PROBLEMES DE GEOMETRIE QUI CONDUISENT A DES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES

3i8. Méthode générale. — Nous nous proposons d'éludier, dans ce Chapitre, une catégorie fort intéressante de problèmes, dont la solution e^l subordonnée à l'intégration d'une ou plusieurs équations différentielles. Ces problèmes consistent à chercher les courbes qui satisfont à certaines conditions, imposées à l'avance et concernant leurs tangentes, normales, are. rayon de courbure, etc. On peut aussi quelquefois leur rattacher la recherche de certaines surfaces assujetties à des conditions analogues ; mais, en général, de tels problèmes conduisent à des équations aux dérivées partielles et ne sont pas du ressort de cet Ouvrage. La plupart du temps, d'ailleurs, nous nous bornerons à des problèmes de Géométrie plane. La méthode générale que nous préconisons pour la résolution de semblables problèmes est la suivante :

On exprime analytiquement la condition imposée, en introduisant pour cela les quantités nécessaires (telles que coordonnées du />oint cowant. angle polaire de la tangente, abscisse curviligne, coordonnées normales de la tangente, rayon de courbure, etc. )et les différentielles de ces quantités . On écrit ensuite, outre cette condition imposée, toutes les relations indépendantes, qui doivent exister, pour une courbe quelconque, entre les quantités introduites ou leurs différentielles. Si n désigne le nombre de ces quantités, on doit alors avoir en tout n — i équations. On élimine, entre elles, n — i des variables introduites et il reste finalement une équation différentielle, qu'on intègre. En se servant ensuite des autres équations, on calcule, de proche en proche, n — 1 des variables en fonction de la n'ème. On obtient, en particulier, les coordonnées du point courant en fonction de

3^4 CHAPITRIÎ XXIV.

cette n'L'"'e variable et, par conséquent, les équations paramétriques de la courbe cherchée.

Ces équations renfermant un certain nombre de constantes arbitraires d'intégration, il y a toujours une infinité de courbes qui répondent à la question.

349. Cette règle générale attire un certain nombre de remarques. Tout d'abord, il arrive souvent qu'on peut se borner à introduire, comme variables, les coordonnées (cartésiennes ou polaires ) du point courant de la courbe clierchée. On considère l'une de ces coordonnées comme fonction de l'autre, par exemple, y comme fonction de x et l'on écrit la condition imposée, qui se traduit par une équation différentielle d'un ordre plus ou moins élevé. Théoriquement, cette façon de procéder est même toujours possible. Mais, il ne faut l'utiliser qu'à condition qu'elle conduise, rapidement et sans calculs pénibles, à une équation simple de forme. Si on l'applique, au contraire, d'une manière inconsidérée, elle peut être désastreuse, compliquer le problème et le rendre insoluble.

11 faut bien se rendre compte, en effet, de la justesse des réflexions suivantes. Quand on recherche une courbe, on n'est pas du tout certain, a priori, que son équation implicite soit simple et cela est encore plus vrai, si l'on assujettit cette équation à être de la forme y = j(x). Il peut très bien se faire que cette dernière équation soil excessivement compliquée et que cependant la courbe cherchée soil susceptible d'une représentation paramétrique simple. Dans cette circonstance, l'équation différentielle qui lie x et y sera compliquée, ne rentrera peut-être pas dans un type connu comme inlégrable et, en tout cas, si elle est intégrable, donnera lieu à des calculs pénibles et conduira à un résultat inélégant.

On aura, au contraire, très probablement, des calculs beaucoup plus simples si l'on s'arrange de manière à obtenir, en définitive, la représentation paramétrique à laquelle nous a\on> fait allusion plus haut.

Mais, comment peut-on reconnaître, à l'avance, la variable susceptible de conduire à cette représentation? Le moyen le plus sûr de la découvrir consiste précisément à appliquer la règle générale donnée au numéro précédent, en se guidant uniquement, pour l'élimination

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des variables surabondantes, sur le maximum de simplicité des calculs. Si une façon d'éliminer ne donne rien, on en essaie une au tic, jusqu'à ce qu'on obtienne, en définitive, une équation différentielle simple et intégrable.

