori, sembler en défaut. Ce sont ceux où le point INI est un point d'inflexion ou un point de rebroussement . La concavité n'est, dans ebacun de ces cas, pas déterminée. Il en est, par suite, de même du signe de la courbure. Mais nous verrons (n° 319) que, précisément, la courbure est nulle dans le premier cas, et infinie dans le second. Il n'est donc pas étonnant qu'elle n'ait plus de signe.
L'inverse R. de la courbure algébrique sera appelé le rayon de courbure algébrique.
COURBURE DES COURBES PLANES. 3lQ
Théorème. — Si M, désigne le centre de courbure relatif au
point M, on a MM, = R, en mesurant le vecteur MM, suivant la demi-normale positive MN.
En effet, si R>o, MN est dirigée vers la concavité, c'est-à-dire
dans le sens de MM, (n° 309); done MM, >» o. Si, an contraire R <C o, MN est dirigée vers la convexité, c'est-à-dire dans le sens
opposé de MM, ; donc MM, << o. Dans les deux cas, R et MM, ont
le même signe. Ils ont, d'autre part, la même valeur absolue (n°309). Notre formule est donc exacte.
311. Formules relatives a la courbure. — Supposons la courbe (C) rapportée à deux axes de coordonnées rectangulaires Ox, Oy. Appelons x, y les coordonnées du point M. 5 son abscisse curviligne Mir (G) et a l'angle polaire de la demi-tangente positive MT.
Si l'on se reporte aux notations du numéro précédent, on a, d'après la formule de Chasles (n° 14), s = Aa. La courbure algébrique est
Aa donc la limite de — -> quand As tend vers zéro. Cette limite n'est
autre que la dérivée — -• On a donc la formule
*■ ds
dy.
Piappelons, d'autre part, les suivantes ( n° 196) :
.. dx dy
(5) — — =cosa, — • — sina.
ds ds
Los formules (2) et (3) sont les formules fondamentales, sur lesquelles repose toute la théorie de la courbure des courbes planes. Il importe de les connaître par cœur, sans aucune hésitation.
On peut immédiatement en déduire d'autres, qu'il est également bon de retenir ou, en tout cas, de savoir retrouver instantanément.
Tout d'abord, la comparaison des formules (2) et (3) nous donne
(4) dx = R cosa du., dy = R sina du.
Cherchons maintenant les coordonnées (#,, j't) du centre de cour-
bure. D'après le théorème du n° 310, nous avons
(5) r| = .T + Rcos(aH \, yx = y -+- R sin ( a -f- - )
ou
(6) a", — x — Rsinz, yx = y -+- Rcosa.
312. Développée. — O/î appelle développée dune courbe le lieu de ses centres de courbure.
Si l'on imagine x, y. R exprimés en fonction de a, les formules (6) constituent les équations paramétriques de la développée (G,) de la courbe (C). Cherchons la tangente en M, à cette développée. A cet effet, nous différentions les formules (6) :
dxi = dx -f- R cos y. dr — dR sin a, dyi — dy — R sin a dx •+- dR cos a
ou, en tenant compte de (4),
[ dx\ = — dPk. sin a = dR cos ( a -\ 1 >
f r/>i = û?R cos a = dR sin ( a -f- - j •
Ces formules nous montrent que l'angle polaire de la tangente
cherchée esl a -f- -• Donc, cette tangente n'est autre que la normale
M, M à (C). Il suit de là que la développée d'une courbe est aussi V enveloppe de ses normales. Le centre de courbure M, est le point limite de la normale (n° 273), c'est-à-dire la limite vers laquelle tend le point de rencontre de cette normale avec la normale en M', quand M' tend vers M.
313. Cette nouvelle propriété du centre de courbure est d'un emploi très commode pour la recherche du centre de courbure d'une courbe définie d'une manière quelconque et dont on ne veut calculer ni l'arc 5, ni l'angle polaire a de la tangente.
Supposons, par exemple, que la courbe (C) soit définie par de> équations paramétriques quelconques, c'est-à-dire que x et y soient exprimés en fonction d'un paramètre t quelconque. Ecrivons l'équa-
lion de la normale en M | n° 209) (S) (X — x)x'-h(Y—y)y=o.
Diflerentions par rapport à t :
Les Jeux équations (8), (9), en X, \, définissent le point limite de la normale (n" 273). c'est-à-dire le centre de courbure M,. En v remplaçant X par a?t, \ par yK et résolvant ensuite par rapport à jc{ — x et yK — y. on obtient les formules
y'(x'- — r'-) x'ix'^-h y'-)
,I0) Xi = x — , „ -, — -, V] = y-i : — 7. '-j—t, '
Ces formules peuvent être quelquefois d'un emploi commode. Mais, elles sont assez difficiles à retenir exactement et il nous semble préférable, lorsqu'on ne peut utiliser pratiquement les formules (6), décrire l'équation de la normale et de répéter, sur chaque cas particulier, les calcul- (pie nous venons de faire.
Des formule- I 10), on peut déduire le rayon de courbure absolu. On a
{x'y" — y'x f- Cr'2-f- r'- 1-
Cette formule esl seulement à utiliser pour la recherche de la valeur absolue du rayon de courbure et quand on ne possède pas déjà les éléments s et a. qui figurent dans la formule (2). Mais, son emploi est peu commode et souvent néfaste, dans toute question où doit intervenir la courbure algébrique. Elle peut donner lieu à des fautes de signe, en particulier, lorsqu'on cherche non seulement le rayon de courbure, mais aussi le centre de courbure. Elle rend très souvent impraticable la solution de certaines questions, qui sont, au contraire, très simples, lorsqu'on utilise la formule (2). Ceci - applique, en particulier, aux problèmes qui consistent à rechercher les courbes sati-faisant, relativement à leur courbure, à certainepropriétés imposées à l'avance [cf. n" 348).
