COS
ou, en retranchant dR îles deux membres et chassant les dénominateur-, di. sin - — c/: cosœ — lî <Yc
PROBLÈMES DE GÉOMÉTRIE QUI CONDUISENT A DLS ÉQUATIONS DIFFERENTIELLES. >7I
ou, enfin,
dz a' sine — i'ooso (19)
dt K
Or, cette équation se ramène à une équation de Riccati, en posas
tang- = 8 (t. 1, n°3i6i. On peut, dès lors, en conclure, d'après les propriétés
classiques de cette équation, que la dé 1er mi nation de nos trajectoires se ramène à deux, une ou zéro quadratures, suivant qu'on connaît à l'avance une, deux ou trois de ces trajectoires. Par exemple, si les cercles (C) sont orthogonaux à un cercle li\e {V0), celui-ci compte pour deux trajectoires, puisqu'il est orthogonal à chaque cercle (C) en deux points, ce qui fait connaître deux solutions particulières de l'équation (19). La détermination des autres trajectoires n'exige plus qu'une quadrature. Ceci s'applique, en particulier, lorsque les cercles (C) ont leurs centres en ligne droite.
Enonçons enfin la proposition suivante, qui résulte des nos 324 (t. I) et de l'exercice proposé n" 2 du Chapitre XXXVII :
Si l'on considère quatre trajectoires particulières 1 Tj), (r2), {?$)• ' . ■ elles coupent orthogonalemenl chaque cercle 1 G) en quatre points Mi, M's, M3, M4, dont le rapport anharmonique demeure constant, quand (G) varie.
3oo. Equation intrinsèque d 1 ne courbe plane. — Passons maintenant à un autre type de problème, qui est le suivant :
Déterminer une courbe plane, sachant que le rayon de courbure R en chacun de ses points est li<; à l'abscisse curviligne s de ce point par une équation donnée
En adoptant les nut;ilions du Chapitre XXI, non? avons
ds
dï.=J'S>-
Cette équation s'intègre immédiatement et donne
r ds
Le second membre renferme implicitement une constante arbitraire additive. Mais, on peut la négliger, en remarquant <jue sou introduction équivaut à augmenter toutes les valeurs de 1. d'une même
3yi CHAPITRE XXIV.
quantité, ce qui revient à faire tourner les axes d'un certain angle, variant avec la constante.
Nous connaissons maintenant a en fonction de s ou, si l'on veut. s en fonction de a. Nous avons en?uifr
dx = ds cos y. , dy = ds sin y. ; d'où
i 22 i x — I cos x ds, y = ! sin y.
ds.
Ces deux nouvelles quadratures comportent encore deux constantes arbitraires, mais qui peuvent encore être supprimées, par une translation convenable des axes. Cette translation est, d'ailleurs, la plus générale dans le plan, si l'on donne aux deux constantes toutes les valeurs possibles.
En définitive, les équations paramétriques d'une des courbes cherchées sont données par les formules (22). où Ton néglige les constantes d'intégration: a étant donné, en fonction de s, par la formule (21), où l'on néglige également la constante (l).
Toutes les autres courbes se déduisent de celle-là par une translation quelconque, suivie d'une rotation quelconque, autrement dit par un déplacement quelconque dans le plan. Il équivaut de dire que toutes les courbes qui satisfont à l'équation 1 20 1 sont toutes les courbes du plan égales à l'une d'elles.
On pouvait, du reste, prévoir qu'ayant une des courbes cherchées, on en aurait une infinité d'autres par des déplacements dans le plan, car un tel déplacement n'influe ni sur R, ni sur s. Nous venons de prouver cpi'on les obtient toutes par ce procédé.
On peut donc dire «juë V équation (20) définit une courbe unique, si Von fait abstraction de sa position dans le plan, c'est-à-dire si l'on ne tient compte que de sa forme et de sa grandeur. Pour cette raison, on l'appelle Y équation intrinsèque de cette courbe - .
(') Au lieu de calculer a, x, y en fonction de s. on peut, si cela parait plus commode, calculer 5. x. y en fonction de a.
(2) Le lecteur a pu se rendre compte que la recherche d'une courbe définie par son équation intrinsèque est un problème très simple, quand on le traite comme nous l'avons fait, conformément à la méthode générale exposée au n° 3icS. Il serait, au contraire, impraticable, si l'on s'imposait à l'avance de trouver la courbe sous la forme y =/(x), en utilisant la formule (i3) du n° 313. Ceci s'explique, du reste, par la manière compliquée dont s'introduiraient les trois constantes d'intégration.
