COURBURE DIÎS LIGNES TRACEES SUE UNE SURFACE

Donc, la somme des courbures de deux sections normales rectangulaires est constante et égale à la courbure moyenne.

l\U). Forme d'une surface m voisinage d'un de ses points. — La connaissance de l'indicatrice relative au point O permet de se rendre compte de la forme de la surface (S), au voisinage de ce point. Trois cas sont à distinguer, suivant le genre de cette indicatrice, que nous allons d'ailleurs supposer rapportée à ses axes.

Premier cas : Indicatrice elliptique. — On peut avoir une ellipse réelle ou imaginaire, suivant que le signe commun à /• et à / est le signe -|- ou le signe — . Dans le second cas, la courbure normale est constamment négative. En changeant le sens de O.S, on la rend positive et l'on se ramène au premier cas, que nous allons donc seul examiner.

Supposons, pour fixer les idées, que Ox soit le grand axe de l'indicatrice et Oy le petit axe. Si l'on imagine un plan normal, parlant de zOx et venant s'appliquer sur z( ) y. le rayon de courbure correspondant diminue île R, à R2; le centre de courbure dé< rit le vecteur G|C2, situé sur la partie positive de O-S I fig. 38) et tel

Fie. 38.

bue ÔCj = OA . OC2=OB . Si notre plan sécant, continuant à tourner dans le même sens, quitte zOy pour venir de nous eau s'appliquer sur sOx, le rayon de courbure reprend symétriquement les mêmes valeurs que précédemment; le centre de courbure décrit

le vecteur G2G|. Ceci nous montre que toute section normale esl concave au point ( \ vers les .: positifs et a une courbure d'autant plugrande que son plan est plus voisin de sOy. La surface esl donc située, au voisinage du point O, tout entière au-des>u> du plan / ( > i .

Il au;. — Cours, 11. • >

354 CHAPITRE WIII.

On dit qu'elle est concave vers les z positif s et convexe vers les z négatifs.

Ce cas esl caractérisé par le fait que les rayons de courbure principaux ont le même signe.

Deuxième cas : Indicatrice hyperbolique. — Supposons, pour fixer les idées, que Ox soit Taxe transverse. Soient OX et Oa' les deux asymptotes (Jig. og).

Fi?. 3g-

Reprenons notre plan normal, tournant autour de O;, dans le sens positif, à partir de zQx. Le rayon de courbure correspondant commence à croître, à partir de R, = OC, =OA . Il devient infini, pour le plan ;OÀ. Le centre de courbure décrit la demi-droite C, c. Les sections correspondantes sont concaves, en O, vers les ; positifs et ont une courbure de plus en plus petite. La section par ;OX a une courbure nulle; elle présente, en O, une inflexion et traverse, par suite, le plan tangent.

Continuons maintenant à faire tourner notre plan sécant. 11 coupe dorénavant l'indicatrice en des points imaginaires. Le demidiamètre OP est une imaginaire pure; son carré, c'est-à-dire pt, est négatif. Pour suivre ses variations, il suffit de construire l'hyperbole conjuguée de l'indicatrice (n° \,fl >, définie par l'équation

rx2-+- ty* = — î.

Le plan jOT' coupe cette hyperbole en P' et le rayon de courbure

correspondant est égal à — OP' . Quand OT' va de OX à Or, ce

rayon croît de — ce à R2 = OC2= — OB ; le centre de courbure ( / décrit, dans le sens des z croissants, la demi-droite (l.2z'. La section