Si l'on a affaire à une courbe définie par une équation de la forme Haag. — Cours, II. M
CH \l'lï KE XXI.
y =y(#), il suffil de supposer x = t, dans les formules (10) el i i i \. Elles dc\ iennenl alors
Ce que nous venons de dire, relativement à l'emploi des formules (10) et (ii), s'applique aux formules (i 2) et (i3). En particulier, nous ne saurions trop recommander au lecteur de ne pas attacher une importuna- exagérée à la formule (i3), qui doit s'effacer devant la formule (2) (').
314. Longueur de la développée. — Les formules (7) mettenl en évidence une autre propriété très élégante <le la développée. Orientons celle courbe de telle manière que la demi-tangente positive
m Al, ait le sens de la demi-normale positive MN, d'angle polairea-f-- • Si nous appelons st l'abscisse curviligne de M( sur la
(') Si nous insistons de la sorte, ce n'est point que la formule (i3) nous inspire une aversion irraisonnée. Mais, nous avons eu, à maintes reprises, l'occasion de nous rendre compte du rùle néfaste qu'elle a joué jusqu'à présent, dans l'enseignement de la courbure. Elle constitue, pour bien des élèves, la base de toute recberche relative ii cette si intéressante théorie et contribue à leur donner l'impression que cette dernière nécessite toujours des calculs pénibles et inélégants. Que de fois n'avons-nous pas entendu din- : « La courbure, c'est difficile! », à des élèves qui savaient par «œur la formule (i3), mais ignoraient la formule (2) ou la considéraient comme d'une importance négligeable. Quand on part d'une formule inélégante, on arrive toujours, li moins d'être nn artiste, à des résultats inélégants, quand on obtient des résultats.
( mi mil HE !>KS COURBES PLANI -.
développée, nous avons, en comparant les formules I 3 i el ~ i,
( i i) dsx = d\\
s, = R -+- const.
On en déduil immédiatement la mesure algébrique <l un arc quelconque de la dé> eloppée. On a, par exemple (/*©"• 3 1),
, ni. M, M, =s\ — sl= R — FI = ,M' M , — MM,,
ce qui <<: traduil par] énoncé suivant :
Théorème. — - J.<i mesure algébrique d'un arc (M, M' - de la développée d'une courbe (G) égale V accroissement algébrique du rayon de courbure algébrique de cette dernière, </ti<in<l le centre de courbure correspondant passe de M, à M,.
315. Ce théorème permet de calculer, sans quadrature, la longueur de tout arc de développée. Il convient seulement, pour l'appliquer correctement, d'observer avec soin les signes des arcs et rayons de courbure. Faute de prendre toutes les précautions nécessaires, on peut être conduit quelquefois à des résultats tout à fait paradoxaux. Imaginons, pai exemple, qu'aux deux points M et M fig. ta . les rayons île courbure l'« el R' soient égaux eh
Kir. :;•.
grandeur ci en signe. < m peut être tenté d'en conclure que la longueur «le l'arc tle développée compris entre les point- M, et M, esi nulle, ce qui e$l manifestement absurde. En réalité, c'est la mesure algébrique M|M, qui est nulle. Ceci prouve que si l'on décrit cet arc, de M\ vers M,, on parcourt une certaine longueur dans le sens positif et nue certaine longueur dans le sens négatif. Donc, à un moment donné, on rebrousse chemin. ' loin me <>u ne r<\ ient pas sur mi arc déjà décrit, on traverse nécessairement un point de rebrous-
?ement M','. Du reste, ceci résulte aussi (n"s 316 et 319) de ce que le rayon de courbure de (C) passe, entre M et IW', par un maximum ou un minimum (sur la figure '}?., par un maximum), puisqu'il revient, en M', à la valeur initiale qu'il avait en M.
Dès lors, la longueur / de l'arc de développée compris entre Mj et M', s'évaluera de la manière suivante. On a
/ = m, m; •+- m", M', = MtM'; — m; m\ = ir— r — (iv— r*)
on. puisque R = R'.
Des précautions analogues doivent être prises toutes les fois que, sur l'arc de développée dont on cherche la longueur, se trouvent un ou plusieurs point? de rebroussement.
316. Développées successives. — L'angle polaire de la demi-tangente positive en Mj à (Ci) étant Kj = a ■+- -> le rayon de courbure en ce point est, en tenant compte de (i {),
(,n\ R - dsi - dK
Le centre de courbure correspondant est le point M> (Jig. 3i), tel que
MiM2=Ri, suivant la demi-droite MiNj, d'angle polaire a|-j — = a -Kir.
Il décrit la développée ( C2 ) de (Ci) ou, comme on dit quelquefois, la développée seconde de (C ).
r i I l //~i x r» d\\\ dR\ d2R ..
Le rayon de courbure de i Lo ) est R* = —, — = — ; — = -= — : il est mesure
dy.i dv. d'x-
suivant la demi-droite d'angle polaire y. -\ -• Un peut continuer ainsi indéfiniment et obtenir les développées successives de la courbe initiale (C). On trouve que la développée nieme a pour rayon de courbure R„ = ; mesure
suivant la demi-droite d'angle polaire a -+- (n -+- 0 — •
Remarque. — La formule (17 ) nous apprend que Rt s'annule, quand R passe par un maximum ou un minimum. Si l'on se reporte au n° 319, on eu déduit le théorème suivant :
Théorème. — Lorsque le rayon de courbure d'une courbe plane passe par un maximum ou un minimum, le centre de courbure correspondant est un point de rebroussement sur la développée.
