COURBURE DES LIGNES TRACÉES SUR DNE SURFACE

tourne sa concavité vers les ^ négatifs et a une courbure absolue de plus en plus grande.

Si Ton continue à faire tourner le plan sécant, la courbure reprend symétriquement les mêmes valeurs. Le centre de courbure décrit ( .0 z' . puis s G,.

En résumé, on voil que le-, sections < l« >n i la tangente en ( > se trouve dans l'angle des asymptotes qui comprend Or, sont, au voisinage de O, au-dessus de xOy. Celles, dont la tangente se trouve dans l'angle des asymptotes qui comprend Ot\ sont, au contraire, au voisinage de O, au-dessous de ./Or. Les sections intermédiaires, tangentes à O). ou O//. traversent ./ < )y.

La surface traverse donc son plan tangent, la traversée ayanl lieu tangentiellement à O) et à ())/.

Nous verrons d'ailleurs (n° 'M*2 ) que la section par xOy présente, en O, un point double, dont les tangentes sont OX el 0\ : ceci confirme la conclusion précédente et montre que, au voisinage du point O, la portion du plan couverte de hachures (Jig. 3o,) est audessous de la surface: la portion non hachurée est, au contraire, au-dessus de la surface.

On dit qu'au point O, la surface est à courbures opposées.

Dans ce cas. les rayons de courbure principaux sont de signes contraires.

Troisième cas : Indicatrice parabolique. — Comme elle a un centre, elle se décompose en deux droites parallèles. Ces deux droites peuvent être réelles ou imaginaires conjuguées..

Le second cas se ramène au premier, par un changement de sens de O;, comme pour l'indicatrice elliptique. Supposons donc nos deux droites réelles et, prenant pour axe des y la droite équidistante, figurons l'une d'elles, (D ) (Jig- 4° '•

Reprenons toujours notre plan normal, tournant autour de Oz. Lorsqu'il est sur z().i\ le rayon de courbure est minimum :

R, = OC, = OA . Quand le plan tourne et vient s'appliquer

sur sOy, pt = OP augmente constamment jusqu'à -4- se : le centre de courbure C décrit la demi-droite C( ^.

Ceci nous montre que toutes les sections normales sont concaves, en O, vers les ; positifs, sauf la section par ;Or. qui présente une

inflexion. < >n sait d'ailleurs (n° 34-2) que la section par jO r admet le point < > cl l'axe ( )y pour point et tangente de rebroussement. On peut essayer, d'après cela, do se représenter la forme de la surface au voisinage du point (). Cela est beaucoup plus difficile que dans les deus cas précédents. Si l'on considère la section par le plan ;OT, voisin de zOy < fig. {" h cette section est, au voisinage immédiat

Fig. 4o.

du point O, au-dessus du plan tangent; mais, elle traverse ce dernier au point M, qui est d'autant plus voisin de O que la droite OT est plus voisine de Oy. Entre O et M, elle présente nécessairement une inflexion. D'après cela, on peut voir que, au voisinage de O, la portion du plan ji) y extérieure aux deux branches du rebroussement est au-dessous de la surface; la portion comprise entre ces deux branches (couverte de 'hachures) est, au contraire, au-dessus de la surface.

Le point O est appelé point parabolique.

Ce cas est caractérisé par le fait qu'un des rayons de courbure principaux est infini.

341. Maximum ou minimum d'une fonction de deux variables. — Aux considérations qui précèdent, peut être rattachée l'élude des maxima ou ininima d'une fonction de deux variables.

Onditquela fonction z = f(x.y) est maximum (ou minimum) pour x = x0, j=jK0, si l'on a/(x0,y0)>f(a;,y) [ou f(xit, y0)<f(x,y)], pour toutes les valeurs de x, y infiniment voisines de cc0; y0 (l).

Par un changement de variables évident (2 i, nous pouvons, pour simplifier, nous ramener aux hypothèses x0 = y^j= z0= o.

(') D'une façon précise pour \x — xt,\ < z et \y — ,r„ | < e, s étanl un nombre positif suffisamment pelit.