SURFACES DE RÉVOLUTION; HÉLICOÏDES
Réciproquement, si une surface ne cesse pas de coïncider ave< elle-même dans une rotation continue autour d'un axe (i.ve A. elle coïncide nécessairemenl avec la surface de révolution engendrée, dans ce mouvement, par une quelconque de ses courbes.
On peut résumer ceci en disant (pie les surfaces de révolution sont les seules qui soient invariantes pour une rotation continue autour cV un axe-fixe.
De celle invariance, résulte le principe général suivant :
Quand on a trouvé une propriété pour un élément E quelconque (point, tangente, plan tangent, normale, ligne tracée sur la surface, etc.) d'une surlace de révolution (S), on a la même propriété pour tous les éléments E' qui se déduisent du premier peu rotation autour de lare.
En effet, si Ton fait tourner toute la figure (S, E) autour de A, de manière à amener E en E', la propriété ne cesse pas d'avoir lieu. Or, dans ce mouvement, S demeure invariable. Dès lors, la propriété danla nouvelle position peut être considérée comme s'appliquant à E' et a S. c. o. f. i).
362. Plains tangents; normales. — Le plan tangent en un point M contient la tangente MR. au parallèle passant par ce point, tangente qui est manifestement perpendiculaire au plan méridien (A, M). De là résulte la proposition suivante :
Théorème. ■*- Le plan tangent en un point quelconque d'une surface de révolution est perpendiculaire au plan méridien qui passe par ce point.
Le plan tangent en M contient aussi la tangente MT à la génératrice (C). C'est donc le plan RMT.
Cette construction du plan tangent est en défaut lorsque MT coïncide avec MR., c'est-à-dire lorsque la génératrice coupe normalement le plan méridien. Nous verrons, au n° 363, par quoi il faut alors la remplacer.
Si une courbe (C) ou une surface (S') est tangente à < S), il en est de même de toutes les courbes ou surfaces qui s'en déduisent par rotation autour de A. Cela résulte, en effet, du principe du n° 361.
Nous pouvons prendre, en particulier, pour surface (S') la surface
i*2 CHAPITRE XXV.
de révolution engendrée par | G'), car cette surface est tangenteà 3 comme ayanl avec elle deux tangentes communes, à savoir la tangente au parallèle I Pi et la tangente à (C) I ' |. Comme, dans la rotation, cette surface demeure invariable, nous voyons qu'elle est circonscrite à (S.) le long du parallèle (P).
Si uous prenons comme courbe (G') la tangente MT à la courbe méridienne, nous obtenons le cône de révolution circonscrit et cela nous montre en passant, conformément d'ailleurs au principe du n° 361, que les pions tangents <jn tous les points d'un parallèle rencontrent l'axe au mente point T, sommet du cône ci-dessus.
Si nous prenons comme courbe (C') le cercle tangent en M à la méridienne et qui a son centre N sur l'axe, nous obtenons la sphère inscrite et nous apprenons, toujours d'accord avec le principe du n" 361. que les normales en tous les points d'un parallèle rencontrent l'axe au même point N. centre de la sphère inscrite.
Un peut démontrer, à ce propos, la réciproque suivante : Toute surface dont les normales rencontrent une droite donnée A est de révolution autour de cette droite.
En effet, coupons-là par un plan H perpendiculaire à A. Soit M un point de l'intersection. La tangente MT à cette courbe est perpendiculaire à la normale MX et à A ; elle est donc perpendiculaire au plan de ces deux droites. Mais alors, la normale Mn à la courbe dans son plan est située, à son tour, dans le plan | M. A) et, par suite, passe par le pied n de A sur H. La section plane considérée est une courbe dont toutes les normales passent par le point fixe n : c'est donc un cercle de centre n ( n° 317). Toutes les sections par des plans perpendiculaires à A étant des cercles ayant leur centre sur A, la surface est de révolution autour de A (n" 360).