317. Développantes. — Les propriétés découvertes au n° 311 donnent une solution immédiate du problème suivànl :
Trouver toutes les courbes qui admettent pour développée une courbe donnée.
Soient (C) la courbe donnée el (y) une des courbes cherchées (fig. 33). La tangente en M à (G) est normale en u. à (y). Si nous
Fig. 33.
orientons (C) d'une manière quelconque et si nous appelons s l'abscisse curviligne de M, nous avons, d'après (i5),
s = [j.M -+- const.,
le vecteur uM étant mesuré suivant la demi-tangente positive MT. Nous pouvons d'ailleurs supprimer la constante, en choisissant convenablement l'origine des arcs u.0. Nous avons alors
(18) Âni = s.
On conclut de là c[u on obtient une des courbes cherchées en
portant, sur chaque tangente MT, un vecteur Mu, avant pour mesure algébrique — s, suivant la demi-tangente positive. Le point u. décrit cette courbe, quand M décrit la proposée. En changeant Vorigine des arcs sur cette dernière, on obtient toutes les courbes demandées.
Ces courbes, en nombre infini, portent le nom de développantes de la courbe (C). Leur détermination est. comme on le voit, subordonnée à la rectification de (G).
De lune d'elles (y), on peut déduire toutes les autres, en portant, sur chaque normale à (v), une longueur constante u.u' = /. On a, en effet,
En faisant varier /, on a toutes les développées.
Les deux courbes (y) el (y7) sont dites parallèles. Dans le cas particulier où la courbe (C) se réduit à un point 1'. on a s = o et 1 on peut énoncer le théorème suivant :
Théorème. — Toute courbe plane dont les normales passent par un point fixe P est un cercle de centre P.
Description mécanique des développantes. — Imaginons un fil. d'une certaine longueur )., enroulé sur la courbe < C) et fixé, par une de ses extrémités, à cette courbe. L'autre extrémité est libre et se trouve primitivement m <j.0. Déroulons notre fil, en le maintenant tendu. A chaque instant, la portion déroulée Ma a évidemment même longueur que Tare de courbe Mp.0 qu'elle recouvrait précédemment. Dès lors, si l'on oriente la courbe (G) dans le sens du déroulement, on a
M [j. == M ;jl0 = — s .
Le point tu décrit donc la développante (y) et il suffit de fixer la pointe d'un crayon à l'extrémité libre du fil pour obtenir le tracé de cette courbe.
En faisant varier la longueur du fil ou son point d'attache avec (C), on a toutes les développantes.
Remarque. -- La courbe (y) est normale, en ul0, à (C). Ce point est, sur (y), un point de rebroussement, car le rayon de courburecorrespondant est nid i n" 319). L'autre branche du rebroussement >erait obtenue en' donnant à s des valeurs négatives.
318. Cercle osci r.ATELTt. — Reprenons la courbe (C) du n°3ll. Considérons un de ses points M0 et les cercles qui lui sont tangenten ce point. Cherchons, parmi ces cercles, ceux qui ont, avec la courbe, un contact du second ordre
Afin de simplifier les calculs, prenons le point M„ pour origine des coordonnées, la demi-tangente positive en ce point pour axe des x et la demi-normale positive pour axe des y. Tout cercle (Y), tangent en O à la courbe, a une équation de la forme
(19) .rs-r-jr2— -ït.y = o.
Imaginons, d'autre part, que les coordonnées #, y d'un point M
quelconque de (C) aient été exprimées en fonction de l'angle polaire a de la demi-tangente positive eu ce point. Si. dans i 19), on remplace x el y par ces expressions, on obtient l'équation aux a des points de rencontre de (C) et de (T). Il s'agit de déterminera pour que cette équation ait une racine triple nulle.
Lu valeur a = o est déjà racine simple, car. pour a = o, x et r sont nuls, d'après les hypothèses laites plus haut. Ecrivons maintenant qu'elle est racine double, en annulant la dérivée totale par rapport à a :
xx'-^yy' — X/ = o
01, en tenant compte de I \ l,
(2>) . x cosa — y sin a — ). sina = o.
Celle équation est encore vérifiée identiquement pour a = o. comme il fallait du reste s'y attendre, puisque, quel que soit A, le cercle (F) est tangent à (G).
Ecrivons enfin que a = o est racine triple, en annulant la dériver seconde, c'est-à-dire en dérivant l'équation ( 20 ) :
x' cosa -4- y' sin y. — x sin a 4- y cosa — À cosa = 0 OU, eu tenant compte de ( \ i,
R — x sin y. -h y cosa — X cosa = o.
Si, dans cette équation. Ton fait a = o, il vient
De là, résulte la proposition suivante :
Théorème. — En chaque point de toute courbe plane, it existe un seul cercle ayant, avec la courbe, un contact du second ordre. Ce cercle n'est autre que le cercle de courbure qui, pour cette raison, est aussi appelé cercle oscillateur.
Ce théorème fournit un moyen indirect quelquefois commode de déterminer le centre et le rayon de courbure d'une courbe plane. On cherche le cercle oscillateur, en exprimant qu'il coupe la courbe en trois points confondus. Ce procédé sera utilisé, en particulier, pour les coniques (n° 532).
3?.s chapitre xxi.
319. Rayon de couubure ex ex poixt d'inflexion ou de rebroussement. — i° Point d'inflexion. — Ed un tel point, l'angle polaire flt <lc la tangente passe par un maximum ou par un minimum. Donc. la
dérivée — est nulle. D'où il résulte que le rayon de courbure est ds
infini. Ceci peut d'ailleurs se voir aussi sur les formules (i i) ou 1 13 I, dont les dénominateurs sont nuls (n° 221). Enfin, on peul observer que la tangente, ayant un contact du second ordre avec la courbe, doit être considérée comme le cercle oscillateur, dont le rayon est dès lors infini.
