COURBURE DES LIGNES TRACÉES SLR UNE SURFACE

Si nous interprétons géométriquement notre définition, nous voyons que pour qu'il y ait, par exemple, minimum, il faut et il suffit que la surface (S), représentée par l'équation z = f(x, y) soit, au voisinage de l'origine, tout entière au-dessus du plan des xy. Si nous excluons les cas où le point O serait un point singulier pour cette surface, il est tout d'abord évident que le plan tangent en ce point doit être xOy; ce qui se traduit analytiquement par les conditions

Ensuite, l'indicatrice d'Euler doit être une ellipse réelle; ce qui peut se traduire analytiquement par la condition que r x- -h a. s xy -{- t y- soit une forme quadratique définie positi\e i t. I, n" 30(> !.

En définitive, nous pou\ons énoncer le théorème suivant, qu'on peut d'ailleurs démontrer analytiquement :

Théorème. — Pour que la fonction f(x, y) soit minimum pour x = x„, y ==^0, il faut et il suffit :

i° Que f'x et fy s'annulent pour x = rIM y = y»;

2° Que la forme quadratique r§x--\- is^xy -f- tfsyi soit définie positive, en appelant r0, stj, t0 les valeurs des dérivées partielles f'^.., fxy% f"-.i pour x — a?0, y — y0.

3Ï^2. Section d'une surface par son plan tangent. — A la théorie de l'indicatrice, se rattache l'étude de la section de la surface | S) par le plan tangent ./O r, ainsi que par les plans parallèles infiniment voisins.

Développant la fonction /'( .i\ y ) suivant la formule de Mac-Laurin (t. I, n° 132), l'équation ( i) peut s'écrire

(16) z= -(rxi-hzsxy-+- tyz) -h tf-i(x,y ):

C5:1i.r, )) désignant un polynôme homogène et du troisième degré en ./, )', dont les coefficients sont des fonctions de r et de y demeurant finies quand x et r tendent vers zéro.

La section par xOy a pour équation dans ce plan

(17) - 1 rx'2 -f- 'isxy ■+■ ty- | — ©:,i x, y ) = o.

D'après le théorème du n° 199, elle admet l'origine pour point double, les tangentes en ce point ayant pour équation quadratique

(18) rxï-\- isxy -f- ty- — o.

On reconnaît l'équation des tangentes asympto tiques. Donc :

Théorème I. — La section d'une surface par un de ses plans tan cents admet le point de contact pour point double, les tangentes en ce point étant les tangentes asymptotiques.

Le point double est donc isolé, nodal ou de rebroussement. suivant que l'indicatrice est elliptique, hyperbolique ou parabolique.

Coupons maintenant la surface (S ) par le plan z = s, z désignant un infiniment petit. La projection de la section sur xOy a pour équation

-1 /'.r'+2s xy -+- ty- ) -+- <p3 ( x, y ).

Elle possède des points ( réels ou imaginaires 1 infiniment voisins de l'origine. Si l'on considère x et y comme des infiniment petits du premier ordre, (jji.c, y) est un infiniment petit du troisième ordre, négligeable vis-à-vis

de - ( 7-X--+- 2s xy -+- ty2 ), qui n'est que du second ordre. Dès lors, on peut

dire que les parties principales £ et 7, de x et dey satisfont à l'équation

1 Vï > .1

(20 1 S = - ( /' ; - — î S rr — I ( 2 1

qui représente une conique homothétique à l'indicatrice. Donc:

Théorème fi. — Tout plan parallèle au plan tangent et infiniment voisin de ce plan coupe la surface suivant une courbe, qui, dans le voisinage du point de contact, est sensiblement homothétique à l'indicatrice.

Le lecteur utilisera ce théorème pour compléter l'étude faite, au n" 3-40, sur la forme de la surface au voisinage du point 0. II supposera successivement

c>oel£<n.

313. Intersection de deux surfaces tangentes. — Soit une deuxième surface (S'), tangente en O à xOy. Son équation peut se mettre sous une forme analogue à (16), soit

z = - ( V x--t- %s' xy -h t'y2 1 -+- o'3 1 x,y |.

La projection de l'intersection des deux surfaces sur le plan desxy a pour équation (n° ol)

- [1 r — /•' )X2-r- i( s — s' )xy -+- ( t — t' \y- \-+-<Çz(x,y) — ç'3 1 x^y 1 = 0.

