RT

HT

Pour qu'il y ait une racine triple nulle, il faut et il suffît que l'on ait (3 == R. L'équation générale des sphères (S ) est donc

X2+Y?-+-Z2— 2RY — 2YZ = o,

où y demeure arbitraire. Cette équation définit un faisceau, admettant le cercle de courbure pour cercle de base. Donc :

Théorème I. — Les sphères qui ont un contact du second ordre

m -ec une courbe donnée, en un point donné, sont les sphères qui contiennent le cercle de courbure en ce point.

Ce cercle est, par suite, le seul qui coupe la courbe en trois points confondus; c'est le cercle osculateur [cf. n° 318).

Cherchons maintenant si, parmi les sphères (S), il y en a une qui ait un contact du troisième ordre. Il nous faut annuler, dans l'équation (09), le coefficient de s3; cela nous donne

Donc :

ds

Théorème II. — Il y a une seule sphère ayant un contact du troisième ordre avec une courbe donnée, en un point donné.

Il n'y a pas de sphère ayant un contact d'ordre supérieur (•) (sauf en certains points exceptionnels); aussi, la sphère précédente, qui a le contact d'ordre maximum, est-elle appelée la sphère osculatrice.

Théorème III. — Le centre de la sphère osculatrice coïncide avec le point de contact de Vaxe de courbure avec son enveloppe.

Reprenons, en effet, les notations du théorème II du n° 331. Le point limite de l'axe de courhure est obtenu en dérivant l'équation 1 3 > 1 par rapport i\ s, ce qui donne, en utilisant les formules (8),

dR

Pour s = o, cette équation se réduit à

X Z dR

R T ~*~ ~dl

Si l'on tient compte de (34 ), on en tire

dR

ds

En comparant avec (41 I, on termine la démonstration.

(') Cela tient à ce qu'une sphère est déterminée par quatre points: ici. ces points sont infiniment voisins.