2° Point de rebroussement. — Soit le point de rebroussement R (fig. \\ ). Supposons, pour fixer les idées, que la demi-tangente positive en ce point
Fig. 3^.
soit RT. Les sens positifs sur les deux branches du rebroussement sont, en conséquence, les sens indiqués par les deux flèches.
Gela posé, appelons «jij *M', *r les abscisses curvilignes des points M, M', R. On a
5|; — sm = AIR > O, sn — *1T = M'R > <>.
L'abscisse curviligne de R est donc plus grande que celles des points voisin?; elle constitue un maximum de s. considérée comme fonction de l'angle polaire /.
ds Dès lors, la dérivée — est nulle au point R. Autrement dit, le rayon de dx
courbure en un point de rebroussement est nul.
On peut donner, de cette proposition, une démonstration plus analytique, basée sur la formule m). On sait que, si la représentation paramétrique de la courbe est convenablement choisie, les dérivées x' et y' s'annulent toute* deux pour la valeur t0, qui correspond au point R i n" 202). Soient, d'autre part, a et b les cosinus directeurs de la tangente au point de paramètre t. On a
(21) x' — pa, y' = pô :
la fonction p devenant nulle pour t — t„.
Dérivons les formules (11) par rapport à t : (•23) V= pa'-t-p'a, y"— pb'-j-p'b.
Portons enfin i 21 1 et 1 2 3 1 dans (in; il vient, en tenant compte de (22),
(24) I rt 1 = ?.. ., ! . ,.♦
v ^ ' ' I a 0 — va \
On voit bien que, pour ( = f0, cette quantité s'annule (*).
320. Courbure déduite de l'équation normale de la tangente. Imaginons que la courbe (G) soit l'envelpppe de la droite (D), définie par l'équation normale < n° 60)
{20) r costp -\-y sins = />,
où /> désigne une certaine fonction de- .;.
Le point de contact M est défini par l'équation (20) et par l'équation dérivée
< -2.G ) — a: sino -+- / coso = />'.
Or, l'équation (26) représente une droite (D,) perpendiculaire à (D). Comme cette droite passe en outre par M, ce n'est autre que la normale en ce point. Elle enveloppe la développée (C,) de (C). Pour avoir son point de contact, c'est-à-dire le centre de courbure M< de (C), il suffit de dériver une nouvelle fois :
{•27) — rcos'j — y si 11 o =/>".
Les équations (26) et ( •■>- 1 définissent les coordonnées de Mf ; il serait facile de les calculer. A,ous préférons faire les remarques
-ni van tes :
L'équation (27 1 représente la droite (D2 ) menée, par M,, parallèlement à ( D). Or, si l'on mène la perpendiculaire O A à ( D ) ( fig. 35 » et >i on l'oriente par l'angle polaire o, on sait que ( n° 60)
ÔP = />, ÔP7=— p".
(') A condition toutefois que ab' — ba ne s'annule pas. Ceci n'arriverait que si le coefficient angulaire de la tangente passait par un maximum ou un minimum. c'est-à-dire si l'on avait un rebrousse ment de seconde espèce. Il y aurait alors indétermination. Mais nous ne pouvons insister davantage sur ce sujet.
I Vautre pari, on
MM, = PP2 = OP2 — QP = —p" — p = — (P + />" >•
On voit donc que si l'on définit la demi-normale positive à la courbe (G) par l'angle polaire tp, le rayon de courbure algébrique de cette courbe est — (/?+/?')•
Fi?. 35.
C'est là une proposition fort élégante, qui permet de résoudre rapidement bien des questions relatives a la courbure.
Remarque. - La droite (D2) enveloppe la développée seconde d<- (C). En continuant les dérivations, on obtiendrait les développées successives. D'une façon générale la développée /j"1"1'' est l'enveloppe de la droite (Dn), d'équation
U-r-n^J +âysm(ç-T-n^j = p " .
321. Colrisure en COORDONNÉES polaires. — Soient r et 0 les coordonnées polaires du point M de la courbe i C >. L'angle polaire y. de la demi-tangente positive est définie par les formules i n" 252)
a= 0+Y, dr = ds cos V . r rfO = cfc sin V.
' Le rayon de courbure algébrique est ensuite donné par la formule (a), qui
devient
ds
t3i) K=dôTdv'
Les formules | 3o) et | 3i) sortf /es formules fondamentales de la courburei en coordonnées polaires.
covnBuiu: iu-s coubbes planes.
On pourrait en éliminer s et V, de manière à obtenir le rayon de courbur
en fonction des seules variables /• et 0 et des dérivées —, ~ lcf
M dfc KJ' résolu n° 7). Mais la formule ù laquelle on arriverait est compliquée et san grand intérêt. Mieux vaut la remplacer par les trois formules simples ( 3o et (h).
e exercice
COIT.BI'RI-: DES COURBES (lAUCHES.
3^. Indicatrice des tangewïes ; courbure. — Ce que nous avons dit au n° 309 pour les courbes planes peut se répéter pour les courbes gauches. Etant donné un are MM' d'une telle courbe, les tangentes m M et M' font un angle e, appelé angle de contingence. Le rapport
-rrrr, est appelé courbure moyenne dudit arc et la limite de ce
arc .M M ri J
rapport, lorsque M' tend vers M, est la courbure au point M.