COURBURE DES LIGNES TRACÉES 8UB DNE SURFACE. 35g

On voit qu'elle admet l'origine pour poinl double, les tangentes en ce poinl ayanl pour équation

(22) r — /■' \x-— '?a v — s' \xy ■+■ (t — l' \ y- = o.

Or, celte équation n'est autre que celle du faisceau des diamètres communs aux deux indicatrices ( n" lc\\. Donc :

Théorème III. — ■ Si deux surfaces sont tangentes, leur intersection admet le poinl de contact pour point double les tangentes en ce point étant les diamètres communs au./ deux indicatrices des deux surfaces.

314. T-ANGENTES CONJUGUÉES. — Deux tangentes en un même point sont dites conjuguées, lorsqu'elles sont conjuguées par rapport à l'indicatrice de ce point ou, ce qui revient au même, conjuguées harmoniques par rapport aux tangentes asymptotiques.

Théorème i de Dupîn i. — Si une courbe (C), /racée sur la surface, est tangente en 0 à OT, le plan tangent à la surface le long de cette courue enveloppe une développable qui, au point 0, est tangente au plan tancent le long de la tangente OT', conjuguée de OT.

En effet, soient x. y, z les coordonnées d'un point quelconque M de (G), supposées exprimées en fonction d'un paramètre t quelconque. Le plan tangent à (S) on ce point a pour équation

(»3) Z — z=/?(X — *)+ jf(Y — y ).

La caractéristique de ce plan est définie par cette équation et par l'équation dérivée par rapport à t :

— z' = p'( X — ,ri- cj'i Y — y | — px' — q y

ou, en observant qu'un a identiquement i ' i z'=* px'-k- qy*,

\u point O. cette dernière équation devient (25) //0X + ?;Y = o;

c'est l'équation, dans le plan des xy. de la caractéristique OT'. Les paramètres directeurs de cette caractéristique sont donc, si l'on veut, q0, — p0, o. D'autre part, ceux de la tangente OT sont x'0, y0, o. La condition de conju-

(') Cela résulte de ce que les fonctions x, y, z vérifient identiquement l'équation (i).

guaison s'écril donc i n° 463 t

Or, d'après le théorème des fonctions composées, on a, pour toute valeur de t,

, dp , dp , .

p = -f- a" -+- -r- X = rx -\- s v , ox a y

, dq . dq , . .

q =—!-x-\-—Ly=sx-i-ty.

* àx àyJ

L'égalité I 26 1 devient dès lors évidente et le théorème est démontré.

3i3. Lignes ASYMPTOTIQUES. — On dit que la ligne (C) est une ligne asymptotique, si la tangente en chacun de ses points est une tangente asymptotique.

Une telle tangente étant à elle-même sa propre conjuguée, elle est aussi la caractéristique du plan tangent à (Si, en -\ertu du théorème de Dupin. Il s'ensuit que la développable enveloppe de ce plan tangent admet (G 1 pour arête de rebroussement 111" 289). Donc, le dit plan tangent est osculateur a (G).

Réciproquement, si le plan osculateur en chaque point M de 1 G 1 est tangent à (S), comme sa caractéristique est la tangente MT à 1 C 1, cette tangente est à elle-même sa propre conjuguée; c'est donc une tangente asymptotique et la ligne ( C 1 est une ligne asymptotique.

(Vous pouvons donc énoncer la proposition suivante :

Théorème. — Les lignes asyinptoticju.es d'une surface sont caractérisées par ce fait que le jjlan osculateur en chacun de leurs points est tangent à la surface (1).

Ce théorème permet d'écrire immédiatement l'équation différentielle des lignes asymptotiques.

Soit

1271 a(X — xi — ii Y — /) + c(Z — z 1 = o

l'équation du plan tangent à (S) au point M(x,y, z |. Pour que ce plan soit osculateur à la ligne i G i, il faut et il suffit qu'on ait 1 n" 246 )

(28) ax"-h by"-+- cz" = o.

Or, on a identiquement

(ao,) ax' -+- by'-\- cz' = o,

(*) On appelle ligne géoclésique une ligne dont les plans osculateurs sont normaux à la surface. On démontre qu'elle est plus courte que toute autre ligne joignant deux de ses points et tracée sur la surface.