De là résultent les conséquences suivantes
Théorème I. — Toutes les courbes de la surface qui ont le même plan oscillateur en O ont le même centre île courbure.
En effet, ce centre de courbure est la projection t\u point C( sur le plan oscillateur commun.
Corollaire. — Toute courbe tracée sur la surface et passant par O a menu- centre de courbure, en O, que la section de la surface par le plan oscillateur de ladite courbe au point O.
Car le plan oscillateur d'une courbe plane n'es! autre que le plan de cette courbe.
Théorème II (dit théorème de Meusnier)-. - Le lieu des centres de courbure des courbes tracées sur la surface et tangentes en ( > à OT est un cercle, dit cercle de Meusnier.
Ce cercle est, en effet, le cercle décrit dans le plan perpendiculaire
en O à OT. sur OC, comme diamètre, puisque l'angle C,CO esl droit.
Si l'on appelle 0 l'angle du plan osculaleur TOC avec le plan tangent rOr. le rayon de courbure p = OC est donné par la formule
(8) p = pisin6.
Cela esl évident, dans le triangle rectangle C|CO. Le point C, et
CIIAl'ITHK XXIII.
h longueur ;, sont appelés centre et rayon de courbure normale de la courbe (G). Ce sont manifestement le centre et le rayon de
min lune de la section normale qui admet même tangente en 0 que | ('. i.
336. l\i»h \Tiut i: n Ki un. - Prjoposons-nous maintenant d'étudier les variations de la courbure normale, quand la tangente OT décrit le plan xOy. Ceci revient à étudier les variations de la quantité — définie par la formule (-), quand on lait varier a. Cette étude
ne présente, analyt lentement, aucune difficulté. Mais, elle est rendue plus intuitive par l'interprétation géométrique suivante.
Portons, sur OT. une longueur OP = \/p, -et cherchons le lieu du point P. Les coordonnées de ce point dans le plan xO y sont
x = y pi cosa, y = /p( sina.
Moyennant ces formules, l'équation (-) s'écrit
(9) 7\v- ■+- -is.Ty — t y- = r.
Elle nous montre que le lieu du point P est une conique de centre O. Cette conique est appelée Y indicatrice d'Euler relative au point O. Quand elle est construite, elle permet de suivre aisément
les variations de o,, car ces variations sont celles de OP , lesquelles
sont évidentes pour n'importe quelle conique.
L'indicatrice est une ellipse, une hyperbole ou un système de deux droites parallèles, suivant que rt — s- est ^> o, < o ou = o.
Les asymptotes, qui sont imaginaires dans le premier cas, réelles et distinctes dans le second cas, confondues dans le troisième cas, portent le nom de tangentes asymptotiques de la surface (S) au point O. Le rayon de courbure normale correspondant à chacune d'elles est infini. Autrement dit, toute section normale tangente en O à une tangente asymptotique admet le point O comme point d inflexion (n° 319). Il en est de même, d'ailleurs, de toute section oblique en vertu du théorème de Meusnier.
337. Les axes de l'indicatrice sont appelés les tangentes principales de la surface (S ) au point O. Ces tangentes sont rectangulaires
COURBURE ltKS LIGNES TRACÉES si u UNE SURFACE. 3»1
ci toujours réelles. Les sections normales correspondantes sont appelées sériions normales principales. Les centres el rayons de courbure de ces sections sont les centres efl rayons de cowrbure principaux.
Les rayons de courbure principaux sont, d'après la définition de l'indicatrice, les maximum et minimum du rayon de courbure normale o,. Si l'on se reporte à la formule (-), on peut déduire immédiatement de cette remarque l'équation qui donne ces rayons. Il suffît, en effet, d'écrire l n) sous la forme
( r — — ) cos2a + i.s cosa sin x -t- ( t ) sin-a = <>.
\ Pi/ \ Pi/
D'après une méthode élémentaire bien connue, lés maximum et minimum de o, sont obtenus en exprimant que cette équation du second degré en tanga ou cotangat admet une racine double. On obtient ainsi l'équation du second degré en R
dont les racines R, et R2 sont les rayons de courbure principaux. Développée et ordonnée par rapport à -> elle s'écrit
(il) — —(r — t,-^-rt — si=o.
Les fonctions symétriques élémentaires
rt — s1 et — — (-—- = /•-+- t
R,K, Ri R,
jouent un rôle trèï. important dans la théorie des surfaces et portent les noms respectifs de courbure totale et courbure moyenne { ' | de la surface i S) au point ().
Lorsque cette dernière est nulle en chaque point, la surface est appelée surface mi ni ma.
Si l'on annule la dérivée de — par rapport à a, on obtient Véqua-
(') La courbure moyenne est, plus exactement, -( - — \- — J •
don aux angles polaires des tangentes principales
(t — r) sin2a -4- 2 s cûsïz = o OU
(i3) tangua
338. Ombilics. — La formule (i3) devient illusoire quand on a à la fois
Dans ce cas, le point O est appelé ombilic de la surface (S) et jouit manifestement des propriétés suivantes :
L'indicatrice est un cercle; Toutes les tangentes en O sont principales; Le ravon de courbure normale est constant ; Les tangentes asymptotiques sont isotropes.
339. Formule d'Euler. — Imaginons que les axes O.r et Oy qui, jusqu'à présent, ont été deux tangentes rectangulaires quelconques, soient les tangentes principales. L'indicatrice est alors rapportée à ses axes, ce qui est caractérisé par la condition s = o.
Les courbures principales sont données, l'une par a = o, soit— = r.
l'autre par y. = -, soit — = /. La formule (7) peut alors s'écrire, en remplaçant, pour plus de symétrie dans l'écriture, 0, par R, , . 1 cos- a sin2a
Cette élégante formule porte le nom de formule d'Euler. Elle permet d'établir rapidement certaines propriétés.
Par exemple, changeons a en a + -, nous avons ! sin-a cos2 a
R7 = R, "^"TTT' Ajoutons à (1 j ) :
1 1 cos2 y. -+- sin5x sin2a -t- cos2a 1 1
R + R7 = ~~ R~i ~R2 = R7 ~^ ÏÏT