De même que pour les courbes planes, il est indispensable, pour
la simplicité et l'élégance de la théorie, d'introduire la courbure
algébrique. A cet effet, nous commençons par orienter notre courbe
d'une manière quelconque. Soient s l'abscisse curviligne du point M
et MT la demi-tangente positive en ce point i fig. 36). Par le point
Fig.
fixe O. memms la demi-droite Ou, parallèle à MT el de même sens ei prenons son intersection u. avec la sphère (S), de centre O et de rayon i ('). Lorsque M décrit ( C >. \j. décrit une courbe sphérique
( ' ) Ce point (i n'est autre que le point directeur de la demi-droite MT (n° 24).
qui est appelée Y indicatrice des tangentes ou première indicatrice de la courbe (C). Orientons cette indicatrice dans un sens arbîl paire. Soit alors <r l'abscisse curviligne du point il. Nous appellerons rayon de courbure algébrique de la courbe (G), au point M, la quantité
La courbure algébrique est, par définition, 77 = -r— 11 esl facile
0 ' ' ' K ds
de vérifier que >a valeur absolue n'es! autre que la courbure telle qu elle a clé définie plus haut, au moyen de l'angle de contingence. En effet, prenons, sur (C). le point 31,, infiniment voisin de M el d'abscisse curviligne .s- + As. 11 lui correspond, sur l'indicatrice, le point y.i: infiniment voisin de u. et d'abscisste curviligne (T-f-Ac L'angle de contingence 1 relatif à l'are MM, est évidemment égal à l'angle u.Ou.( ou encore à la longueur de l'arc de grand cercle tracé sur (S) entre y. et u.t. Or, cet arc est un infiniment petit équivalent à I are u.ULt de l'indicatrice, suit | At|. car ces deux arcs sont des infiniment petits équivalents à la corde u.u.t (t. [, n° 172). Dès loi-, le
rapport ., , a même limite que le rapport — . Cette limite esl
1 ! arc i\l M, ! ri
doue
Remarque. — Si la courbe (G) est plane, l'indicatrice (y) est un grand cercle ; l'abscisse curviligne 7 n'est autre que l'angle polaire a de la demi-tangente MT : on retombe, dès lors, sur la définition d^i n° 310.
323. Normale principale : centre, cercle et axe de courbure ;
binobmale; torsioiv. — Menons la demi-tangente positive u.9 à la
courbe (y). Elle est située dans le plan tangent en 'J. à la sphère (S);
(die est donc perpendiculaire à Oy. et. par suite, à AIT. Si nous
menons maintenant la parallèle M3N à iiQ, nous obtenons une normale
à la courbe (C), qui sera appelée la normale principale. Elle sera
orientée comme 11Q.
Je dis que le plan NMT est le plan oscillateur eu M à < G). En effet, ce plan est parallèle au plan Ou.0, lequel peul être considère comme la limite du plan O |jl |j. , . quand y.{ tend vers |i. Comme Ou, est parai-
lèle à La tangente m M, à (G), on esl ramené au théorème III du
On peut «lune dire que la normale principale est la normal*' située dans le plan oscillateur.
Nous appellerons centre de courbure de lu courbe (C) au point M, le poiui C. de \l\ défini par
Nous appellerons cercle de courbure le cercle de centre C cl de rayon R tracé dans le plan osculateur. L'axe de ce cercle, c'est-à-dire la perpendiculaire (Ai menée par C, au plan osculateur, sera appelé axe de courbure ou droite polaire.
324. La perpendiculaire MB au plan osculateur, menée par AI, est. appelée binormale. On l'appelle ainsi parce qu'elle peut rire considérée comme normale à deux tangentes infiniment voisines, en vertu d un théorème rappelé tout à l'heure. Elle sera toujours orientée de telle manière (pic Je trièdre trirectangle MTM3 soit un irièdre positif I n°28). Ce trièdre es! appelé trièdre deFrenet ou trièdre principal relatif au point M.
Menons la demi-droite Ou' parallèle à MB ci de même sens. Elle perce la sphère (2) au point y.'. Quand M décrit (Cl, ;j.' décrit une courbe (y' i, qui est appelée Y indicatrice des bi normales ou seconde indicatrice de la courbe (Ç).
Je dis que la tangente 'j.'fl' est parallèle à u.9.
En effet, le cône décrit par 0 ■/ est supplémentaire du cône décrit par O ;jl, puisque Op.' est perpendiculaire au plan tangent O ;jlO (n° 378), Il s'ensuit que O a est perpendiculaire au plan tangent O ;x'0'. Donc w/ô' est perpendiculaire à Ou.. Mais elle est aussi perpendiculaire à 0;j.'. Elle est donc perpendiculaire au plan ;-»-0(u.' et, par suite, parallèle à [x8.
vi l'on veut éviter l'emploi des cônes supplémentaires, on peut donner la démonstration analytique suivante:
Soient i a. //. c i. i a . b' . c'), (a\ l> . C I les cosinus directeurs respectifs de Mi. M\. MB. Ils sont lies par les relations bien connues entre les neuf cosinus (n° 35). Les coordonnées d\\ point u.' sont a", b", c". Les paramètres directeurs de u/6' sont donc da . db'\ de".
Il nous suffit de vérifier que u/9' e>t perpendiculaire à MT et MB,
c'est-à-dire que l'on a
a da" -4- b db" — c de' - <> .
a" da" — b" db" — c"dc" = o.
L'équation (4) résulte de la différentiation de a"2-\-b 2-f-c"2=i. Pour établir i^3), différentions ad — bb"+ cca= o; il vienl
i a dd' -+- b db' -+- c de" | .-+- 1 a* da — b ' db -+- c " rfci = o.
Or, la seconde parenthèse est nulle, car elle exprime que Ml> esl perpendiculaire à u.9. La première l'esl (lune aussi, ee qui prouve la relation (3 |.
!î2o. ( leei étant établi, nous orienterons j. 0' comme ul9 et (y1) de
telle manière que >a demi-tangente positive eu |a' soit u, 'b'. Soil maintenant d l'abscisse curviligne de uJ. Nous appellerons torsion de la courbe (C) au point M la quantité
T ds
ds L inverse T = —, de la torsion sera appelé rayon de torsion.