363. Centres de coutîdi re. — Chaque plan méridien est un plan de symétrie de tous les parallèles, donc un plan de symétrie de la surface. Il s'ensuit que c'est aussi un plan de symétrie de lindicatrice d'Euler < n° 336) relative à chaque point M de la méridienne ;j. correspondante. Par conséquent, la tangente MT, à celle-ci est une tangente principale et le centre de coin bure C, de y. en M est un centre 'le courbure principale.
L'autre tangente principale MT2est perpendiculaire à \JT,: c'est donc la tangente nu parallèle (P). L'axe de courbure de ce paral-
(l) On fait abstraction du cas où (C) serait normale au plan méridien du point de contact.
SURFACES DE REVOLUTION ; HÉLICOÏIiES. 383
lèle étant A, le deuxième centre, de courbure principale ( -2 se trouve sur cette droite, en vertu du théorème de Méusnier (n° 334 ; c'est le centre de la sphère inscrite.
Si nous considérons une courbe (G) tracée sgr la surface et tangente en M à MT2, son axe de courbure doit passer par C2. Ceci nous permet de trouver le plan tangent, dans le cas exceptionnel laisse de côté au n" 302. Il suffit, en effet, de prendre l'intersection C2 de A avec l'axe de courbure de (G) en M, puis de mener, par M, le plan perpendiculaire à C2 M.
364. Lignes de courbure: lignes asymptotiQues. — Les lignes de courbure (n° 346) sont évidemment les méridiennes et les parallèles, puisque les tangentes à ces courbes sont les tangentes principales.
Pour les lignes asymptotiques (n"3io), la solution est moins évidente. On peut toutefois remarquer, a priori, que, lorsqu'on en a une, on en a toute une famille en faisant tourner la première autour de A, ainsi qu'il résulte du principe du n° 361. Dès lors, l'équation polaire des projections des lignes de cette famille sur xOy (on prend les axes du n" 360) est de la forme
(io) 8 = F(/") -t- const.;
leur équation différentielle est de la forme (n) d% = G(r)dr;
elle est à variables séparées. On peut donc prévoir-que tes lignes asymptotiques d'une surface de révolution peuvent se calculer par une quadrature (!).
C'est ce qu'il est aisé de vérifier.
Partons des équations (8). Nous avons
!dx = dr cosO — ;• sin8 «70, dy = dr sin 6 -+- /• cos 8 c/0, dz =/'( r ) dr.
En écrivant la condition
a dx -+- b dy -+- c dz = o,
on trouve ensuite que l'on peut prendre comme paramètres directeurs de la normale
(i3) a = cos6, b = sin6, c
(') Quand on a une famille, on a l'autre par symétrie par rapport à un plan méri dien quelconque.
Ob comparera le raisonnement ci-dessus à celui du n 353 (II).
's i CHAPITRE XXV.
En appliquant ensuite l'équation (3î) du n" 345, on obtient l'équation îles lignes asymptotiques
'/ (r) ou
■"i-±'"V-frw'
Klle est bien île la forme (n) prévue.
365. Élément linéaire; angle d'une courbe avec la méridienne. — Élevant au carré les expressions (i?.) et ajoutant, nous obtenons le carré de Vêlement linéaire ou distance ds de deux points de la surface infiniment voisins
i 5 ds"- = dr* -+- f2 d(ï* + dz* - r"- dQ* -h di*,
en appelant dz l'élément linéaire de la méridienne [cf. t. I, n° 173, formule 17)].
Cette formule a été établie géométriquement au Tome I ( loc. cit.). Rappelons brièvement la démonstration.
Considérons les points infiniment voisins M et M'. Projetons ortbogonalement M' en Mi sur la méridienne et en Mj sur le parallèle. Le triangle rectangle infinitésimal MMtM' nous donne
MM' = MM, -h M, M' .
Or, MM, = rfïet M,M' = MM2= rrf8; d'où la formule (i5). Appelons V l'angle de MM] avec MM'; nous avons
(16) da = ds cos Y, r dO = ds sin Y,
r dO r db
(J7) tangV =
d° \,ldi*+dz-'-
Étant donnée une courbe quelconque tracée sur la surface et définie, par exemple, par l'équation polaire de sa projection sur xOy, les formules ( i ~> 1 , fit')) et (17) permettent de calculer sa longueur, ainsi que. l'angle qu'elle fait en chaque point avec la méridienne.
