SURFACES DE RÉVOLUTION: HÉLIC01DES
360. Surfaces de i;i';volutio>. — On appelle s urface de révolution toute surface engendrée par la rotation d'une courbe quelconque (C) autour d'un axe fixe A.
La courbe (C) est appelée courbe génératrice.
Chacun de ses points M décrit un cercle P, dont le centre I se trouve sur A et dont le plan est perpendiculaire à A. Ce cercle est le parallèle du point M.
On appelle plans méridiens les plans qui passent par l'axe et courbes méridiennes ou simplement méridiennes les sections de la surface par ces plans.
I ne surface de révolution donnée peut é\ idemment être engendrée d'une infinité de manières par la rotation d'une courbe; on peut, en effet, prendre comme génératrice n'importe quelle courbe tracée sur la surface, pourvu qu'elle rencontre tous les parallèles ('); en particulier, on peut toujours prendre la méridienne.
II est quelquefois commode de considérer la surface comme engendrée par ses parallèles, c'est-à-dire par un cercle dont le centre décrit la droite fixe A, dont le plan est constamment perpendiculaire à cette droite et qui est assujetti à rencontrer la courbe génératrice (C). En particulier, c'est en se plaçant à ce point de vue qu'il est le plus facile d'écrire l'équation d'une surface de révolution.
Soit une surface de révolution définie par deux points A, <i A2 de s-on axe et par sa courbe génératrice (C). Tout parallèle peut être considéré comme l'intersection de deux sphères S, et S2 ayant leurs centres respectifs en A, et A2. Ses équations sont donc de la forme
(l) Si elle ne rencontre pas U>us les parallèle?, elle engendre seulement une partie de la surface.
SURFACES DE RÉVOLUTION; HÉLICOÏDES. 37g
où S, ei S2 sontles premiers membres des équations de deux sphères particulières i d'ailleurs quelconques, par exemple de raj on nul I ayant pour centres A, et A2 cl où a, ri désignent deux constantes, dont la variation arbitraire donnerait tous les cercles admettant pour axe A,A2. Pour que le cercle (i) soit un parallèle de la surface proposée, ,il faut et il suffit qu'il rencontre ( C ).
En exprimant cette condition < n" 54), on obtient une relation entre les paramètres a et j. soil
L'équation de la surface s'obtient, dès lors (n° 62 i. en éliminant a. et (3 entre i i) et ( 2), ce qui donne
(3) /(S,.Ss) = o.
Telle est la forme générale et caractéristique (') sous laquelle peut
se mettre l'équation de n'importe quelle sur lace de révolution.
On peut prendre le point Y.,, par exemple, à l'infini. Ceci revient à remplacer la sphère S2 par un plan P perpendiculaire à l'axe. L'équation de la surface s'écrit alors
(4) /(Si,ï») = o.
C'est ainsi que toute surface de révolution d'axe Oc a une équation de la forme
ou, ce qui revient au même (- }.
Dans ce dernier cas. la méridienne du plan des zx a pour équation, dans ce plan,
Réciproquement, si l'on se donne cette méridienne par \n\v équa-
(') Cette forme est caractéristique, car, réciproquement, toute équation telle que (3) peut toujours être obtenue par une élimination analogue à la précédente et. par conséquent, la surface peut être engendrée par un cercle admettant pour axe la droite lixe \,A,.
(-) La forme (ô) revient à considérer chaque parallèle comme l'intersection de son plan et de son cylindre projetant sur /Or.
38o CHAPITRE XXV.
ti<>n telle que (6), on peut écrire immédiatement l'équation de la surface, eu remplaçant simplement x- par x2-\-y2.
Plus généralement, supposons que la courbe génératrice soit définie par deux équations en coordonnées semi-polaires (/•, 0, s), dont l'une soit ( ' i
En y remplaçant r'2 par oc- — y-, on a l'équation de la surface.
On peut d'ailleurs, si l'on veut, regarder l'équation ( -) comme 1 équation de la surface en coordonnées semi-polaires, la caractéristique des surfaces de révolution, dans ce système de coordonnée-, étant que leur équation est indépendante de 6 (2).
Si, de ( - i on tire, z ==/( r), les équations paramétriques de la surface peuvent s'écrire
(S) :r = /-cos0. y = rs\n'i. z=f(r).
Ce sont ordinairement les plus avantageuses pour l'étude des propriétés spéciales des surfaces de révolution.
Mais, on peut aussi, plus généralement, exprimer r et s en fonction d un paramètre t quelconque; on a alors des équations de la forme
(9) :r=/(ncos0. y =/(0 sin 0 . z = g(t).
G est ainsi qu'il est quelquefois commode de prendre, pour variable /. lare de méridienne.
361. Propriété FO\i>A\n;xT w.k. La propriété fondamentale et caractéristique des surfaces de révolution est qu'elles glissent sur elles-mêmes quand on les fait tourner autour de leur axe.
I ne telle rotation a. en effet, pour unique résultat une permutation des génératrices ou, si l'on veut, un glissement de chaque parallèle sur lui-même, ce qui ne change évidemment pas la surface.
(') Si les deux équations renferment 6, on l'élimine et l'on obtient une équation de la forme (7).
(-) A ce point de vue. elles sont analogues aux cylindres (n° 47). D'ailleurs, les cylindres peuvent être considérés comme des surfaces de révolution, dont l'axe est à l'infini dans le plan d'une section droite.