La torsion peut s'interpréter d'une manière analogue à la courbure. Considérons le point dt de (y'), qui correspond au point M,
de (C). Lare Ao-'=a'u.') est un infiniment petit équivalent à l'angle
e{= (Ojx', O^j). Or, cet angle n'éstautre que celui do plans osculateurs en M et en M,. On peut donc dire que la torsion en M est la
limite du /apport T7-rr> Quand M, te//d vers M.
1 r arc MMi J
On j>eut aussi interpréter le signe de la torsion. Si lé plan u/OjXj, qui esJ
sensiblement perpendiculaire à Ou, est orienté par cette demi-droite i n° 27 l,
I angle e' = ( O u/, O jjl | ) est, à vrai dire, un infiniment p>'t it équivalent non pas
à A-, mais à — 1?' ; de sorte que la torsion est la limite de — — • Si l'on
As
suppose, pour fixer les idées, As>o, ^ a le signe contraire à i. Or, quand
on passe du point .M au point M,, le plan osculateur tourne sensiblement autour de MT. puisque cette droite est la caractéristique dudit plan. Cette rotation a pour amplitude e', en grandeur et en signe, puisque i est l'angle dont tourne la perpendiculaire O \i! au plan osculateur. Si l'on observe, d'autre
part, que le sens positif de MT est le sens de M vers Mi, puisque As est supposé positif, on peut énoncer la proposition suivante :
Si le point M se déplace infiniment peu sur la courbe (G), le plan oscillateur en ce point tourne infiniment peu autour de la tangente en M. Si Von évalue le sens de cette rotation en orientant la tangente dans le sens du déplacement du point M, la torsion en M est positive ou négative, suivant que la rotation est négative ou positive.
Ceci nous montre que le signe de la torsion n'est pas conventionnel, comme celui de la courbure. Ce dernier dépend du sens, arbitraire, dans lequel on a orienté (y). Le signe de la torsion, au contraire, est entièrement déterminé par la courbe. De la forme de cette dernière dépend, en effet, uniquement le sens dans lequel tourne le plan osculateur pour un déplacement infiniment petit du point M. Si, d'ailleurs, on change le sens de ce déplacement, le sens de la rotation change aussi; mais, la demi-droite autour de laquelle elle est évaluée est remplacée par la demi-droite opposée; de sorte que le signe de la rotation demeure le même ('i.
326. Formules de Frenet. — Nous allons calculer les dérivées des neuf cosinus introduits au n° 324, par rapport à s.
Les coordonnées du point y. étant a, b, c, les cosinus directeurs
a', b', c' de u.8 sont -;-, —, -r- Cn° 193). On a donc, par exemple. 1 d? d? d? x r l
da »■»*■'■ .
— - = a . Mais, on peut écrire
da
dl
da ds da ds di ds
da ds
db b' de ds R ds
Donc
Répétons le même calcul pour le point [*'(«", b", c | :
d'où
, da"
a — TT
da" ds ds di'
ds
da" a' ds ~ T'
db" b' ds ~~ T '
de" ds
Pour calculer —;— > dérivons la relation ds
(') On peut aussi vérifier l'invariance du signe de la torsion, en changeant le sens positif soit de (C), soit de (y).
nous obtenons
da , da' „ du"
ds as ds
ou, en tenant compte de (6) et (7),
ad . da' d'à'
Divisant par «', nous avons
da a a" <lb' b b" de c c"
~dl z "k — t' 777 r~t' 777 = ÎT— T'
Les trois groupes de formules (6), (71, (8) portent le nom de formules de Frenet ( -).
Elles permettent, quand on connaît les neuf cosinus, de calculer R et T, en grandeur et en signe.
327. On peut aussi calculer R, en élevant les formules < (> ) au carré et ajoutant, on obtient ainsi
1 /da\* fdby ( de,*-
(i-)} R^{ds-) ■*-[*) +{dï) ■
Cette formule aurait d'ailleurs pu se déduire immédiatement de la formule (1), qui donne, en effet,
1 (h- da- -t- db2 -4- de"1
K^ = ds2 = ds* '
c'est-à-dire | 9).
Si Ton appelle x, y, z les coordonnées du point M de | C I, on sait
que a — -t~7 b — -^-, c = -r" La formule (0) peut donc aussi s'écrire ^ ds ds ds •J/ r
, . 1 (&x\* (dïyy (d*z\*
(lo) Rl = (d^) +{-dé) + U*j'
On peut transformer cette formule en imaginant que .r, y, z sont exprimés en fonction d'un paramètre t quelconque. On a, en désignant par des accents les dérivées par rapport à t et supposant, pour fixer les idées, que la courbe
(2) Les formules (8) sonl aussi appelées formules de Serre! .
Haag. — Cours, II. aa
est orientée dan> le r-ens des t croissants,
dx x'
as ^-+7!+^- (a/t+y%+z'*y
ds2
d2 v d- z Par permutations circulaires, on aurait -— - et —7—;' Portant dans (io), il
ds2 ds'1
vient
1 i.r'2__y'2 -+- /^(/î+jy + V*) — ix'2-\-y'2-:r-z'2)(x'x"-±-y'y"-+-z'z")2 R2 ix'2-hy'2-^ s'2)*
x — 1'- — z'2) (a?*2 ■+• y**-+- z"- ! — ' x' x" — y' y" — s'z")* cr'2 — y'-— z'- 13
Si nous transformons le numérateur par l'identité de La grange ( 1. 1, n°285), nous obtenons enfin
1 (y'z" — z' y" i2-f- ( z x" — x' z" i2-+- ix'y" — y x" i- R* ( x'2-\- y'-^r- z'-):i
Celte formule [ainsi d'ailleurs que les formules (9) et 110)] permet de calculer seulement la valeur absolue de la courbure. Elle présente les mêmes inconvénients que la formule (n) du Chapitre précédent, à laquelle elle se réduit d'ailleurs, quand on y fait z = o.