Si l'on assujettit cet angle à rester constant, on obtient l'équation différentielle des loxodromies
^ = tangV^±p£)rfr.
Klle est à variables séparées, ce qui aurait pu se prévoir en raisonnant comme au n° J6J.
3GG. Hélicoïdes. — On appelle surface hélicoïde ou simplement hélicoïde
SURFACES Di: BÉV0L1 i io\ : iii.i.k oïdes.
toute surface engendrée par le déplacement hélicoïdal 1 1. III) d'une courbe donnée i <i ). L'axe \ el le pas k de ce déplacement sont aussi appelés l'axe et le pas de la surface.
Les hélicoïdes jouissent d'une propriété fondamentale analogue à celle des surfaces <le révolution ( n" 361 i : Ut glissent sur eux—même» quand on leui imprime un mouvement hélicoïdal continu d'axe \ et de pat /. .
Il est d'ailleurs à remarquer que les surfaces de révolution peuvent «'lie regardées comme des bélicoïdeS de pas nul, de même que les cylindres peuvent être regardés comme de> hélicoïdes de pas infini ('). Les hélices décrites pai les différents points de la génératrice deviennent les parallèles de la surface de révolution et les génératrices rectiligoes du cylindre.
De l'invariance ci-dessus résulte un principe général analogue à celui du n° 361.
Si l'on prend \ pour axe des z, les équations paramétriques d'un bélicoïde «le pas  peuvent s'écrire
(19) ar = rcos8, j = /sinO, z = /.0 -t-/(r).
La dernière peut d'ailleurs être regardée comme l'équation de la surface en coordonnées semi-polaires.
Il ne faudrait pas croire, par analogie avec les parallèles d'une surface de révolution, que les hélice- h -mit des lignes de courbure. La détermination de celles-ci, de même que celle des lignes asymptotiques, est subordonnée à une quadrature, ainsi que le montre un raisonnement analogue à celui du n" 3<>i.
(') On peut démontrer que ces trois catégories île surfaces sont les seules qui puissent rester superposées à elles-njcmes dans un déplacement continu.
Haao. — Cours. II.
SURFACES RÉGLÉES, DÉVELOPPABLES ; COXES ET CYLINDRES.
367. Surfaces réglées. — On appelle surface reniée toute surface S 'engendrée par le déplacement d'une ligne droite G.
Cette ligne droite, qui porte le nom de génératrice rectiligne ou simplement de génératrice^ dépend d'un paramètre variable r; elle a • les équations paramétriques de la forme (n° <>> |
(i) (r = y. -+- ua , y — p -+- ub, z = y -H- «c,
où a, [j, Y, a, Z>, c sont six fonctions données de c et où u désigne \in paramètre indépendant de v.
Les trois quantités a, b, c sont les paramètres directeurs de G. Si on les suppose liées par La relation
(2) os+6!+cs=i,
ce sont ses cosinus directeurs. Dans ce dernier cas, le point -1,7, b, c) est le point directeur de G ('). Quand v varie, il décrit. sur la sphère S de centre O et de rayon 1, une courbe (?) qui est appelée V indicatrice sphérique de la surface réglée. Le cône qui a pour sommet O et pour base (/) est appelé cône directeur.
Il peut arriver, comme cas particulier, que le point g soit fixe <>u. si l'on veut, que l'indicatrice se réduise à un point. Dans ce cas., toutes les génératrices G sont parallèles et la surface S est dite cylindrique. Nous y reviendrons ultérieurement (n° 381). Pour le moment, supposons le point g variable avec v.
Le plan tangent à S au point M( m, v) a pour équation (n° 203) -
H X — x a a'-t- ua |] = o,
(') Chaque génératrice est, par cela même, orientée. Le paramètre u a une signi-
fi cation géométrique très simple : si M„ est le point où u = o. on a u M(1 M ( a" 95).