Bien entendu, ceei n'est pas toujours possible et nombreux sont les problèmes de Géométrie infinitésimale, qui sont insolubles par le moyen des seules fonctions élémentaires ou de quadratures effectuées sur ces fonctions. Mais, il n'en est pas moins vrai qu'on échoue bien souvent dans la résolution d'un tel problème, pour l'unique raison qu'on a mal choisi ses variables ( • ). Il ne faut jamais faire ce choix a priori, sauf dans quelques cas évidents. Ce sont les calculs qui doivent le faire ressortir, à condition toutefois qu'on ne les ait pas brutalisés et qu'on se soit, au contraire, laissé guider par eux. S'ils ne sont pas suffisamment simples, qu'on introduise des variables surabondantes. Mieux vaut avoir affaire à plusieurs équations simples qu'à une seule équation compliquée.

Ajoutons à cela que quelques considérations géométriques sur le problème posé sont parfois fort utiles et permettent de prévoir les variables qu'il faudra garder, parce que, par exemple, on sera certain qu'elles conduisent à une équation à variables séparées {cf. n° 3o3 >.

Ces généralités étant exposées, nous allons passer en revue les principaux types de problèmes qu'on rencontre dans la pratique.

350. Trajectoires orthogonales. — Soit une famille de courbes (C), dépendant d'un paramètre arbitraire a et que nous supposerons d'abord définie par l'équation

(il /<.r,jr, a) = o.

Nous nous proposons de trouver toutes les courbes qui coupent orthogoiialement toutes les courbes (C).

Soit ( r) l'une d'elles. Elle coupe à angle droit la courbe (Ca), en un point M, dont les coordonnées x et y peuvent être considérées comme des fonctions de a. Les paramètres directeurs de la tangente MO

(') C'est ainsi que bien des élèves ont la fâcheuse habitude de choisir invariablement, quel que soit le problème posé, x et y pour variables. La plupart du temps. ils sont immédiatement arrêtés par la complication des calculs. S'ils les poussent jusqu'au bout, ils sont effrayés par l'équation différentielle à laquelle ils arrivent et déclarent le problème insoluble.

3Gt) CHAPITRE XXIV.

à ! r i sont dx, dy. D'autre pari, l'équation de la tangente MT. en M,

à (Ca) est (ii° 197)

La condition d'orthogonalité de ces deux tangentes est

Les fonctions inconnues x et y sont définies parle système (i), (2).

Si l'on élimine a entre ces deux équations, on obtient une équation différentielle du premier ordre en x, y, dont les courbes intégrales (t. I, n° 186) constituent les courbes (T) cherchées. On sait que ces courbes forment une famille à un paramètre. On les appelle les trajectoires orthogonales des courbes (C). Ces dernières sont, ellesmêmes, les trajectoires orthogonales des courbes (Y). Les deux familles réunies constituent un réseau orthogonal.

Au lieu d'éliminer a entre les équations (1) et (2), on peut éliminer y, par exemple, en tirant cette coordonnée de (1) et portant dans (2). On obtient une équation différentielle du premier ordre en ,r et a. En l'intégrant, on a x en fonction de a et d'une constante arbitraire ; portant dans < 1 1, on a ensuite y. On obtient ainsi les équations paramétriques générales des courbes (T).

3ol. 11 arrive quelquefois que les courbes ( G) sont définies comme courbes intégrales d'une équation différentielle du premier ordre

dy 'dx

On peut, dans ce cas, écrire immédiatement l'équation différentielle des courbes (T). En effet, soient x, y les coordonnées d'un point quelconque M d'une de ces courbes. Le coefficient angulaire de la

(ly

tangente MB, en ce point, à celle courbe est -j-- Celui de la tan-

dx

gente AIT à la courbe (C) qui passe par Al est donc m = *-• Or,

la courbe (C) vérifiant l'équation (3), on a

Fia-, y, m) = o

(') Cette équation s'obtient pratiquement, en différentiant totalement l'équation (1) par rapport à a? et à r, puis en changeant dx et dy en dy et — dx.

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et, par conséquent,