328. On peut faire un calcul analogue pour la torsion. Multipliant la première formule 1 S . par a", la deuxième par b'\ la troisième parc" et ajoutant, nous avons
1 „ dd „ db' „ de'
T ds ds ds
Or, on a, d'après ( 61.
da' d / da\ dR da d2a
ds ds \ ds 1 ds ds ds'2
Portant dans 1 12 ). il Client, en remarquant que
„ da . „ db „ de
a' — 1- b -. hc — = o,
ds ds ds
~TR=a~dl2"X~~ds^~hCd^
/> i 1 d~a ^ •!•,-.•• dt .
■ alculons — tt ■ On a, en posant, pour simplifier I écriture, — = A,
ds2
ds
da
ds
il', i
rfs2
r = f/'i'+i/ÀV + r'irA'/])..
D'autre part, on sait que «"= bc — cb' ln° 35); donc,
„ / , de db\ . ,, „ . , , ., , , . , . , „ , . . , .
ii")! «"= RX:j<y,s" — --'y" i.
Si nous portons maintenant ( i4j et (i "> ) et les formules analogues dans (l3), nous avons
16 i - ^ ■= R2Xo[^'"(y^" -y , y( s'^—aV) -^'"(ar'/'-jV)].
Si nous nous souvenons que Xs= —7- ; 7
ï < 1 1 1. nous avons
et si nous nous reportons
v' z" — z'y" >* -+- (z'x'— x z" f- -+- ( v'y" — y' x" y La formule (16) devient, dès lors,
On voit que l'expression obtenue est rationnelle, ce qui confirme l'existence d'un signe déterminé pour la torsion (cf. n° 325).
< 329. Développées d'une courbe gauche. — Imaginons qu'en chaque point M de la courbe (C), on mène une normale MX à cette courbe et cherchons s'il est possible de déterminer la loi suivant laquelle varie cette normale, de telle manière qu'elle engendre une développable.
Nous définirons cette normale par l'angle 0 = (M\, MX), mesuré dans le plan orienté NMB. Ses cosinus directeurs sont
a = a' cosO -+- a" sin0, j3 = b' cosO -r- b" sinô, y = c 'cosO -+- c "sinO. La condition, pour qu'elle engendre une développable, est <n° 372)
dx da
ds ds
34 o ou
dci ' da . . dQ , , . ,, ,. A , ,. - • n
—7- cosO h — si n 0 -! r- ( — a sin G -+- a coso ) a coso -f- a si nt)
«5 as as
ou. en tenant compte des formules de Frenet,
a ( — — — ■=■ ) cosQ -H — si no — ( — a si no -+- a coso) a coso -H a sin 0
V ri 1 / 1 as
„. „ 111 • . 1 cos6 . , . ,
Î51 1 on multiplie la première colonne par — - — et qu on 1 ajoute a la seconde,
l'équation devient
a ( — — =r ) (et" cosO — a'sinOj a' cosO -1- a" sin 6 =0 \ as 1 /
— — ) H a a" coso — «'sinO a' coso -+- a" sin 6 || = o.
Le déterminant qui nous reste est égal à — 1, comme il résulte de sa décomposition en déterminants partiels (t. I, n° 281). Finalement, la condition cherchée se réduit à
d'où l'on tire
dQ 1
Ç ds Çs ds ~J T ~'l t
const.
Nous pouvons finalement énoncer la proposition suivante :
Théorème. — 77 existe une infinité de développables engendrées par des normales à la courbe (G). Quand on a l'une d'elles, on obtient les autres en faisant tourner la normale MX, d'un angle constant quelconque, autour de M T.
Les arêtes de rebroussement de ces développables, qui sont des enveloppes de normales de la courbe (C), sont appelées les développées de cette dernière. Il est facile d'avoir leurs équations paramétriques. Celles-ci sont de la forme
(10) X = x -4- p(a' cos6 -4- a" sin 6),
p étant déterminé par la condition
dX
d\ dZ
CpURBUBE DES COURBES GAUCHES. 34 1
Or, on a, en utilisant les formules de Frenet et la formule (18 ),
— t- — a -\ — 7- (a cosO -4- a sinO) as as
■+- p — cosô ( — -t- — | -t- — sinO -+- — ( a" cosO — a' sinO ; .
dX ( ocos6\ do
-d7=aV--R-)-1-ds-7-
Les équations (21) seront vérifiées si l'on prend
1 cosO
Portant dans (20), nous avons les équations des développées
| X = x -+- R a' ~ R a" tan g 0, Y —y -+- Rb' -t- Mb" langO,
| Z = z -+- Rc'-t- Rc" tangO,
où 0 est donné par la formule (19).
Ces équations montrent que le point de contact de MX avec la développée se trouve sur l'axe de courbure de (G). Ceci est, du reste, une conséquence du théorème II du n" 331, qui permettrait d'écrire directement les formules (22).
Quand la courbe (G) est plane, une des développées est la développée au sens du 11" 312 ou développée plane. Les autres sont enveloppées par des normales faisant un angle constant avec le plan de la courbe. Ce sont des hélices {cf. Chap. XXIV, exercice résolu n" 9).
330. Courbe rapportée a un trièdre de Frenet. — Pour étudier les propriétés relatives à la courbure des courbes gauches, il esl commode de choisir les axes suivants. Prenons pour origine des coordonnées un point O de la courbe (C), qui sera, en même temps, l'origine des arcs. Prenons pour axe des ./• la demi-tangente positive en ce point, pour axe des y la normale principale et pour axe îles r la binormale.