PROBLÈMES DE GÉOMÉTRIE QUI CONDUISENT A DES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES. 373
356. Problèmes divers. — Voici d'autres problèmes, moins classiques que les précédents, mais dont on rencontre assez fréquemment des exemples, pour que nous jugions utile de les traiter rapidement.
Problème I. — Déterminer les courbes dont le rayon de courbure est une fonction donnée de la normale limitée à une droite fixe.
Prenons la droite fixe pour axe des x. La normale en M rencontre cet axe au point N. Posons >. = MN. Par hypothèse, on a
y"(X) désignant une fonction donnée.
Ecrivons les différentes relations qui existent entre x, y, R, X et les autres quantités qui vont s'introduire. Nous avons d'abord i n° 311 i
' >\) dx = R cosa d-y., rfy=Rsinarfa.
Écrivons maintenant que l'ordonnée y •+- Xsin (a H ] du point N est
nulle ; nous avons
< 25) y -r- A cosa = o.
Les quatre équations (23), ( ->4 ), (^5) entre les cinq variables R, À, x. y, y. déterminent entièrement le problème. Il s'agit d'éliminer trois de ces cinq variables. La variable x est toute éliminée, puisqu'elle figure seulement dans la première équation i i,\ i. Quant à y, son élimination est immédiate. En difierentiant (25), nous avons
R sin y. dy. -+- dl. cosa — À sina dx = o
ou
d). cosa = sina dy. [X — /(À)]
| 26 1 tanga dy. =
X— ./Va I Cette équation est à variables séparées et donne
<■.>;> log|cosa| = / . / x = log|çiXi| ^logC,
9 1 ).) désignant une fonction déterminée et G une constante arbitraire positive. On tire de là
(28) cosa = Cç(X).
Portant dans (25 l, nous avons ensuite
Ï29) y= — cx?(X).
1; i CHAPITRE XXIV.
Enfin, la première équation (24) nous donne
C2/(X)çi À i>'(X)rfX
dx = C/(X)o(X) dot
d'un 1 .'>()
à une constante additive près, dont la suppression revient à négliger une translation parallèle à O x. Les équations (29) et(3oi constituent les équationparamétriques des courbes cherchées. Elles renferment la constante arbitraire C.
Remarque. — Au lieu de calculer x et y en fonction de X, on peut, si cela semble plus simple, les calculer en fonction de ce. A cet effet, on calcule X en fonction de x, au moyen de (28 1. En portant dans (25), on a y. En portant dans (23 I, puis ( 24 ), on a .r, par une quadrature (M.
357. Problème II. — Déterminer les courbes dont le rayon de courbure est une fonction donnée de la normale, limitée à la sous-normale polaire.
Soient /•, 0 les coordonnées polaires d'un point quelconque M d'une des courbes cherchées. La normale en ce point rencontre la perpendiculaire en 0 à O.M au point \. Posons X = M Y Nous avons, par hypothèse,
D'autre part (n° 321), on a
ds
dD -+- d\ dr = dsco$Y. r d% = ds sinY
Enfin, 'si l'on observe que la normale AIN est orientée par l'angle polaire O-t-V-4-— , on a, en projetant le vecteur MIN sur la demi-droite d'angle
polaire 6,
ou
— r = X cos ( Y -t- — J = — >. si n Y
r = X sin V.
(') Si l'on cherche la courbe sous la forme y = f(x). en utilisant la formule ii 1 | 'lu n° 313, on arrive à une équation différentielle du second ordre, dont l'intégration rst loin d'être évidente, du moins tant que la fonction f{\) est quelconque.
PROBLEMES DE GEOMETRIE Ql'I CONDUISENT A DES EQUATIONS DIFFERENTIELLES. '>~ I
Il s'agit maintenant d'éliminer quatre des six variables R, '/.. s, 6, V, r entre les cinq équations (3l), I '!> I, I 3 J I, i ">\ i.
L'élimination de R, 5, 0 est immédiate. En effet, de i"33 I, on tire
<fc =
cos \
cVi = — tang\ r s
Portant dans 1 32 i et remplaçant R par /( /. 1, il vient
I 36 1 f\ X I (— tang V - rf\F>) = -^ •
^ V r / cos\
Eliminons enfin /• entre 1 3 î 1 et 1 36 1 :
fi X) -y" tangV -+- 2 dX = d\ tangV — ) d\
r/X tançjV
ou I 37 I
col V (A
Cette équation est à variables séparées et donne
fi X 1 - X
10g Sin\ = / .— — -; :«/.
