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L'équation (4) est l'équation différentielle des courbes (T). On voit qu'elle se déduit de l'équation (3) par une règle très simple et, d'ailleurs, toute intuitive [cf. note (') de la page précédente].

352. Supposons maintenant que les courbes (G) soient définies par des équations paramétriques :

(5) X =/! t, a., y= g(t, ai.

Une courbe (F) déterminée coupe orthogonalement la courbe (Ga)

en un point M, dont le t est une certaine fonction de a, qu'il s'agit

de déterminer. Les paramètres directeurs de la tangente MO à I Y \

sont, en tout cas,

àf , àf . de ' de ,

dt dt ' dt dx '

étant bien entendu qu'on doit, dans ces expressions, remplacer / par la fonction précédente et dt par sa différentielle. D'autre part, les paramètres directeurs de la tangente MT à ( Ga) sont

df dg

dt' dt'

La condition d'orthoffonalité s'écrit, dès lors,

\dt ) \dt /■ J Idl dy. dt da ]

C'est une équation différentielle du premier ordre en t, a, d'où l'on tirera t en fonction de a et d'une constante arbitraire. En portant dans (5), on aura les équations paramétriques générales des courbes (T).

On peut d'ailleurs tout aussi bien, si cela semble plus commode, calculer a en fonction de t ou bien a et t en fonction d'un troisième paramètre (t. I, n° 189). En portant dans (5), on obtient toujours les équations paramétriques des courbes (T).

353. Cas divers d'intégration. — Voici quelques types tle familles de

courbes, pour lesquels on peut toujours, a priori, résoudre, par quadratures, le problème des trajectoires orthogonales.

I. Les courbes (C) se déduisent de l'une d'elles par des translations rectilignes de même direction. — Prenons, par exemple, Ox parallèle à cette direction. La famille des courbes (C) demeurant invariante pour toute translation parallèle à Ox (*), il en est nécessairement de même pour la famille des courbes (Y). Dès lors, celles-ci ont certainement une équation générale de la forme

x = cp( y

const..

à laquelle correspond l'équation différentielle

(8) dx = f'(y ) dy.

Xous sommes donc assurés à V avance que l'équation différentielle de nos trajectoires est à variables séparées.

C'est ce qu'il est aisé de vérifier a posteriori. L'équation générale des courbes i G) est de la forme

(9) x =f(y) i 4- const., à laquelle correspond l'équation différentielle

dx=f(y)dy.

Par la règle du n" 351, on en déduit immédiatement l'équation différentielle des trajectoires orthogonales

dy=—f'(y)dx dx=- dy

Nos prévisions sont bien réalisées et l'équation générale des courbes (T) est

const.

II. Les courbes (G) se déduisent de l'une d'elles par des rotations autour d'un point fixe O. — En raisonnant comme tout à l'heure, on voit que les courbes (Y) jouissent de la même propriété. Ceci se traduit anal\ liquement en coordonnées polaires, de pôle O, par une équation générale de la forme

a) == çp(p) -+- const.,

(') On dit qu'elle appartient au groupe des translations parallèles a Ox.

PROBLÈMES DE GÉOMÉTRIE QUI CONDUISENT A DES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES. 369

à laquelle correspond l'équation différentielle

c/w = tp' ( p ) dp .

Les variables seront donc encore séparées, si l'on opère en coordonnées polaires.

Effectivement, soit

(l3) w =f(p) -+- const.

l'équation générale des courbes (C). La tangente à l'une d'elles, en un fie ses points M, se déduit du rayon vecteur OM par une rotation de l'angle V défini par la formule ( n° 252)

04) tangV = '— - = pf(p).

La tangente à la courbe (Y) qui passe par M est pareillement déterminée par un angle v', défini par

Ci )) tang\ = E-T- ,

la dérivée — se rapportant cette fois à la courbe (Y). Or, on doit avoir

V'= V-f- — y donc

tanuV = —

tangV ~ ?/'(.?) L'équation diilérentielle des courbes (Y) est finalement

p dio i

qui est bien du type prévu et donne, par intégration,

u> = — / — t^- h const.

IIL Les courbes (C) se déduisent de l'une d'elles par des hornothéties de centre fixe O. — En répétant toujours le même raisonnement, on voit que les courbes (F) jouissent de la même propriété, ce qui se traduit analytiquement, en coordonnées polaires, par une équation de la forme

Gp = cp(tu) (G = const.), Haag. — Cours, II. -4

3;o CHAPITRE XXIV.

à laquelle correspond l'équation différentielle

dr. 5>'(u>)

qui est encore à variables séparées.

Effectivement, soit

KP=/l

K = const.)

l'équation générale des courbes (C). En adoptant les notations du cas précédent, on a

tanîV =

D'où l'on déduit l'équation différentielle des courbes | r)

dp /( w )

rfp /"( ou) û?m

d'où

• M rfffl

//iwirf

1 C = const.).

On pourrait aussi opérer en coordonnées cartésiennes, d'origine O. On obtiendrait une équation homogène en x, y, qui s'intègre, comme on sait, par quadrature 1 t. I. n° 190). \

3oi. Trajectoires orthogonales d'une famille de cercles. — Soient oc, :. 1; les coordonnées du centre et le rayon d'un quelconque de nos cercles, ces trois quantités étant des fonctions connues d'un même paramètre t. Ecrivons les équations paramétriques de ce cercle :

,r = 7. -+- R cos cp, y = (3 -+- R gin cp.

Appliquant la méthode du n° 352, nous pouvons écrire immédiatement l'équation différentielle en 'j, t «les trajectoires orthogonales :

d.r dy

COS '-i ~ i 1 r tp

^a — H si n o <r/^ — r/R cos c (7ri — R co« c é/c -1- rfR sine