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d'où l'on tire une équation de la forme

(38) sinV = Ccp(X) (C = const.).

Portant dans ( 3{ |, on a i 39) r = CX-ji "/ 1 .

La deuxième équation 1 >"> | donne ensuite

C a> ( XI

rfe

La ?(X;J /i g*œ.2| X

D'où l'on déduit 0 par une quadrature.

Au lieu de calculer r et 0 en fonction de X, on peut, si cela paraît plus commode, les calculer en fonction de V. De toutes façons, on obtient les équations polaires paramétriques de la courbe cherchée. Elles renferment l'unique constante arbitraire C, si l'on néglige celle qui s'introduit dans la quadrature ( }o) et qui équivaut à une rotation autour du pôle.

338. Problème III. — Déterminer une courbe, sachant que le rayon de

courbure en M est une fonction donnée de la distance CM. On a

équation à laquelle on doit ajouter i 32 i et i 33 i.

Nous allons éliminer R, s, 0, en nous servant des équations iô . Nous avons

f\ r)\ — tangV 4- d\\

cos Y ou

dX sinV i

(42) COSV— -i = -z

Cette équation est linéaire en sinV et admet pour intégrale générale

, , . ~ i • • i , . i C r dr

en désignant par <„ une constante arbitraire et par art 1 intégrale / — •

Ayant r en fonction de V ou \ en fonction de r, on a 0 par la quadrature

/ , ,s. r. C tangV 7

( î i i 6 = / -—5- rf/-.

Problème IV. — Déterminer une courbe, sac/ianl que le rayon de courbure en M est une fonction donnée de la distance du point 0 à la tangente en M.

Si (©, p) sont les coordonnées normales de cette tangente, l'équation du problème s'écrit immédiatement (n° 320)

Cette équation s'intègre par quadratures (t. I. n" 195. II).

Problème V. — Déterminer une courbe, sachant que le rayon de courbure en M est une fonction donnée de la distance de M à une droite fixe.

On a, par exemple.

D'où (n° 311)

(47) dx = f(x ) cosa di.

Cette équation à variables séparées donne x en fonction de x ou bien a en fonction de x. On a ensuite y par la quadrature

(48) y = l tan g a dx .

PROBLEMES DE GÉOMÉTRIE QUI CONDUISENT A DES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES. 3;7

359. Problèmes slr li:s courbes gai ches. — Ou peut aussi se poser <Jcs problèmes analogues aux précédents pour la détermination de certaines courbes gauches. Mais, on peut, dans ce cas, imposer à La courbe soit une, soit deux conditions. I ne courbe gauche exige, en effet, pour sa détermination, la connaissance de deux fonctions d'une variable. Si l'on se donne une seule condition, il subsiste une fonction arbitraire. Si l'on s'en donne deux, la courbe ne dépend plus que d'un certain nombre de constantes arbitraires.

Des exemples seront indiqués dans les Exercices (voir aussi l'exercice résolu n" i <\u Chapitre XIX). Contentons-nous ici de traiter le suivant.

Problème. — Déterminer une courbe, sachant que la courbure ou la torsion sont nulles en chacun de ses points.

i" La courbure est nulle. — L'arc de la première indicatrice est nul (n° 322). Si donc on laisse de côté certaines solutions imaginaires, cette indicatrice se réduit à un point. Les tangentes à la courbe sont donc parallèles à une droite fixe. Si l'on prend cette droite pour

axe des s, on a

x' = o. y' = o; d'où

x == const. . y = const.

La courbe clierchée est une droite.

La droite est donc la seule courbe réelle à courbure nulle.

2° La torsion est nulle. — Cette fois, c'est la seconde indicatrice qui se réduit à un point. La binormale a une direction fixe, par exemple, la direction de Os.

La tangente lui est perpendiculaire; on a donc z = o ; d'où z = const. La courbe est plane, dans un plan (it), parallèle à xQy. Quelle qu'elle soit, du reste, dans ce plan, sa torsion est bien nulle, car, son plan osculateur en chaque point coïncidant avec (-), la binormale est partout parallèle à Os et la seconde indicatrice est réduite à un point.

Les seules courbes de torsion nulles sont donc les courbes planes.

On voit, sur cet exemple, que, dans les problèmes de Géométrie infinitésimale, il ne faut jamais négliger les considérations géométriques, qui peuvent amener parfois bien des simplifications.