Cela posé, considérons un point M de la courbe, voisin de O et d'abscisse curviligne s. Nous allons nous proposer de calculer les développements de ses coordonnées x, r, -^ suivant les puissances croissantes le s, en nous limitant au troisième ordre. Soient
I X = ai 5 -+- <7ô 5- -t- «3s:i-i-. . . , (i3) • y = /;, s -4- b^s1 — b:is3 -+- . . .,
' z = Ci s -4- c-2s'2 -4- e:is:i -+-...
34a CHAPITRE XXII.
les développements cherchés. Nous en déduisons
, a = ai -+- la-is — 3 «3 s'2 -4-. . . ,
(24) j 6 = 6, -+- ?.6os -4- 3 6352 -h . • .,
f c = C! -I- 2CjS 4- 3C3*4 -+-. . ..
Pour s = o, on doit avoir a = 1, & = o, c = o ; donc.
\<m> avons ensuite, d'après les formules (6),
as
de c' — R -r = R(2C> -+- 6c3s -4-. . . 1, as
Pour s = <>. on doit avoir a' = o, &'== 1, e'== o; donc.
Nous avons enfin, d'après (8),
dR a a"
6 a3 R — oa3— - s -H . . . = — — — 7=r > «s 11 1
. __ + 6fc,R + «,*3 , + ...=- R T,
6c3R-4-6c3-j-s-+-...=— 5 — = ■ as h 1
Faisons s = o, en observant que l'on doit alors avoir a"=o, // = o, c" = 1 : il vient
1 , 1 /dR\
(29) a3 = - -— , 63=— ÂRï(^r) .'
6Rg7 6Rg\«fc/o 6R0T0
Nous avons finalement nos neuf coefficients. En portant leurs valeurs dans (23). nous obtenons les développements cherchés :
" (Trt "
couiiBunrc DBS coi rues gauches. 3î>
îNous axons supprimé les indices o, qui figuraient dans les formules (27) et (29), afin de simplifier récriture. Mais, il est bien
entendu que les quantités R, T, — -j — sont prises, dans les formules (3o), avec leurs valeurs pour s = o. Ce sont donc des constantes et non des fonctions de s.
331. Propriétés diverses. — Les formules (3o) permettent de découvrir très simplement un grand nombre de propriétés des courbes gauches.
On peut d'abord retrouver immédiatement toutes les propriétés caractéristiques du plan oscillateur, établies aux n"s 22 i et 22o.
Voici, maintenant un théorème sur les tangentes :
Théorème F. — La plus courte distance de deux tangentes infiniment voisines est un infiniment petit du troisième ordre par rapport à l'arc qui sépare les deux points de contact.
Soit 0 la plus courte distance de la tangente Ox et de la tangente MT. Elle est égale à la distance de O à la projection de MT sur yO z.'Ov cette projection a pour équation dans le plan des yz
dz ,n ^ dy
OU
2RT '" ) \R ; / t2R*T
les points de suspension, dans cliaque parenthèse, représentant des termes de degrés supérieurs à ceux des ternies écrits. On a, dès lors,
Si l'on prend s pour infiniment petit principal, la partie principale de cette
[oR2'r| S3
,i2RT
quantité est
IClle est bien du troisième ordre.
Théorème II. — La caractéristique du plan normal est l'axe de courbure.
Le plan normal en YI a pour équation {ii) a(X — a:)-4-6(Y — j)-+-c(Z'— s) = o.
Sa caractéristique est définie par cette équation el l'équation dérivée par rapport à s (n° 280), soit
do ~d~s
(X — se) -h — (Y — y) -h -£ (Z — z) — (a2-f- 62-+- c«) = o.
ds
ds
a'(X— ^) + fe'(Y — y)-hc'(Z — z) — R = o.
Pour s = o, les équations (32) et (33) se réduisent respectivement à
Telles sont les équations de la caractéristique du plan normal en O ; ce sont bien les équations de Taxe de courbure.
332. Ce théorème fournit un moyen de déterminer le centre et le rayon de courbure d'une courbe gauche définie d'une manière quelconque. Supposons, par exemple, que .r, y, ~ soient exprimés en fonction d'un paramètre t quelconque. Le plan normal a pour équation
L'axe de courbure a pour équations l'équation ( 35) et la suivante :
Kn prenant l'intersection de cette droite avec le plan osculateur (n° 226 ),
courbure: des coi mus gauches.
on a les coordonnées du cenlre de courbure :
^- [ar*(a?'8-|-jr'2 -+- x;'2) — x' ( x' x" -h y' y"-¥ z' z ')],
en appelant A, B, C les coefficients y' z" — z'y", ... du plan osculalcur.
Quant au rayon de courbure, on peut le calculer en prenant la distance du point M(x, y, z) à l'axe de courbure ou bien par la formule
RJ= (a?j — »)»-+- fjri — ^ )*.■*-(*!— ^)2-
En tenant compte de (3J), on retrouve la formule (il).
333. Cercle osculateur ; sphère osculatrice. — Reprenons la courbe (G) définie par les équations (3.o) et cherchons les sphères qui ont avec elle, au point O, Un contact du second ordre.
A priori, une telle sphère i S ) doit être tangente, en (), à Oj, et, par conséquent, avoir son centre dans le plan des yz. Son équation est de la forme
Xs+ Y
Z* 28 Y — avZ
Remplaçons-y X, Y, Z par les développements (3o) el écrivons (jue l'équation en s obtenue admet une racine triple nulle, c'està-dire que son premier membre est divisible- par s3. Notre équation s'écrit, en négligeant les termes de degré supérieur au troisième,
— ■■> fi «2
âR
tis
