COURBURE DES LIGNES TRACEES SUR CTNE SURFACE

334. Courbure normale; théorème de Mettsnier. — Soient une surface (S) et un point G de cette surface. Nous nous proposons d'étudier la courbure au point O des différentes lignes tracées sur S et passant par ce point.

Pour simplifier les calculs, prenons O pour origine des coordonnées el le plan tangent en ce point pour plan des .iy. L'équation de notre surface est alors de la forme

le=> fonction> r. p = -r- » Q = t~ s'annulant toutes trois pour

1 <Kr <>y

Cela posé, traçons, sur i S i et par le point O, la courbe (C) | fig . '»- .

Fisr. 3t.

Xl /<*>

Orientons-la d'une manière quelconque et soit OT Ja demi-tangente positive en O, d'angle polaire y.. Pour déterminer le centre de courbure C relatif à ce point, nous allons chercher l'axe de courbure | A >

(f) Lr- point O est supposé non singulier. Tout ce qui va suivre ne saurait donc s appliquer à un point singulier (cf. exercice résolu n° 5).

et li- point Ci où celle droite rencontre O; ('). Avant C,, on en déduira C par projection orthogonale sur le plan oscillateur

Imaginons qu on ait exprimé les coordonnées x, y, z d'un point quelconque M de (C) en fonction de l'abscisse curviligne s = ( )M. L'équation du plan normal en ce point à (C) est (2) ( X — x)xJ+ ( Y - y) y' +-(Z — z)z'= o.

La caractéristique de ce plan est définie par l'équation (2) et la suivante (n° 280 1 :

en observant que .r'1 — y' --h z'2 = 1 .

Pour s = o, ces deux équations définissent la droite (A). La première représente le plan normal en O, qui contient Oc. La seconde représente un autre plan, qui coupe 0,3 au point C,. Pour avoir la cote c, de ce point, il suffît donc de faire .s : = o, X = o, Y = o. dans (3 I, et d'en tirer Z, ou p, ; on obtient ainsi

Calculons z"0. Les trois fonctions ./•. r. 3 de s vérifient identiquement l'équation (1). Dérivons totalement par rapport à s .t. I. n° 130) :

(5) z' = px'—qy'.

Dérivons encore une fois :

(6) z" = px"-+- q y" — rx'--~ >sj-' y' — ty2,

r. s. t désignant, suivant une notation classique, les dérivées par-

tielles

()x- f)x i)y ()y- Si, dans l'identité (6), nous faisons maintenant 5 = 0, nous

,i\ ôns

s0 = r0x0- -\- iSaX^y^ -t- t0y02 .

(') (A) rencontre Oz, car elle est dans le plan normal en O à ( C ), lequel passe par O c.

COURBURE DES LIGNES TRACÉES sir ONE SURFAl !.. 349

Or, a?'0 = cosa, r(i sina in" 193). Donc,

3 JJ = /-0 cos2a -+■ 2.s() cosa sina — t0 <\\\-y..

Portons dans i î ), en supprimant, pour simplifier l'écriture, les

indices de r0, s0, t0', nous avons la formule

(7) — = /• cos5 a -7- is cosa sin a -f- / ?in'2 a. pi

Cette formule, fondamentale pour la théorie qui nous occupe, nous montre que le point G( est entièrement déterminé quand on se donne la tangente OT.