COURBURE DES LIGNES TRACÉES SLR UNE SUBFACE

puisque la tangente à (G) se troine dans le plan tangent à (S). En dérivant par rapport à /, il \ient

< 3o i i ax" -+- b y" ~r Ci* i -4- ( a' x'-f- b'y' -+- c z') — o.

Moyennant cette identité, la condition (28) équivaut à

< 3 1 > a'x'-f- b' y' -+- c' z = o ou à

< 3 > 1 da dx — db dy + rfc dz == o.

Telle est Y équation différentielle des lignes asymptotiques.

Si la surface est définie paramétriquement, elle est de la forme 1 ' 1

( 33 ) A du--+- ■>. B du dv -t- C dvl = o

et se décompose en deux éciuations différentielles du premier ordre. // y a donc deux familles de lignes asymptotiques, dépendant chacune d'un paramètre arbitraire.

3i6. Lignes de courbure. — On dit que la ligne I G) est une ligne de courbure, si la tangente en chacun de ses points est une tangente principale.

Si l'on applique, à une telle ligne, le théorème de Dupin, on \oit que la normale MT' à < Ci située dans le plan tangent à < S), qui est conjuguée de la tangente MT à (G), enveloppe une courbe, laquelle est une développée de (C 1 ( n" 329 1. Il en résulte que la normale MN à (S 1 le long de (G », qui, en chaque point M, se déduit de MT' par une rotation d'un angle droit autour de MT, enveloppe une autre développée, autrement dit. engendre une développable.

Réciproquement, si M\ engendre une développable, il en est de même de MT', qui est, dès lors, conjuguée de MT. Comme ces deux tangentes sont à la fois rectangulaires et conjuguées, ce sont les tangentes principales, et la ligne 1 C 1 est une ligne de courbure. JNous pouvons donc énoncer la proposition suivante :

Théorème. — Les lignes de courbure d'une surface sont caracté/isé-es par ce fait que les normales à la surface tout le long de chacune d'elles engendrent une développable.

On peut en déduire immédiatement l'équation différentielle des lignes de courbure. En conservant les notations du n° 343 et se reportant au n° 31*2,

(•) Si l'on prend pour paramétres x el y, on a a = p. b — q. c— — 1 : l'équation (32) devient

/• dx"- -h 2 s dx dy -f- t d}- = 0.